Тема 2. Основные понятия математической статистики

Статистические оценки и их свойства

Задача математической статистики состоит в разработке методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Пусть x – некоторая случайная величина (СВ).

Def . Выборкой величины x объема N называют набор из N независимых СВ x₁, … x_N, распределенных также, как x. Иными словами, выборка – это N независимых экземпляров СВ x. Реализацией выборки называется неслучайная совокупность значений элементов выборки, полученных в результате эксперимента. (Т.е. в результате эксперимента каждая случайная величина x_i получила некоторое значение, которое обозначается )

Def . Статистика – это некоторая функция выборки j( x₁, … x_N).

Def. Пусть q – некоторый параметр СВ x, Q – область его значений (qÎQ). Точечной статистической оценкой параметра q называется любая статистика = ( x₁, … x_N), принимающая значения из области Q.

Свойства статистических оценок. Основное назначение статистических оценок – давать приближенное значение для оцениваемого параметра, найденное по реализации выборки. Для того, чтобы это приближение было “хорошим”, статистические оценки должны обладать определенными свойствами.

Пусть – статистическая оценка параметра q.

Def . Статистическая оценка параметра q, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемого параметра, т.е. , называется несмещенной.

Def . Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объеме выборки N имеет наименьшую возможную дисперсию.

Примеры статистических оценок. Рассмотрим несколько важных примеров статистических оценок.

1. Оценка = (x₁ + … + x_N) / N (x среднее) – оценка математического ожидания.

Свойства .

а) M[ ] = M[x], т.е. она является несмещённой.

б) D[ ] = D[x] / N.

2. Оценка – оценка дисперсии.

Свойства s ² .Оценка s² является несмещенной. (Можно доказать, что если бы делили на N, то получили бы смещённую оценку).

Другие статистические функции MathCad

· mean(A) – среднее арифметическое массива А – оценка математического ожидания;

· Var(A) – несмещенная оценка дисперсии для элементов массива А: :

· var(A) – смещенная оценка дисперсии для элементов массива А: :

Например,

Общий метод вычисления статистических оценок: ММП

Как было сказано выше, статистические оценки должны обладать определённым набором хороших свойств. Каждая оценка получается по своей определённой формуле и надо каждый раз доказывать, что найденная оценка «хорошая». Это достаточно сложно. Поэтому были созданы универсальные методы нахождения статистических оценок, которые гарантируют, что найденные этими методами оценки будут обладать определёнными хорошими свойствами.

Одним из наиболее мощных является метод максимального правдоподобия– ММП (метод Фишера). Он использует априорные знания о распределении исследуемой СВ. Особенно эффективен он при малых выборках.

Метод максимального правдоподобия Пусть f(x, q) – плотность распределения СВ x, q – параметр, x₁, … x _N – выборка. Так как элементы выборки имеют такое же распределение, как и x и независимы, то их совместная плотность имеет вид:

L(x₁,…x _N, q) = f(x₁, q) ×… × f(x_N, q). (2.1)

L называют функцией правдоподобия (ФП).

Пусть теперь – некая реализация выборки (результаты эксперимента). Согласно ММП, в качестве оценки параметра q выбирают такое его значение, при котором ФП максимальна: