Денелерді топсалармен байланыстыру.

ЛЕКЦИЯ №1 КІРІСПЕ. СТАТИКАҒА КІРІСПЕ Теориялық механика пәні – денелердің механикалық қозғалыстарын және материалдық денелердің өзара механикалық әсерін зерттеу. Бізден тәуелсіз жүріп жатқан, әр түрлі және шексіз қоршаған ортаны, кез-келген адам сезім мүшелері арқылы таниды. Бұл шынайы дүние бір «материя» сөзімен анықталады. Материялық дүниенің үздіксіз құбылмалылығы – оның болмысының негізгі түрі – негізгі кең мағынада түсінілетін, қозғалыс деп аталады. «Материяның қозғалысынан басқа өмірде ештеңе жоқ және қозғалыстағы материя, уақытпен кеңістікте ғана қозғала алады». Шынымен де, өмірде үнемі әр түрлі құбылыстар болып жатады, оқиғаларды, үрдістерді белгілеп, олардың қашан және қай жерде болғанын біз жазып қойюға тырысамыз. Демек, кеңістік пен уақыт – материя тіршілігінің түрі. Материялық қозғалыс тіршілігінің ең қарапайым түрін зерттеумен, денелердің бір бірімен салыстырмалы орын ауыстыруларын және бір бірімен өзара әсерлесулерін зерттеумен теориялық механика пәні айналысады. Механикалық қозғалыс деп дененің өзге денелерге қарағандағы кеңістіктегі орнының уақыт өтуіне байланысты өзгеріп отыруын айтамыз. Механика өмір (өндіріс, техника) талабынан келіп шыққан, сонымен бірге дамыған ғылым болып табылады. Теориялық механика курсының құрылымы және бөлімдерінің мазмұны. Теориялық механика пәні негізігі статика, кинематика және динамика деп аталатын үш бөлімнен тұрады. Статика бөлімінде абсолют қатты денеге әсер ететін әр түрлі күштер жүйесінің баламалықтары қарастырылады, яғни берілген күштер жүйесінің осы қатты денеге механикалық әсері бірдей басқа күштер жүйесімен алмастыруға болатыны баяндалады. Кинематика бөлімінде денеге әсер ететін күштер есепке алынбай, материялық нүктенің, абсолют қатты дене қозғалыстарының жалпы геометриялық сипаттамалары зерттеледі. Динамика бөлімінде материялық нүктенің, қатты дененің қозғалысы зерттелгенде, осы қозғалыстың себебі болатын әсер етуші күштер және материялық объектілердің инерттілігі(массасы) ескеріледі. Механиканың дамуының негізгі сатылары. Механика ежелден бастап, өмір талабына сай қалыптасып келе жатыр. Ол ерте заманнан бастап Мысыр, Қытай, Ассирия, Вавилон, Грекия, Хорезм және т.б. қуатты мемлекеттерде өндірістің дамуына сай және мәдениеттің өркендеуіне байланысты дамып отырды. Аристотель (б.з.д 384-322 жж.) өзінің еңбектерінде иінтіректің (рычагтың) және басқа қарапайым машиналардың тепе-теңдігі, дененің жалпы қозғалысы мен күштер туралы ұғымдар енгізді. Аристотельдің «Механикалық мәселелер трактатында» көптеген құралдардан (ескек, желкен, тұтқа, иінтірек, көлбеу жазықтық, шығыр, шүмек, бұранда) жұмысы жазылған. Одан кейін Архмед (б.з.д. 284-212 жж.) бірінші болып иінтірек тің тепе-теңдік шартын дәлелдеді және паллель күштерді қосу ережесін, әртүрлі геометриялық фигуралардың және денелердің ауырлық центрін, сұйықта қалқып жүрген денелердің тепе-теңдік шарттарын анықтады. Птолемей планета қрзғалыстарының кинематикасын талдап зерттеумен қатар, әлемнің геоцентрлік жүйесін құрды. Бұл жүйеде Жер әлемнің ортасында орналасқан қозғалмайтын дене деп алынып, ал қалған барлық аспан денелері осы Жердің айналасында қозғалады деп тұжырымдады. Итальян ғалымы Леонардо да Винчи (1452-1519) механизмдер теориясы саласын зерттеді, голланд инженері С.Стевин (1548-1620 жж.) бір нүктеде қиылысатын үш күштің тепе-теңдігі мен күштердің параллелограмм ережесін көрсетті. Және с.с. Николай Коперник (1473-1543 жж.), Иоган Кеплер (1571-1630), Гилилео Галилей (1564-1642 жж.), Х.Гьюгенс (1629-1695 жж.), И.Ньютон (1643-1727 жж.), П.Вариньон (1654-1722 жж.), орыс ғалымдары М.В.Ломоносов (1711-1765 жж.), Леонард Эйлер (1707-1783 жж.), француз ғалымдары Л.Лагранж (1717-1783 жж.), Л.Пуассон (1777-1859 жж.), орыс ғалымы М.В.Остроградский (1801-1861 жж.), ағылшын ғалымы Гамильтон (1805-1865 жж.), орыс ғалымы П.Л.Чебышев (1821-1894 жж.), орыс ғалымдары С.В.Ковалевская (1850-1891 жж.), А.М.Ляпунов (1857-1918 жж.), И.В.Мещерский (1859-1935 жж.), К.Э.Циолковский (1857-1935 жж.),  Н.Е.Жуковский (1847-1921 жж.), С.А.Чаплыгин (1869-1642 жж.), А.Н.Крылов (1863-1946 жж.) ежелгі заман ғалымдары зор үлестерін қосқан. Теориялық механиканың негізін қалаған ғалымдар Галиллео-Ньютон болып табылады.   Теориялық механикада шығарылатын есептердің қысқаша сипаттамасы. Фундаментальды модельдер және анықтамалар. Теориялық механика – материялық денелердің механикалық қозғалысының жалпы заңдылықтары мен тепе-теңдігін және осы материялық денелердің өзара механикалық әсерлесуін зерттейтін ғылым. Өзара механикалық әсерлесу нәтижесінде бір материялық денелер басқа материялық денеге қарағанда қозғалысқа келітіріледі, яғни материялық денелер өзінің бастапқы қалпын өзгертеді немесе жоғарыда аталған екі жағдай қатар байқалады. Мысалы, Күн мен Жердің өзара механикалық әсерлесуі нәтижесінде Жердің күнге қарағандағы қозғалатынын байқаймыз. Үстел бетінде жатқан дене үстел және Жермен механикалық әсерлесуінің нәтижесінде Жерге қарағанда тыныштық күйде болады, ал балғамен ұрылған дене бөлшектері өзінің бастапқы қалпын өзгертеді. Материялық дененің орын ауыстыруы басқа бір материялық денеге қатысты анықталады, ол дене санақ жүйесі деп аталады. Көп жағдайда дене қозғалыстарын зертеу кезінде оның пішіні мен өлшемін ескермеуге болады. Материялық нүкте деп өлшемін басқа денемен салыстырғанда елемеуге болатын массасы бар денені айтамыз. Мысалы, Күн төңірігінде Жер қозғалысын зерттеген кезде, Жердің өлшемі оның Күнге дейінгі қашықтығымен салыстырғанда өте аз шама болғандықтан, Жер өлшемін ескермей, Жердің өзін Жер массасына тең материялық нүкте деп алуға болады. Бірақ, Жердің өз өсімен айналмалы қозғалысын зерттегенде , Жерді материялық нүкте деп алуға болмайды. Жалпы, кез-келген денені абстрактілі дене деп алып, оның өлшемімен салыстырғанда, шексіз аз өлшемді бөлшектердің жиынтығы деп қарастыруға болады, яғни дененің әрбір бөлшегін материялық нүкте деп аламыз. Олай болса, кез-келген дене материялық нүктелер жиынтығы. Қатты денелер өзара әсерлесу нәтижесінде өздерінің пішіндерін (формасын) өзгертуі (деформациялануы) мүмкін. Тепе-теңдік шарттарын қарастырғанда, қатты денелердің осындай аз шамада болатын деформацияларын ескермей, оларды абсолют қатты дене деп алуға болады. Абсолютті қатты дене деп кез-келген екі нүктесінің ара-қашықтығы тұрақты болатын денені айтады;

СТАТИКА

Статикаға кіріспе. Статика деген не? Статикада абсолют қатты денеге әсер ететін күштердің қасиеттері және күштер әсерлерінен мұндай денелердің тепе-теңдікте болу шарттары қарастырылады.

Статика бөліміндегі мәселелерді екі түрге бөлуге болады:

1) Күштерді қосу және абсолют қатты денеге қойылған күштер жүйесін қарапайым түрге келтіру;

2) Күштер жүйесі әсеріндегі абсолют қатты дене тепе-теңдігінің қажетті және жеткілікті шарттарын анықтау.

Негізгі түсініктер. Механикада материалдық денелердің бір-біріне өзара әсері күшпен өлшенеді. Күш векторлық шама болып, оның денеге әсері:

1) Күштің шамасы; 2) Күштің бағыты; 3) Күштің түсу нүктесімен анықталады.

1.1-сурет  
Күштің халықаралық бірліктер жүйесі (СИ) дегі өлшем бірлігі үшін Ньютон (Н) қабылданған.

Күштің бағыты және қойылу нүктесі денелердің механикалық әсеріне және олардың бір-біріне қатысты орналасуына байланысты.

Мысалы, Жердің денеге әсері Жер центріне қарай бағытталған болып, ол дененің ауырлық центріне қойылған. Суретте күш, ұшында бағыты (стрелка) болатын түзу кесіндісімен көрсетілген (1.1-сурет).

Кесіндінің А басы күштің түсу нүктесі болады. Кесіндінің ұзындығы қандай да бір масштабта күш шамасын бейнелейді. Күш бағытталған KD түзуі оның әсер ету сызығы делінеді.

Мысалы, ауырлық күшінің әсер сызығы дене ауырлық центрінен өтетін вертикалдан тұрады.

Күш вектор шама болғандықтан, оны үлкен әріппен белгілеп, бұл әріптің төбесіне сызық, яғни вектор белгісін қояды. (Мысалы, ). Күш шамасы F-пен белгіленеді.

Денеге немесе механикалық жүйеге әсер ететін күштер жиыны күштер жүйесі деп атаймыз.

Күштердің нөлге эквивалент жүйесі теңгерілген күштер жүйесі деп аталады:

~0.

Денеге қойылған  күштер жүйесінің әсерін өзге  күштер жүйесі беретін болса, онда бұл күштер жүйесі эквивалент күштер жүйеcі деп аталады және төмендегідей жазылады:

~ .

Егер ( 1, 2,….., n) күштер жүйесінің денеге әсерін бір  күш беретін болса, онда оны күштер жүйесінің тең әсерлі күші делінеді және ол былай жазылады:

( 1, 2,…, n) ~ .

Статика аксиомалары. Теориялық механиканың статика бөлімі дәлелдеусіз, күнделік тәжрибеде бекітілген бірнеше аксиомаларға негізделеді.

1. Инерция аксиомасы. Шамасы жағынан бір-біріне тең және бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған екі күш әсеріндегі дене өзінің тепе-теңдігін немесе түзу сызықты және бірқалыпты қозғалысын өзгертпейді.

2. Екі күштің тепе-теңдігі аксиомасы. Еркін абсолют қатты денеге түсірілген екі күш тепе-теңдікте болу үшін олардың модулдері тең болуы және бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталуы қажетті және жеткілікті (1.2 сурет;).

~0,  .

3. Тепе-теңдіктегі күштерді қосу және азайту аксиомасы. Күштердің кез келген жүйесіне күштердің нөлге эквивалент жүйесін қосуға немесе одан оны алып тастауға болады, бұдан берілген жүйесінің қатты денеге әсері өзгермейді.

1.2-сурет
     
1.3-сурет  
а)
ә)
    

Дене  әсерінен тепе-теңдікте болсын (1.3,а сурет). Денеге және ~ 0, күштер жүйесін қоялық. Нәтижеде дене ( 1, 2,…, n). Жаңа күштер жүйесі әсерінде де тепе-теңдікте болады (1.3,ә-сурет)., яғни:

( 1, 2,…, n) ~ ( 1, 2,…, n).

Жоғардағы аксиомадан төмендегі теорема келіп шығады.

Теорема (күш – сырғымалы вектор туралы) . Сан шамасын сақтай отырып күштің түсу нүктесін өзінің әсер ету сызығының бойымен бір орнынан екінші бір орынға көшіруге болады, одан күштің абсолют қатты денеге әсері өзгермейді.

 күші алғашқыда қатты дененің А нүктесіне түсірілген болсын (1.4,а-сурет). Күштің әсер ету сызығының қандайда бір В нүктесіне шамалары тең, АВ түзуімен қарама-қарсы бағытталған  және  екі күш түсірейік (1.5,ә-сурет). Бұл екеуінің де сан мәні, берілген күш -тің сан мәніне тең болсын:

Сондықтан В нүктесіндегі екі күш нөлге эквивалент болатын жүйе құрады:

~0.

Үшінші аксиома бойынша:

                                        ~ .                                                (ә)

Осы өрнектегі үш күштен тұратын жүйеден  және  екі күштен тұратын жүйені жекелеп алсақ, оның 3-аксиома бойынша нөлге эквивалент екенін көреміз:

~0.

3-аксиома бойынша күштердің нөлге эквивалент жүйесін берілген (ә) жүйеден алып тастауға болады:

                                            ~ .                                       (б)

Ал (ә) және (б) өрнектерін салыстырудан келесі шығады: ~ .

1.4-сурет
б)
ә)
а)

 

Бұл теореманы дәлелдейді. Демек, абсолют қатты денеге әсер етуші күштер сырғымалы векторлар болып табылады. Мұндай векторлардың бастапқы нүктелерін олардың әсер ету сызықтарының кез келген нүктесіне көшіруге болады.

4. Параллелограмм аксиомасы. Қатты дененің бір нүктесіне түсірілген екі күшті бір теңәсерлі күшпен ауыстыруға болады. Тең әсерлі күш берілген күштер-ден құрылған параллелограмм диагоналімен анықталады да сол нүктеге түсіріледі (1.5-сурет).

1.5-сурет
Қатты дененің А нүктесіне түсірілген  және  күштерінен параллелограмм құрамыз да, оның диагоналін табамыз. Осы параллелограммның диагоналі берілген күштердің тең әсерлі күшін бейнелейді:

~ , ,

болғанда

-та

1.6-сурет  
-та  болады.

5. Әсер және кері әсердің теңдік аксиомасы.

Екі дене бірі-біріне әр уақытта шамалары өзара тең, бір түзудің бойымен қарама–қарсы бағытталған күштермен әсер етеді. (1.6-сурет).

Бұл аксиоманы басқаша Ньютонның 3-заңы деп те атайды.

6 аксиома (қатаю принципі). Тепе-теңдіктегі кез келген механикалық жүйеге қосымша жаңа байланыстар жасауға болады. Бұдан оның бастапқы тепе-теңдіктегі жағдайы өзгермейді.

 

Байланыс (бекіту) түрлері және олардың әсер күштері.

Қатты дененiң, немесе механикалық жүйенiң еркiн қозғалуына жол бермей тұрған денелердi байланыстар деп атауға келiсемiз. Бұл ұғым өте күрделi ұғымдардың бiрi. Кеңістікте кезкелген жаққа қозғалатын дене еркін дене деп аталады. Қозғалысы қандай да бір себеппен шектелген дене байланыстағы немсе еркін емес дене деп аталады, яғни дененің қозғалысын шектейтін себеп байланыс деп аталады. Байланыс әсерін алмастырушы күш реакция күші делінеді. Байланыс реакциясы, байланысты ойша алып тастаған кездегі мүмкін болатын дене қозғалысының бағытына қарама-қарсы бағытталады.

Абсолют қатты дене статикасында байланыс рөлін жіп, сырық, бекітілген нүкте, топса және басқада түрдегі қозғалмайтын денелер атқарады.

7-аксиома. Байланыстар аксиомасы. Еркін емес денедегі байланыстарды, әсерлерін реакцияларымен ауыстыру арқылы, ойша алып тастауға болады. Содан кейін бұл дене берілген (актив) күштер мен байланыстар реакцияларының әсеріндегі еркін дене ретінде қарастырылады.

Статика есептерінде кездесетін байланыстарды негізгі төрт түрге бөлуге болады: 1) Денелердің өзара түйісуі; 2) Иілгіш байланыстар; 3) Денелерді топсалармен (шарнир) байланыстыру; 4) Қазықша байланыстар.

Осы айтылған байланыстардың кейбіреулерінің реакцияларының бағыттары туралы мәліметтер берейік.

1) Денелердің өзара түйісуі.(идеал тегіс жазықтық, бет немесе қисық). Олар 1.7 (а,б), 1.8 (а,б,в)-суреттерінде бейнеленген. Бірінші жуықтауда, үйкелісін елемеуге болатын тіреу рөліндегі В денесінің бетін идеал тегіс (жылтыр) бет дейміз. Мұндай идеал тегіс беттің немесе жазықтықтың, сызықтың, нүктенің реакциясы , екі дененің түйіскен нүктесіндегі ортақ жанамаға нормаль бағытталады.

в)


 

      1.7-сурет                                  1.8-сурет

 

Сондай-ақ, дене қозғалмайтын тірек жазықтығына тіреліп тұрса және үйкеліс күші есепке алынбаса, онда нормаль реакция күші дене мен тірек жазықтығының түйісу нүктесі арқылы жүргізілген ортақ нормаль бойымен бағытталады. (1.9-сурет).

                

1.9 сурет                              1.10 сурет                         1.11 сурет

 

Егер дене тірек жазықтығына бір нүктесімен тірелсе, онда қай жазықтыққа (дене немесе тірек жазықтығына) нормаль жүргізу мүмкін болса, реакция күші сол нормаль бойымен бағытталады (1.10, 1.11, 1.12 - суреттер).

1.12- сурет

 

Бұл 1.12 суреттердегі n, - нормаль және жанама, , байланыстар реакциялары.

2) Иілгіш байланыс (жіп, арқан, қайыс , шынжыр). Бұл түрдегі байланыстардың реакциялары байланыстардың бойымен олардың бекітіліген нүктесіне қарай бағытталады (1.13-1.15- суреттер).

                                               

         

 

 1.13-сурет        1.14-сурет                           1.15-сурет

Денелерді топсалармен байланыстыру.

1. Салмақсыз сырық. Өзіне түсірілген жүктемемен салыстыр-ғанда салмағын ескермеуге болатын сырықты салмақсыз сырық дейміз. Қандайда құрылым құрамындағы денелер бір–бірімен, ұштары топсалармен бекітілген салмақсыз сырықтармен жалғастырылған болса, онда мұндай сырықтардың реакциялары сырықтардың бойымен бағытталады (1.16 а, б – суреттер). Мұндай байланыстар тек өздерiнiң бойымен бағыттас бағытта денеге кедергi болады, сондықтан олардың реакциясы байланыстардың бойымен бағытталады. Мұнда сырықтар реакциялары .

      

         1.16-сурет                                                       1.17-сурет

 

2. Жылжымалы (қозғалатын) топса. Мұндай байланыстар 1.17,а,б-суреттерде көрсетілген, 1.17 а,б-суреттегі байланыс жылжымалы топса немесе каток деп те аталады. Оның реакциясы тіреу жазықтығына перпендикуляр бағытталады. 1.19-суретте тiреуiш жазықтық , ал жылжымалы топсаның реакциясы RА әрiпімен белгiленген.

3. Жылжымайтын (қозғалмайтын) топса. 16-суретте қозғалмайтын, цилиндрлік топса көрсетілген. Жылжымайтын (шарнир) топса денеге тек топсаға қатысты айналуына ғана кедергi етпейдi. Сондықтан жылжымайтын топсаның реакциясы күштердiң әсер ететін жазықтығында жатады. Бұл реакцияның түсiп тұрған нүктесi, жатқан жазықтығы белгiлi болғанмен бағыты белгiсiз. Бiрақ ол қалай бағытталсада оны жазықтықта белгiлi екi өзара перпендикуляр бағытқа жiктеуге болады. Әдетте жылжымайтын топсаның реакциясын тiреуiш жазықтыққа перпендикуляр және оның бетiне параллель бағыттарға жiктейдi.

                   

 

         1.16-сурет                                           1.17-сурет

 

Қозғалмайтын, сфералық топсаның (18-сурет) реакциясының, бағыты да, шамасы да белгісіз. Оның тек түсу нүктесі, яғни бастапқы нүктесі О-ны көрсете аламыз.

 

б)
а)
             

 

                  1.18-сурет                                                    1.19-сурет

 

4. Қазықша байланыс (қатаң бекіту). Қатаң бекiтпе (1.19-сурет). Қатаң бекiтпе дененiң барлық қозғалуларын тежейдi. Жазықтықта кез келген бағыттағы күштер жүйесi дененi нүктесiне қатысты айналдыруы және нүктесiмен бiрге жылжытуы ықтимал. Сондықтан дененi қатаң бекiтiп тұрған байланыс, МА реактивтiк моментiмен дененiң айналуына, ал ХА, УА реакцияларымен дененiң жылжуына қарсы әсер етедi.

 


ЛЕКЦИЯ №2. ЖИНАҚТАЛАТЫН КҮШТЕР ЖҮЙЕСІ

Жинақталатын (бір нүктеден өтетін – шоғырланған-қиылысатын) күштер.

Әсер ету сызықтары кеңістікте (жазықтықта) бір нүктеде қиылысатын күштер жиыны кеңістіктегі (жазықтықтағы) жинақталатын күштер жүйесі деп аталады.

Жинақталатын күштер жүйесі бір күшке эквивалент, яғни оның әр уақытта да тең әсерлі күші болады.

Күштерді геометриялық және аналитикалық әдістермен қосу. Жинақталатын күштер жүйесінің тең әселі күші

2.1-сурет
Геометриялық әдіс. Жинақталатын күштерді геометриялық қосқан кезде параллелограмм немесе үшбұрыш тәсілін тізбектей қолданамыз.

Теорема. Жинақталатын күштер жүйесінің тең әсерлі күші жүйедегі күш-тердің геометриялық қосындысына тең болады да оның әсер ету сызығы күштер түзулерінің қиылысатын О нүктесінен өтеді.

Теореманы дәлелдеу үшін 2.1-суреттегі күштердің бастапқы нүктелерін күштер әсер ететін түзулер бойымен сырғыта отырып,  нүктелерінен  нүктесіне келтіреміз. Сонда жинақталатын күштер жүйесін аламыз. О нүктесіне түсірілген күштерге біртіндеп күштер параллелограмының заңын қолданамыз.  және  күштерінің тең әсерлі күші бұл заң бойынша, осылардың қосындысына тең:

~ .                          (2.1)

Одан кейін  және  күштерінен параллелограмм құру арқылы  күшін табамыз (2.4-сурет):

~ , .

Келесіде  және  күштерінен параллелограмм құрамыз да  күшін табамыз:

~ , .

 күші  күштерінің тең әсерлі күші. Осы ретпен соңғы  күшіне дейін жетеміз. Бұл соңғы күшті алдыңғы  күштердің тең әсерлі күшімен параллелограмм заңы бойынша қоссақ, жүйенің тең әсер етуші  күшін аламыз:

~ , .       (2.2)

Осылайша күштер параллелограмы заңын біртіндеп қолдану арқылы жинақталатын күштердің бір күшке эквивалент екенін дәлелдедік. Бұл күш берілген жүйенің тең әсерлі күші деп аталады:

                                        .                                                     (2.3)

Аналитикалық әдіс. Күштің координаттық өске түсірілген проекциясы күштің модулі мен күш және өстің оң бағыттары арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенге тең (2.2-сурет):

, , .

Егер координаттық өс бір жазықтықта жатпаса, онда күшті алдымен берілген өс жататын жазықтыққа проекциялап алу керек.

Мысалы, ОХ өсіндегі  күшінің проекциясы –ті табу керек болса, онда бұл күшті OXY жазықтығына проекциялап аламыз (2.3-сурет).

Күштің жазықтықтағы проекциясын векторлық шама екенін мына белгімен көрсетеміз:                             .                                            (2.4)

                       2.2-сурет                                                2.3-сурет

Себебі ол өзінің сан шамасы (модулі) және жазықтықтағы бағытымен анықталады. Оның модулі мына формуламен беріледі:

                                          ,                                             (2.5)

мұндағы, күш  пен xy ох өсіндегі проекциясы, егер (2.5) өрнегін ескерсек, мына теңдікпен беріледі:

                                      .                                         (2.6)

Бас нүктесі, күш сызықтары қиылысатын, О нүктесінде OXYZ координаталар өстерінің тік бұрышты жүйесін аламыз. Осыдан кейін (2.3) теңдеуінің екі жағын да осы өстерге проекциялаймыз:

                                , , .                    (2.7)

Тең әсерлі күштің модулі параллелепипед диагоналының ұзындығымен, яғни мына формуламен есептеледі:   .                           (2.8)

 векторының координаталық өстермен жасайтын бұрыштарын α, β, γ деп белгілейтін болсақ, онда осы өстердегі оның проекцияларын

                 , ,                        (2.9)

өрнектеген болар едік. Ал бұл теңдіктерден  күшінің бағыттаушы косинустарын тауып алуға болады:

       , ,                         (2.10)

Жинақталатын күштердің векторлық, аналитикалық және геометриялық тепе-теңдік шарттары. Абсолют қатты дене өзінің бастапқы тепе-теңдік күйін сақтап қалу үшін  тең әсерлі күштің нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті:

                         ,  яғни .                      (2.11)

(2.11) теңдігі жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдікте болуының векторлық түріндегі шартын өрнектейді.

Аналитикалық тепе-теңдік шарт. Күш нөлге тең болса, оның әр координаттық құраушылары да, яғни оның өстердегі проекциялары да нөлге тең болады:

Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0        немесе      Σ Fkx = 0, Σ Fky = 0, Σ Fkz = 0.      (2.12)

(2.12) – күштердің жинақталатын жүйесінің кеңістіктегі тепе-теңдік шарттары.

Rx = 0, Ry = 0           немесе         Σ Fkx = 0, Σ Fky = 0.                    (2.13)

(2.13) – күштердің жинақталатын жүйесінің жазықтықтағы тепе-теңдік шарттары.

Жинақталатын күштердің кеңістіктегі (жазықтықтағы) жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін бұл күштердің координаттар өстерінің әрбіреуіндегі проекцияларының қосындыларының нөлге тең болулары қажет және жеткілікті болады.

Жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдікте болуының геометриялық түрі

Жинақталатын күштер жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін жүйе күштерінен құрылатын көпбұрыш тұйық болуы қажет және жеткілікті (2.4-сурет).

2.4-сурет

 

Үш күш туралы теорема

Теорема. Егер қатты денеге әсер етіп тұрған өзара параллель емес үш күштің жазық жүйесі тепе-теңдікте болса, онда бұл күштердің әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысады.

2.5-сурет
Қатты дененің  нүктелеріне түсірілген  күштері берілсін делік (2.5-сурет). Бұлардың бәрі де бір жазықтықта жатыр, олар өзара параллель емес. Бір-біріне параллель болып келмеген және бір жазықтықта жатқандықтан, күштердің екеуінің әсер ету сызықтары қалайда қиылысуы тиіс. Мысалы,  және  күштерінің әсер ету сызықтары О нүктесінде қиылысатын болсын. Бұл  екі күшті түсу А1 және А2 нүктелерінен, О нүктесіне күштер сызықтары бойымен сырғыта отырып көшірейік. Бір нүктедегі екі күшті қосу арқылы, сол  нүктесіне түсірілген бір күш аламыз: ~ . Олай болса: ~ .

Теореманың шарты бойынша: ~0. Сол себебті: ~0.

Ал екі күш тепе-теңдікте болу үшін бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталулары қажет. Олай болса  күшінің де әсер ету сызығы О нүктесінен өтуі тиісті. Сонымен теореманы дәлелдедік.

1-мысал. Салмағы ға тең жүк, суретте көрсетілгендей С нүктесіне ілінген. А, В және С нүктелерінде сырықтар топсалармен бекітілген. АС және ВС сырықтарының реакцияларын табу керек (2.6,а-сурет).

Берілегені:  Анықтау керек:  

Шешуі: 1. Нүкте деп аталатын, С денесінің тепе-теңдігін қарастырамыз.

2. С нүктесіне түсірілген актив күш .

3. С нүктесін байланыстардан босатамыз. АС, ВС сырықтары дағы байланыстар. Бұлардың реакцияларын  деп белгілей-міз.  күшінің әсерінен АС сырығы созылады, сондықтан оның реакциясы АС бойымен С-дан А нүктесіне қарай бағытталады. ВС сырығы  күшінің әсерінен сығылады, сондықтан оның реакциясы ВС бойымен В-дан С нүктесіне қарай бағытталады (2.6,б-сурет).

              а)                    б)                                в)

2.6-сурет

Сөйтіп, С нүктесі  күштерінің әсерінен тепе-теңдікте тұрған нүкте болып табылады.

4. Есепті геометриялық әдіспен шешу.

Күштер үшбұрышын құрамыз. Үшбұрышты құру белгілі  кү-шінен басталады. Кез келген бір  нүктесінен бастап берілген масш-табта алынған,  күшіне тең, яғни параллель ав кесіндісін саламыз (1.15,в-сурет). Кесіндінің бір ұшы а арқылы екі реакцияның бірінің (мысалы,  реакциясының) бағытына параллель түзу жүргізіп, оның екінші ұшы в арқылы қалған реакция (бізде  бағытына параллель вс түзуін жүргіземіз. Сонда осы екі түзудің қиылысқан нүктесі, күштердің авс үшбұрышының үшінші төбесі с-ны береді.

Демек,  күштерінің модулдерін анықтау үшін авс үшбұ-рышынан оның белгісіз қабырғаларын табу керек.

Күштер үшбұрышының ав қабырғасы белгілі. Оның бұрыштарын анықтағаннан кейін, синустар теоремасына сүйене отырып, мына қатынастарды жазамыз:

Осыдан:

,

5. Есепті проекция әдісімен, яғни аналитикалық әдіспен шешеміз. Координаттар жүйесінің бас нүктесін С топсасына орналастырамыз.  өсін ВС бойымен оң жаққа , ал  өсін АС бойымен жоғары бағыттаймыз.

С нүктесіне түсірілген күштер жүйесінің тепе-теңдігін өрнек-тейтін теңдеулерді жазамыз:

,

.

Бұл құрылған екі теңдеулер жүйесін шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

,

.

(  таңбасы  күшінің бағыты, 1.15,б-суретте көрсетілген бағытына қарама-қарсы бағытталатынын көрсетеді, яғни ВС сырығы сығылады.

2-мысал. Салмағы ға тең жүк, суретте көрсетілгендей, А нүктесіне ілінген. С, В нүктелерінде сырықтар АВ және АС топсала-рымен, ал  нүктесіне сым арқанмен бекітілген. Сырықтардың реак-цияларын және сым арқанның керілу күшін табу керек (1.18-сурет).

Берілгені:

Анықтау керек:

Шешуі. 1. Нүкте деп алуға болатын, А денесінің тепе-теңдігін қарастырамыз.

2. А нүктесіне түсірілген актив күш .

3. А нүктесін байланыстардан босатамыз. АВ, АС сырықтары және  сым арқаны А-дағы байланыстар. Бұлардың реакцияларын  деп белгілейміз. Егер бір нүктеге жинақталатын күштер жүйесі кеңістікте орналасқан күштер жүйесі болса, онда есеп шығарудың аналитикалық тәсілін пайдалану тиімді. А нүктесіне түсірілген күштер жүйесінің тепе-теңдігін өрнектейтін теңдеулерді жазамыз:

 

,

,

.

 

2.7-сурет

 

Бұл құрылған үш теңдеулер жүйесін шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз: Т = 6000Н, S1 = S2 = –3000Н.  және  күштері теріс таңбалы болып шықты. Сондықтан, олар суретте біз көрсеткен бағытқа қарама-қарсы бағытталуы тиіс, яғни сырықтар АВ және АС сығылады.

ЛЕКЦИЯ №3. КҮШ МОМЕНТТЕРІ ТЕОРИЯСЫ. ҚОС КҮШ ТЕОРИЯСЫ

Күштің нүктеге қатысты моменті және оның қасиеті . Жалпы жағдайда қатты дене өзіне түсірілген күштің әсерінен ілгерілемелі және массалар центрін айнала қозғалады. Демек, күш денені берілген центрден айналдыра қозғалтуға әрекет жасайды.

Күштің нүктеге қатысты айналдырушы әсері үш түрлі жағдайға тәуелді. Ол тек күш шамасына ғана тәуелді емес, оның иініне және қай жазықтықта, қандай бағытта әсер ететініне де байланысты болады. Күштің айналдырушы әсерін сипаттайтын осы жайларды өлшеу және бағыттау күш моменті деген ұғым арқылы орындалады.

3.1-сурет
Күш моментінің скалярлық анықтамасы. Күштің нүктеге қатысты моменті деп “+”, немесе “-”таңбасымен алынған күш пен оның сол нүктеге қатысты иінінің көбейтіндісіне тең болатын шаманы айтамыз. О нүктесінен күштің әсер ету сызығына дейінгі ең қысқа (перпендикуляр) қашықтықты күштің осы О нүктесіне қатысты иіні деп айтамыз (3.1-сурет).  күшінің О нүктесіне қатысты моментінің скаляр шамасын  деп белгілейміз. Осы белгілеуді пайдаланып жоғарыда берілген анықтаманы мынадай формула түрінде жазамыз:

.                                              (3.1)

(2.1) формуласы  күшінің О нүк-тесіне қатысты моментінің скаляр шама-сын анықтайды. Мұндағы, “+” не “–” таңбасын аларда оң бұранда ережесін қолданамыз.

(2.1) формуласы  күшінің нүктесіне қатысты моментінің скаляр шамасын анықтайды. Мұндағы, “+” не “” таңбасын аларда оң бұранда ережесін қолданамыз. Егер күш денені берілген нүктеден сағат тілі қозғалысына қарсы бағытта айналдыруға әрекеттесе, онда күш моменті “+” таңбасымен алынады. Ал егер күш денені берілген нүктеден сағат тілі қозғалысына бағыттас айналдыруға әрекеттесе, онда күш моменті “–” таңбасымен алынады.

Егер күш иіні метрмен өлшенсе, онда күш моменті ньютон-метр ( м ) немесе килограмм-метрмен  өлшенеді.

Күштің нүктеге қатысты моментінің қасиеттері.

Күштің түсу нүктесінен оның әсер ету сызығы бойымен жылжытудан күш моменті өзгермейді.

Күштің О нүктесіне қатысты моменті күштің өзі нөлге тең болғанда, немесе оның әсер ету сызығы осы О нүктесі арқылы өтетін болса ғана нөлге айналады.

2. Күштің нүктеге қарасты алгебралық моментінің векторы.  күштің О нүктесіне қатысты моменті деп радиус-вектор  мен  күшінің векторлық көбейтіндісіне тең векторды айтады (3.1-сурет). Күштің айналдырушы әсері оның моментімен анықталады дедік. Олай болса, моменттің анықтамасы күштің айналдырушы әсерін сипаттайтын жағдайларды түгел қамтуы керек. Ол үшін моментті жалпы жағдайда векторлық шама деп алуға тиістіміз. Күш моментін анықтайтын вектор мынадай шарттарды қанағаттандыруы керек:

1) оның модулі  көбейтіндісіне тең болуы; 2) оның  жазықтығына перпендикуляр бағытта орналасуы; 3) бағыты оң бұранда ережесіне сәйкес таңдалуы қажет. Осыған орай  көбейтіндісін қарастырып көрейік (3.1-сурет). Біріншіден, бұл векторлық көбейтіндінің модулі күш моментінің модуліне тең екенін байқаймыз:

.

Екіншіден, бұл вектор күштің әсер ету жазықтығына, яғни ОАВ жазықтығына О нүктесінде түсірілген перпендикуляр бойымен оң бұранда ережесіне сәйкес бағытталатынын көреміз. Олай болса,  векторы жоғарыда айтылған момент векторына қажетті шарттарды толық қанағаттандырады. Сондықтан да оны  күші моментінің векторы ретінде алуға болады. Егер  күшінің О центріне қатысты моментінің векторын  символымен белгілесек, онда ол мынадай формуламен анықталынады:

.

Бұл формула күш моментінің векторын анықтайды. Момент векторы , күш әсерінің жазықтығының О нүктесіне түсірілген перпендикуляр бойымен бағытталады, алгебралық шамасы (3.1)-формуламен есептелінеді.

Өске қатысты күш моменті. Күштің өске қатысты және өсте алынған нүктеге қатысты моменттерінің арасындағы тәуелділік Күштің денені өстен айналдырушы әсерін сипаттаушы – өске қатысты күш моменті.

 
-
3.2
сурет
 
Күштің өске қатысты моменті деп күштің берілген өске перпендикуляр жазықтықтағы проекциясының өс пен жазықтықтың қиылысу нүктесіне қатысты алынған моментінің “+”, немесе “-” таңбасымен алынған сан шамасын айтамыз.

Бізге А нүктесіне түсірілген  күші және  өсі берілсін (3.2-сурет). Өстің кез келген бір О нүктесі арқылы оған перпендикуляр жазықтық (ж)-ны жүргізейік.  күшінің (ж) жазықтығына түсірілген проекциясын  деп, ал күштің өске қатысты моментін  деп белгілесек, онда жоғарыдағы анықтаманы былай көрсетеміз:

.                                              (3.2)

Осы теңдік күштің  өсіне қатысты моментін табу,  күш проекциясының О нүктесіне қатысты моментін есептеуге келтіретінін көрсетеді. Ал, оны (3.1) формуласымен берілетін ереже арқылы есептейміз:

                                   ± .                                             (3.3)

Бұл формуладағы “+” не “–” таңбасын алатынымызды анықтауда оң бұранда ережесіне сүйенеміз. Егер z өсінің оң ұшынан қарағанда  әсерінен болуға тиісті айналыс сағат тілі қозғалысына қарсы бағытта көрінсе, онда моментті оң деп есептеп, “+” таңбасын аламыз; ал егер ол сағат тілі қозғалысына бағыттас болып көрінсе, онда моментті теріс деп есептеп, “–” таңбасын аламыз.

Координат өстеріне қатысты күш моменттерінің аналитикалық өрнектеу түрі.

,

=(y )  + (z )  + (x )  (3.4)

Мұндағы  – бірлік векторлар (орттар), х,у,z – күш түсірілген нүктенің координаттары,  күштің өстерге проекциялары.

Енді  векторын х,у,z координаттар өсітеріне жіктеп жазайық:

 +  +                (3.5)

(3.4) және (3.5) теңдіктерін салыстырғаннан келесі шығады:

;

(3.4) формула бойынша:

;

 векторының модулі:

.

 вектор-моментінің бас бағыты бағыттаушы косинустар арқылы анықталады:

cos = ;      cos = ;  cos = ;

Тең әсер күштің моменті туралы Вариньон теоремасы

Теорема. Бір жазықтықта орналасқан жинақталатын күштер жүйесінің тең әсер етуші күшінің осы жазықтықта жатқан кез-келген нүктеге қатысты моменті құраушы күштердің сол нүктеге қатысты моменттерінің алгебралық қосындысына тең.

3.3-сурет
 күштер А нүктесіне түсірілсін және олардың тең әсерлісі  болсын (3.3-сурет).

Күштер қойылған А нүктені момент орталығы (центрі) О мен біріктіріп, ОА-ға перпендикуляр Ох өстің оң бағытын, кез-келген күштің осы өстегі проекциясының таңбасы, осы күштің О центрге қатысты алынған моментінің таңбасымен бірдей болатындай таңдап аламыз. Күш моментінің үшінші ерекшелігінен пайдаланып, күштердің О нүктеге қатысты моментін анықтаймыз.

, ,

суреттен

x,               ,     .

Қос күш. Қос күш моментінің векторы. Абсолют қатты денеге әсер етуші шамалары тең, өзара параллель және қарама-қарсы бағытталған екі күштің жүйесін қос күш деп атаймыз. Күштердің әсер ету сызықтарының ең жақын ара қашықтығын, қос күштің иіні деп атаймыз.

3.4-сурет
Күштерінің мәндері тең ( ), бағыттары қарама-қарсы болғанымен, әр түрлі екі нүктеге әсер ететіндіктен қос күш нөлге эквивалент жүйе болмайды. Қос күш ( ) бір тең әсерлі күшке келтірілмейді. Оның әсерінен еркін қатты дене тыныштық күйінен шығып, айналмалы қозғалыс жасайды.

Қос күш әсері қос күш моментімен анықталады.

Қос күш моменті деп модулі, оның күші мен иінінің көбейтіндісіне (F∙h) тең, ал бағыты қос күш жазықтығына перпендикуляр болып келетін векторды айтамыз.

Қос күш моменті векторының бағытын анықтауда оң бұранда ережесі қолданылады (3.4-сурет).

Қос күш моментінің векторын  деп белгілесек, онда оның модулін қос күші мен иінінің көбейтіндісіне теңестіреміз:

                                                                        (3.6)

Бұл теңдіктен ол вектордың модулінің, ( ) күштерінен құрылған, параллелограмм ауданына тең болатындығын көреміз (1.21-сурет).

                                                                (3.7)

 векторы – еркін вектор, оны қос күш әсер ететін дененің кез келген бір нүктесіне түсіруге болады.

Енді жоғарыда берілген анықтамаға сәйкес қос күш моментінің векторлық өрнегін табуымыз керек. Сол мақсатпен мынадай векторлық көбейтінді аламыз:

 немесе .

Бұл векторлық көбейтіндінің модулі мен бағытын анықтайық. Оның модулін, (3.4-суретте) көрсетілген қос күштің иіні болып табылатын,  арқылы өрнектейік. Сонда алатынымыз:

                  .                    (3.8)

Бұл (3.8) теңдігін қос күш моменті векторының модулін анықтайтын (3.6) немесе (3.7) теңдігімен салыстырып қарасақ, онда екі вектордың модульдерінің тең екендігін көреміз:

.

Осыдан кейін  векторының бағытына көңіл бөлеміз. Бұл вектор ABCD параллелограмының жазықтығына (3.4-сурет) тұрғызылған перпендикуляр мен оң бұранда ережесіне сәйкес бағытталады. Демек,  (немесе ) векторы мен қос күш моментінің векторы  бірдей бағытталады. Осы салыстырудан  (не ) векторының  векторына тең болатынын табамыз. Олай болса, қос күш моментінің  векторын  және  (немесе  және  векторының векторлық көбейтіндісімен өрнектей аламыз:

                        .                                (3.9)

Балама (балама эквивалент). Қос күштер. Қос күштерді қосу.

Қос күштерді қосу туралы теоремалар

Теорема. Бір жазықтықта әсер ететін екі күшті осы жазықтықта жататын тең әсерлі бір қос күшпен ауыстыруға болады. Тең әсерлі қос күштің моменті құраушы қос күштер моменттерінің алгебралық қосындысына тең.

Бір жазықтықта жататын екі қос күш  берілсін дейік (3.5-сурет). Онда қос күштер моменттерінің сан шамалары:

               .                      (3.10)

3.5-сурет
Берілген қос күштерді бір иінге келтіруге болады. Ортақ иін үшін  кесіндісін алайық. Иіндері өзгеруі себепті қос күштердің күштері де өзгереді. Бірақ олардың моментерінің сан мәндері өзгермей қалуы керек:

,

тауып аламыз:

.

Осылайша берілген  қос күштер ортақ иінді  қос күштерге келтіріледі.

~  және ~ .

Осыдан кейін келтірілген  және  қос күштердің иіндерін АВ кесіндісіне параллель болғанға дейін бұрамыз. Сонан соң оларды (ж) жазықтығымен жылжыта отырып, олардағы күштерді А және В нүктелеріне түсіреміз.

А нүктесіндегі бір түзу бойымен бағытталған күштерді қосып бір тең әсерлі  күшін аламыз:

~ , .

Сол сияқты В нүктесінде:

~ , .

Сонымен, берілген екі қос күштер жиыны бір қос күшке эквивалент болады:

( )~( , )~ .

Енді тең әсерлі  қос күш моменті құраушы қос күштер моменттерінің алгебралық қосындысына тең болатындығын дәлелдейік.

Қос күш моментінің анықтамасы бойынша (3.10)-ны пайдалансақ:

.

 күштері, жоғарыда дәлелдегеніміздей, күштер қосындысына тең, сол себепті:

Мұндағы,  және  келтірілген қос күштер моменттері екенін ескеріп, оларды моменттің белгілеулері арқылы көрсетейік:

, .

Осыны пайдаланып алдыңғы теңдікті қайта жазамыз:

                    .                    (3.11)

Немесе қысқа түрде былай жазуға болады:

                .                      (3.12)

Бір жазықтықтағы екі қос күшті қосу туралы теорема дәлелденді. Соңында (3.11), немесе (3.12) моменттер қосындысын векторлық қосынды деп алуға болады. Өйткені бұлар параллель бағытталған:

                             .                                  (3.13)

Теорема. Кеңістікте кез келген ретпен орналасқан қос күштер жүйесі бір қос күшке эквивалент болады. Бұл тең әсерлі қос күштің моменті жүйедегі барлық қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең.

Бізге кеңістікте кез келген ретпен орналасқан n қос күштер берілсін дейік (3.6-сурет):

…,

Бұлардың моменттері  болсын (3.6-сурет). Алдыңғы теорема бойынша алғашқы екі қос күшті бір тең әсерлі қос күшпен алмастыруға болады:

~

3.6-сурет
Бұл қос күш моменті  құраушы қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең:

   .

Осы ретпен қос күштерді бірінен соң бірін қоса береміз. Ең ақырында  қос күшін алдындағы қос күштерге эквивалентті  қос күшімен қосамыз. Сонда қос күштер жүйесіне эквивалент болатын қорыт-қы бір ғана  қос күші шығады:

 

~ .      (3.14)

Қос күштер жүйесіне эквивалент бұл қорытқы қос күш моменті :

немесе

                 .                  (3.15)

Сонымен, қос күштер жүйесі бір тең әсерлі  қос күшке келтіріледі және оның моменті жүйедегі қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысына тең болады.

 

Қос күштер жүйесінің тепе - теңдігі

Қос күштер жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін жүйедегі қос күштер моменттерінің геометриялық қосындысы нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Шындығында кеңістікте кез келген ретпен орналасқан қос күштер жүйесі әр уақытта да бір тең әсерлі қос күшке келеді. Сондықтан, осы тең әсерлі қос күштің әсері жойылуы, яғни оның моменті нөлге тең болуы керек. Ендеше жүйедегі қос күштер моменттерінің қосындысы да нөлге айналады:

 

                     .                       (3.16)

 

Немесе қысқаша түрде:

                                 .                                           (3.17)

 

Бұл векторлық тепе-теңдік теңдеуін координаттар өстеріне проекцияласақ үш скалярлық тепе-теңдік теңдеулерін аламыз:

 

                                       (3.18)

 

(3.18) теңдеулерінен мынадай қорытынды шығарамыз: кеңістіктегі кез келген қос күштер жүйесі тепе-теңдікте болу үшін ондағы барлық қос күштер моменттерінің әрбiр координаттық өстегі проекцияларының қосындылары жеке–жеке нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

Егер жүйедегі қос күштердің барлығы да бір жазықтықта жататын болса, онда барлық моменттер осы жазықтыққа перпендикуляр бағытталады да, біріне-бірі параллель болады. Бұл жағдайда моменттердің алгебралық қосындысы нөлге теңестіріледі:

                                                                                         (3.19)

Қос күштердің жазық жүйесі тепе-теңдікте болу үшін ондағы қос күштер моменттерінің алгебралық қосындысының нөлге тең болуы қажет және жеткілікті.

 


ЛЕКЦИЯ № 4. БЕЙТАРАП БЕРІЛГЕН КҮШТЕР ЖҮЙЕСІ

 

Кез-келген жазық күштер жүйесі.

Күшті бір нүктеден екінші нүктеге параллель көшіру теоремасы.

4.1-сурет
Абсолют қатты дененің А нүктесіне түсірілген  күші берілген дейік (4.1-сурет). Күштің шамасын да, бағытын да сақтай отырып, өзіне-өзін параллель бағытта екінші орынға көшіруге болмайды. Өйткені мұндай жағдайда, берілген  күшінің қатты денеге жасайтын механикалық әсері өзгеріп кетеді. Берілген күшті қатты дененің кез келген нүктесіне өзіне-өзін параллель көшіруді мынадай лемманың көмегімен орындауға болады.

Абсолют қатты дененің А нүктесінде берілген  күші дененің басқа бір нүктесі В-ға түсірілген дәл өзіндей  күшке және бір қос күшке ( , ) эквивалент. Бұл қос күштің моменті, А нүктесіндегі  күшінің В нүктесіне қатысты алынған моментіне тең болады.

Теореманы дәлелдейік. Алдын ала көрсетілген В нүктесіне, шама-лары берілген күш шамасына тең және ол күшке параллель түзу бойымен қарама-қарсы бағытталған,  және  күштерін түсірейік (4.1-сурет).

Сөйтіп келісім бойынша В нүктесіне түсірілген күштер мына шарттарды қанағаттандырады:

                       және ~0.                        (4.1)

Нөлге эквивалент екі күштің бұл жүйесін берілген  күшке қосып жаңа күштер жүйесін алайық  сонда мынадай өрнек аламыз:

                         ~ ~ .                           (4.2)

Мұндағы,  шамалары тең және бағыттары қарама-қарсы, параллель екі түзумен бағытталған екі күштен тұратын тіркеме қос күш деп атаймыз. Тіркеме қос ( -тің моментінің векторы, анықтама бойынша мынадай формуламен беріледі:

                                                      (а)

Енді А нүктесіндегі  күшінің жаңа центр В-ға қатысты алынған моментінің векторлық өрнегін көрсетіп қояйық:

                                                                           (б)

(а) және (б) теңдіктерін салыстырып қарастырудан:

                                 ,                               (4.3)

екенін көреміз. (4.2) теңдігінен тіркеме қос күш  моменттерінің тең болатынын өрнектейді.

Теорема күшті, бастапқы түсу нүктесінен екінші бір нүктеге өзіне-өзін параллель көшіру, ол күшке сәйкес алынған қос күшті тіркеу арқылы орындалатынын көрсетеді.

Күштердің кез келген кеңістік жүйесін бір центрге келтіру. Қатты дененің А12,…,Аn нүктелеріне түсірілген күштердің әрбіреуін (4.2-сурет), ол дененің берілген нүктесі О-ға параллель көшірейік. О нүктесін келтіру центрі деп атаймыз.

Пуансо теоремасы. Қатты денеге әсер ететін күштердің кез келген кеңістік жүйесін, жалпы жағдайда, күш және қос күшке келтіруге болады.

Теореманы дәлелдеу. Негізгі леммаға сүйене отырып, жүйедегі әрбір күшті, А12,…,Аn нүктелерінен келтіру центрі О нүктесіне өздеріне-өздерін параллель көшірейік. Осы процесс нәтижесін мына өрнектермен көрсетуге болады:

,.., , . (4.4)

(4.4)-дегі өрнектерді бірін-біріне біріктіріп алу нәтижесінен мынадай өрнек шығады:

    (4.5)

4.2-сурет
(4.5) өрнегінің оң жағындағы О нүктесіне түсірілген күштер бір күшке эквивалент:

~ .               (4.6)

 күші О центріне жинақталған күштер жүйесінің тең әсер етушісі. Ол осы жүйедегі күштердің геометриялық қосындысына тең және ол келтіру центрі О – ға түсіріледі (4.2-сурет):

немесе .      (4.7)

Бұл вектор берілген күштер жүйесінің негізгі (бас) векторы деп аталады. Мұнымен қатар, қатты денеге n тіркеме қос күштер жүйесі  әсер етеді. Қос күштерді қосу туралы теорема бойынша, қос күштер жүйесі, вектор моменті осындағы қос күштердің вектор моменттерінің геометриялық қосындысына тең болып келген, бір қос күшке  эквивалент болады, яғни:

~ .                    (4.8)

Ал әрбір тіркеме қос күштің вектор моментінің  нүктесіндегі  берілген күштің келтіру центрі О-ға қатысты алынған  моментіне тең болып келеді. Олай болса, (1.36)-теңдігін былай жазамыз:

.

Енді (4.6) және (4.8) өрнектерін (4.7)-нің оң жағындағы орындарына қойсақ, онда мынадай өрнекке келеміз:

                              ~( ).                       (4.9)

Сонымен, теореманың дәлелдеуі (4.9)-өрнекпен беріледі. Ал қос күш  өзінің моментінің  векторымен анықталады. Бұл вектор қос күштер моменттерінің векторлық қосындысына тең (4.3-сурет):

.                   (4.10)

Бұл вектор берілген күштер жүйесінің негізгі (бас) моменті деп аталады.

Күштер жүйесінің бас векторы мен бас мометі.

4.3-сурет  
Берілген кез келген күштер жүйесінің  бас векторы мен  бас моментінің модулдерін және бағыттарын өрнектейтін анали-тикалық формулаларды анықтайық.  координаттар жүйесін 1.25-суретте көрсетілгендей түрде таңдап аламыз. Оның бас нүктесі О-ны жүйедегі күш-терді келтірудің центрі ретінде алайық. Бас вектор  жүйедегі күштердің вектор-лық қосындысына тең. Осы векторлық теңдеудің екі жағында координаттар өстеріне проекциялайық:

                 .                        (4.11)

Бас вектор -дің модулі:

                              .                                 (4.12)

Оның бағыттаушы косинустары:

      .         (4.13)

Координаттар өстерінің бас нүктесіне қатысты жүйенің бас моменті  жүйедегі күштердің сол нүктеге қатысты алынған моменттерінің геометриялық қосындысына тең болғандықтан оның координаттар өстеріндегі проекциялары  күштердің осы өстерге қатысты моменттерінің қосындылары арқылы анықталады:

           (4.14)

Оның бағыттаушы косинустары:

.        (4.15)

Бас вектор да, бас моментте нөлге тең болатын жағдай.

Күштердің кез келген жүйесі тепе-теңдікте болу үшін оның бас векторы және қандайда болмасын бір центрге қатысты алынған бас моментінің нөлге тең болуы қажет және жеткілікті:

                                        = 0, 0 = 0.                                           (4.16)

Осыны дәлелдейік. Күштердің берілген кез келген жүйесі  тепе-теңдікте болған жағдайда, (4.16) шарттары орындала ма екен, соны тексерейік. Қандай да бір центрге қатысты алынған жүйенің бас векторы  нөлге тең болмаса, онда ол басқа центрде нөлге айналмайды. Өйткені ол жүйенің келтіру центрінің орнына тәуелді емес. Демек, тепе-теңдіктегі жүйе үшін бас вектордың нөлге тең болуы қажет. Ал  болса, онда берілген күштер жүйесі қорытқы бір қос күшке келтіріледі. Бұл қос күш моменті  жүйенің келтіру центрін өзгерткенмен өзгермейтін вектор. Олай болса жүйенің тепе-теңдікте болуы үшін  болу керек. Сөйтіп, күштердің берілген жүйесі тепе-теңдікте болу үшін (4.16) шарттарының орындалуы қажет.

Енді (4.16)-шарттарының жүйе тепе-теңдігі үшін жеткілікті де екенін дәлелдейік. Ол үшін (4.16)-шарттары орындалды дейік. Онда жүйе тепе-теңдікте бола ма соны тексерейік. Егер  болса, онда берілген күштер жүйесі моменті  болатын бір қос күшке келген болар еді де тепе-теңдік болмас еді. Ал егер керісінше  болса, онда күштер жүйесі бір теңәсерлі күшке келтірілген болар еді де, тағы да тепе-теңдік болмас еді. Ендеше екі вектордың екеуі де бірдей:

                                   ,                                           (4.17)

болулары жүйенің тепе-теңдікте болуы үшін қажет және жеткілікті.

(4.16) теңдеулердегі  бас вектордың және  бас моменттің жүйедегі күштер арқылы берілген өрнектерін алсақ, онда ол теңдеулер мынадай түрге келеді:

                                                                     (4.18)

Кез-келген күштер жүйесінің аналитикалық тепе-теңдігік шарты.

(4.16) векторлық теңдеулері алты скалярлық теңдеулерге эквивалент болады:

       .         (4.19)

Немесе (4.19) теңдеулерін берілген күштердің координаттар өстеріндегі проекциялары және олардың координаттар өстеріне қатысты моменттері арқылы жазайық:

; ,

                       ; ,                           (4.20)

; .

(1.48) тепе-теңдік шарттарын сөзбен былай айтамыз. Күштердің кез келген жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін, жүйедегі барлық күштердің әрбір координаттар өстеріндегі проекцияларының қосындылары нөлге тең болулары және барлық күштердің әрбір координаттар өстеріне қатысты алынған моменттерінің қосындылары нөлге тең болулары қажет және жеткілікті.

а) Күштердің кез-келген жазық жүйесінің екі проекциялық және бір моменттік теңдеулер түріндегі тепе-теңдік шарттары. Жазық жүйенің күштері жатқан жазықтықты  деп белгілейміз. Онда жүйедегі күштер мен бас вектордың проекцияларын ∑  белгілеуге болады.  векторы  өсіне параллель, оның бірақ құраушысы болады.

Сонымен, (1.51)-дегі векторлық екі теңдеуден үш скаляр теңдеу аламыз:

                , ,                       (4.21)

(4.21) теңдіктері күштердің жазық жүйесінің скаляр түрдегі тепе-теңдік теңдеулерін өрнектейді. Олар былай айтылады: күштердің кез келген жазық жүйесінің тепе-теңдікте болуы үшін жүйедегі барлық күштердің екі координаттар өстерінің әрқайсысындағы проекция-ларының қосындылары және күштер жазықтығындағы кез келген бір нүктеге қатысты алынған күштердің моменттерінің қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті.

Күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарын (4.21)-ден басқа түрдегі теңдеулер арқылы беруге болады.

б) Күштердің кез-келген жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарының екі моменттік бір проекциялық түрі. Күштердің кез келген жазық жүйесі тепе-теңдікте болу үшін кез келген екі А және В центрлеріне қатысты күштер моменттерінің қосындылары мен АВ түзуіне перпендикуляр болып келген қандай да болмасын бір өстегі осы күштердің проекцияларының қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті:

            .              (4.22)

в) Күштердің кез келген жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарының үш моменттік түрі. Күштердің кез келген жазық жүйесінің тепе-теңдікте болуы үшін, ондағы барлық күштердің бір түзу бойында жатпайтын қандайда үш нүктенің әрқайсысына қатысты алынған моменттерінің қосындылары нөлге тең болулары қажет жєне жеткілікті:

             (4.23)

Параллель күштер жағдайы. Параллель күштердің кеңістік жүйесінің тепе-теңдік шарттары. Координаттық өстердің бірін, мысалы -ті, күштерге параллель етіп алайық. Онда жүйедегі әрбір күштің  және  өстердегі проекциялары нөлге тең болады. (4.23) теңдеулердің алғашқы екеуі және алтыншысы тепе-теңдік түрінде нөлге айналады. Сонда параллель күштердің кеңістік жүйесінің тепе-теңдігінің шарттары үш скалярлық теңдеулермен беріледі:

              , , .             (4.24)

Параллель күштердің кеңістік жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін, күштерге параллель өстегі олардың проекцияларының қосындысы және күштерге перпендикуляр жазықтықта жататын екі координаттық өстерінің әрқайсысына қатысты алынған олардың моменттерінің алгебралық қосындылары нөлге тең болулары қажет және жеткілікті.

Параллель күштердің жазық жүйесінің тепе-те ң дік шарттары. Параллель күштердің жазық жүйесі тепе-теңдікте болуы үшін, күштерге параллель өстегі олардың проекцияларының қосындысы мен осы күштердің кез келген бір центрге қатысты алынған моменттерінің қосындысы нөлге тең болулары қажет және жеткілікті:

                               , .                                   (4.25)

Параллель күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік шарттарын басқа түрде жазуға болады. (4.22) теңдеулеріне сәйкес оны былай жазамыз:

                                                          (4.26)

Мұндағы, А және В нүктелері күштерге параллель түзудің бойында жатпаулары керек.

4.4-сурет
Қадалған күштер және бірқалыпты таралған күштер, таралған күштердің мысалы.

1. Қадалған күш (4.4-сурет).

Бір-біріне түйісіп тұратын екі дененің өзара әсері олардың түйісу нүктесіне қойылған деп алынады. Ал шындығында денелердің түйісу орында деформация пайда болып, олардың өзара әсері түйісу нүктесіне қойылмай, қандайда-бір кіші ауданға қойылады. Бұл ауданның беті кіші болсада, шектелген.

4.4 сурет Ақиқатында, екі дененің түйісіп тұрған ауданы дене өлшемдеріне қарағанда өте кіші болса, бұл ауданды нүкте деп, ал күшті нүктеге қойылған қадалған күш деп есептейміз. Бұл қадалған күш денелердің түйісу ауданындағы қысымдарына тең әсерлі күші болады. Мысалы, екі ұшымен тірек үстінде жатқан тосынның бір жеріне қойылған ауыр дененің тосын бетімен түйісу ауданы өте кіші болғанда осы аудан бойынша әсер ететін күштер орнына олардың тең әсерлі күші -ны аламыз .

2.Бір қалыпты таралған күштер (4.5-сурет). Машина немесе ғимарат бөлігінің белгілі ауданы немесе ұзындығы бойынша қойылған күш үздіксіз әсер етсе, мұндай күш бір қалыпты таралған күштер делінеді.

4.5-сурет
Ұзындық бірлігі немесе аудан бірлігіне әсер ететін күштердің қарқындылығы q - мен белгіленеді және сәйкес н/м немесе н/м2– пен өлшенеді.

Бір қалыпты таралған күштерге балка үстіне төселген бетон немесе асфальт әсері мысал бола алады. Бетон немесе асфальт балка бойынша тегіс таралған болып, 4.5 суретте көрсетілгендей әсер етеді. Есеп шешкен кезде жайылған күштер бір күшпен ауыстырылады. 4.5 бір қалыпты таралған күштердің тең әсерлі күші ұзындық ортасына қойылған болып, мөлшері Q = 𝓵 ∙q болады.

2.

   4.7 сурет                   4.8 сурет
4.6-сурет
Бір қалыпсыз таралған күштерге бір мысал ретінде тоған қабырғасына түсірген судың әсерін айту мүмкін (4.6-сурет); бұл күштің үлестірілуі су бетінен тоған түбіне дейін үш бұрыш заңымен өзгеріп барады. Бұл жағдайда жайылған күштердің тең әсерлі күші үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесінен өтеді және мөлшері болады.

Егер жайылған күш шеңбердің доғасы бойынша әсер етсе (4.7 сурет), оның тең әсерлі күші болады: мұнда доға хордасының ұзындығы.

-дің әсер сызығы хорданың ортасынан өтеді.

Ғимарат бөліктеріне қойылған күштер бірдей үлестірілген болмастан, кезкелген түрде үлестірілген болуы мүмкін. Топырақ, кұм секілді шашылғыш материалдармен жүктелген балка бұған мысал болады. Бұл жағдайда жайылған күштердің қарқындылығы заңдылық негізінде өзгерсе (4.8 сурет), бұл күштердің тең әсерлі күші балка және қисық сызығымен шегараланған аудан арқылы өрнектеледі:

Q күштің әсер сызығы осы ауданның ауырлық центрінен өтеді және ол төмендегідей өрнекпен анықталады:

3. Қос күш. Белгілі аралықта орналасқан, бір-біріне қарама-қарсы бағытталған және мөлшер жағынан тең боған екі күш қос күш делінеді. 4.9-суретте балкаға қойылған қос күш бейнеленген. Қос күш берілгенде, қос күшті құраушылар және бұл құраушы күштер арасындағы қашықтық (4.9,а-сурет) немесе оның моменті, қос күш әсеріндегі айналу қозғалыс бағыты көрсетіледі (4.9,ә-сурет).

а)
ә)

 

4.9-сурет

1-мысал. Ұзындығы және салмағы 0,5Н біртекті арқалық қалыңдығы 0.5м қабырғаға А және В нүктелерінде сүйенетіндей болып енгізіліп қойылған. Біліктің соңына салмағы жүк Р ілінген.

А және В нүктелеріндегі реакцияларын табу керек (4.10-сурет).

4.10-сурет

Шешуі. 1. СВ арқалығының тепе-теңдігін қарастырамыз.

2. СВ -ға әсер етуші актив күштерді векторлар арқылы суретте көрсетеміз. Актив күштер болып табылатындар: .

3. СВ арқалығын байланыстардан босатамыз. А және В тіректе-рінің  және  реакциялары арқалыққа перпендикуляр бағыт-талады.

Тепе-теңдік теңдеулерін құрамыз:

,

4. Бұл құрылған екі теңдеулерді шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

Н, .

Қатты денелер жүйесінің тепе-теңдігі. Екi денеден құрасқан денелер жүйесiне , нүктелерiне F1=5H, F2=6H күштерi, ЕВ учаскесiне қарқындылығы q=1.75 H/м тең бiр қалыпты таралған күштер түсiп тұр (4.11, -сурет). Таралу учаскесiнiң ұзындығы =4 м, күштердiң көкжиекпен жасаған бұрыштары a1=1.0472, a2=0.7854 рад болған жағдайда сыртқы және iшкi байланыстардың реакцияларын анықтаңыздар.

 топсасынан денелер жүйесiн екi денеге бөлiп алайық. топсасының реакциясын әр денеде , өстерiне жiктеп шамалары мен бағыттарын былай етiп аламыз , . Бұл есепте  iшкi, ал сыртқы байланыстарға жатады.  топсасының реакцияларынан басқа әр денеге тиiстi күштердi бағыттағаннан соң әр денеге жазықтықта кез-келген бағыттағы күштер жүйесi әсер етедi (4.11, , -суреттер).

4.11-сурет

 

денесiне түсiп тұрған күштердiң тепе-теңдiк теңдеулерiн жазайық:

XД+ F2 cos a2=0, YД+YC-F2 sin a2=0,

YCl -F2 sin a2.2l =0.

Бұл теңдеулерден:

XД= - F2 cos a2= - 4.2426H, YC=2 F2 sin a2= 8.4853H, YД= - 4.2426H.

Ендi АД денесiне түсiп тұрған күштердiң тепе-теңдiк теңдеулерiн жазайық (4.11, -сурет):

Бұл теңдеулерде штрих қойылған мүшелердiң мәнiн ескерсек, қалған белгiсiздердi анықтауға болады

Денелер жүйесiне сыртқы байланыстардың реакциялары мен барлық күштердi түсiрiп жоғарыда анықталған реакцияларды тексерейiк (4.11, -сурет):

Анықталған реакцияларды нүктесiне қатысты барлық күштер мен реакциялардың моменттерiнiң қосындысына енгiзгенде, ол теңдеу қанағаттанды, сондықтан табылған реакциялардың мәндерi дұрыс екенiне сенуге болады. мәндерiнiң алдындағы керi таңба бұл реакциялардың бағыттары 4.11, -суреттердегi бағыттарға қарама-қарсы екенiн бiлдiредi.

Мысал. Чертежде сұлбасы бейнеленгендей, Q=800H жүкті жұмысшы воротаның көмегімен ұстап тұр; атанақтың радиусы см; саптың ұзындығы см,  см. Сап АК горизонталь болғандағы, сапқа түсірілген қысым  күшін және А және В тіректердің өстерге түсіретін қысым күштерін табу керек;  күші вертикаль (4.12-сурет).

Шешуі. Белгісіз күштерді табу үшін воротаның тепе-теңдігін қарастырамыз. Воротаға түсірілген күштер: шамасы ге тең арқанның тартылыс күші , актив күш  және цилиндрлік топсалардың реакциялары , , , . Күштердің кеңістік жүйесінің тепе-теңдік теңдеулерін жазамыз:

4.12-сурет

,

,

,

,

.

Құрылған бес теңдеулерді шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

 

Р = 100Н, ХА = 400Н, ZА = – 100Н, ХВ = – 400Н, ZВ = 0.

ЛЕКЦИЯ № 5. ҮЙКЕЛІС

Қимылсыз жағдайдағы және қозғалыстағы сырғанау үйкелісінің заңдары. Үйкеліс еселігі (коэффициент).

1. Жылжытушы күш өскен сайын үйкеліс күші -тің сан шамасы бастапқы уақыт t0-ден дене қозғалысқа келе бастағанға дейінгі уақыт аралығында арта түседі. Үйкеліс күшінің өсуі дененің тыныштық күйінен шығып, енді ғана жылжи бастайын деген сәтке дейін жүреді. Осы сәтке сәйкес келетін үйкеліс күшінің мәні ең үлкен шамаға жетеді. Сондықтан оны  деп белгілейді. Сонымен тыныштық кезіндегі үйкеліс күші -тің модулі (тыныштық үйкелісі) нөлден бастап max дейін өседі, яғни:

    0 ≤ F ≤ Fmax                                        (5.1)

2. Тыныштықтағы сырғанау үйкеліс күшінің максимальды мәні нормальдық қысымға (нормальдық реакцияға) пропорционал болады:

                                          Fmax = f0N                                          (5.2)

Сырғанау үйкелісінің коэффициенті f0, үйкелісетін беттердің материалына және олардың қазіргі физикалық күйіне (кедір-бұдырлығына, ылғалдылығына, температурасына т.б.) тәуелді бола-ды. Оның сандық мәні тәжірибе жасаумен анықталады (5.1-сурет).

h AAWZU1LEAAAA3QAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET01Lw0AQvRf6H5YRvJndaFsldltKQeyp pdEevI3ZMQlmZ0N23cZ/7xaE3ubxPme5Hm0nIg2+dawhzxQI4sqZlmsN728vd08gfEA22DkmDb/k Yb2aTpZYGHfmI8Uy1CKFsC9QQxNCX0jpq4Ys+sz1xIn7coPFkOBQSzPgOYXbTt4rtZAWW04NDfa0 baj6Ln+sho/4kM/mu7h9zPlzfD3tD3Qqo9a3N+PmGUSgMVzF/+6dSfOVmsHlm3SCXP0BAAD//wMA UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAASrOV4AAQAA5gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5 cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEACMMYpNQAAACTAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAxAQAAX3Jl bHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJz L3BpY3R1cmV4bWwueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAWZU1LEAAAA3QAAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAA nwIAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPcAAACQAwAAAAA= ">

5.1-сурет
А денесі В денесінің бетімен қозғалған кезде сырғанау үйкелісі пайда болады. Оны сырғанаудың қозғалыстық немесе динамикалық үйкелісі деп атайды. Ол күштің шамасы нормаль қысымға тура пропорционал болады, яғни:

F = fN.                (5.3)

Мұндағы, f сырғанау үйкелісінің динамикалық коэффициенті. Ол да статикалық коэффициент f0 сияқты үйкелісетін денелердің материалдарына және олардың беттерінің өңделу дә-режесіне, температурасына, майлануына тәуелді болып келеді. Сонымен қатар, ол дененің салыстырмалы жылдамдығына да тәуелді. Салыстыр-малы жылдамдықтың өсуіне байланысты f коэффициенті басында біраз кемиді де кейіннен әр уақытта да кіші болады, яғни f < f0.

Үйкеліс бұрышы; үйкеліс конусы және тепе-теңдікте болуы.

h AEDB4EjCAAAA3QAAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxET01Lw0AQvQv+h2UEb3a3IqHGbostKL22 6cHjkB2TaHY2Zidp/PfdQqG3ebzPWa4n36qR+tgEtjCfGVDEZXANVxaOxcfTAlQUZIdtYLLwTxHW q/u7JeYunHhP40EqlUI45mihFulyrWNZk8c4Cx1x4r5D71ES7CvtejylcN/qZ2My7bHh1FBjR9ua yt/D4C3sNl9/ZRwKGTL9WbwMP9kor5m1jw/T+xsooUlu4qt759J8Y+Zw+SadoFdnAAAA//8DAFBL AQItABQABgAIAAAAIQAEqzleAAEAAOYBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBl c10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAjDGKTUAAAAkwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAAMQEAAF9yZWxz Ly5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABIAAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9w aWN0dXJleG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQBAweBIwgAAAN0AAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJ8C AABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD3AAAAjgMAAAAA ">

5.2-сурет
Салмағы Q-ға тең А денесі, беті тегіс емес горизонталь В жазық-тығында жатыр дейік (5.2-сурет). Егер А денесіне горизонталь  күші әсер ете бастаса, онда оған үйкеліс күші де әсер ете бастайды. Жылтыр емес горизонталь В жазықтықтың берілген А денесіне түсіретін  толық реакциясы нормаль -нің бойымен бағытталмай, онымен бір φ бұрыш жасай бағытталады.

 горизонталь күшті әрі қарай өсіре берейік. Онда  үйкеліс күші де өсе береді. ‡йкеліс күші өзінің максимум мәніне ( max) жеткенше  күшін осылайша -ға дейін өсіреміз. Бұл кезде толық реакция  де өзінің максимум мәніне ( max) дейін өседі. Оның жазықтыққа түсірілген нормальмен жасайтын φ бұрышы да φγ -ға дейін өседі:

5.3-сурет
                ,                         (5.4)

Сонымен, үйкеліс бұрышы φγ деп, оның тангенсі статикалық үйкеліс коэффициентіне тең болатын, яғни максимум толық реакция ( max) мен жанасушы беттерге түсірілген ортақ нормаль арасындағы бұрышты айтады.

Берілген А денесі жазықтық бетімен кез келген бағытта да жылжи алады дейік. Онда жанасу жазықтығы В-ның бетінде, берілген А денесін әр түрлі бағытта қозғалтқан сайын,  нормальдан максимум бұрышқа (φγ) ауытқыған әр түрлі ( max) толық реакциялар алар едік.

Осы max мәні толық реакциялардың геометриялық орны төбесі денелердің түйісу нүктесінде жататын конустық бетті береді (5.3-сурет).

5.4-сурет
Домалау және айналу үйкелісі түсінігі. Домалау және айналу үйкелісі деп бір дененің екінші бір дене бетімен домалаған кезде пайда болатын кедергіні айтады. Бізге салмағы -ға радиусы -ге тең цилиндрлі каток берілсін дейік. Ол, жылтыр емес горизонталь, жазықтықта орналасып онымен алғашында А нүктесінде жанассын дейік. Әдетте катоққа салмақ күші  мен бірге горизонталь жазықтық катокке жасалған байланыс ретінде қаралады.

Жазықтық реакциясы екі құраушыдан тұрады. Оның бірі  нормаль қысым болса, екіншісі үйкеліс күші . Салмақ әсерінен тіреуші бет деформацияланады да  және  реакцияларының түсу нүктесі бастапқы А нүктесінен  – нүктесіне көшеді (5.4-сурет). А нүктесі,  күші бағытталған жаққа қарай, бастапқы орнынан d қашықтыққа жылжиды да  орнына келеді. Каток осы кезде тепе- теңдікте болсын делік. Катокке әсер етіп тұрған күштер жүйесінің тепе-теңдігінің шарттарын жазайық:

, , . (5.5)

Алғашқы екі теңдеуден

 F = Q, N = P                                           (5.6)

екенін анықтаймыз. Ал соңғы теңдеуден А және  нүктелерінің ара қашықтығын табамыз:

.                                                      (5.7)

(5.5) теңдеулерінен үшіншісін-дегі нормаль -нің А центріне қатысты алынған моментін домалау үйкелісінің моменті деп атайды, оны Мх арқылы белгілейді:

                                Mx = M0 ( ) = Nd.                                               (5.8)

(5.8) формуласының  актив күшінің сан шамасы өсе түссе d қашықтығы да өсетінін көреміз.

1-мысал. Білікке моменті  қос күш түсірілген және радиусы  тежегіш доңғалақ бекітілген. Тыныштық қалпында доңғалақ пен негіз арасындағы үйкеліс коэффициенті 0,25-ке тең.

Доңғалақты тоқтату үшін, тежегіш негіз доңғалақты қандай күшпен қысуы керек екенін табу керек.

Шешуі. Тежегіш доңғалақтың тепе-теңдігін қарастырамыз. Оған моменті М қос күш түсірілген. Доңғалақты байланыстан босатамыз, оның әсерін реакция күшімен ауыстырамыз. Әрбір реакция екі құраушыға жіктеледі: нормаль қысым  және үйкеліс күші   Үйкеліс күшін анықтайтын формуланы жазамыз:

Барлық күштердің айналу өсіне қатысты алынған моменттерінің қосындысын нөлге теңейміз:

 немесе .

Осыдан:

.

2-мысал. Саты АВ вертикаль қабырғаға сүйеп қойылған. Саты мен қабырға және еденнің арасындағы үйкеліс коэффициенттері f1 және f2. Сатының адаммен бірге салмақ күші , сатыны  қатынасына бөлетін С нүктесіне түсірілген. Сатының тепе-теңдік жағдайында, саты мен қабырға арасындағы бұрыш -ның ең үлкен мәнін, сонымен қатар қабырға және еденнiң нормаль құраушы реакцияларын табу керек (5.5-сурет).

5.5-сурет

 

Шешуі . Сатыға әсер етуші бір ғана актив күш бар. Ол сатының салмақ күші , оны суретте көрсетеміз. Сатыны байланыстардан босатамыз. Еден мен қабырғаның сатыға жасайтын әсерлерін  нормаль қысым және  үйкеліс күштерімен ауыстырамыз. Үйкеліс күшінің шекті шамасында бұрыш  болады, сондықтан:

, .

Күштердің жазық жүйесінің тепе-теңдік теңдеулерін екі проекциялық, бір моменттік теңдеулері түрінде аламыз:

,

,

Құрылған бес теңдеулерді шешу арқылы белгісіз күштерді табамыз:

; ;   .

ЛЕКЦИЯ № 6. ПАРАЛЛЕЛЬ КҮШТЕР ОРТАСЫ МЕН АУЫРЛЫҚ ОРТАСЫ (ЦЕНТРІ)

 

6.1-сурет
Параллель күштер жүйесін тең әсер күшке келтіру. Параллель күштердің радиус векторы мен параллель күштер ортасының координаттары.

Бірыңғай бір жаққа бағытталған параллель күштер жүйесінің тең әсерлі күші нөлге тең емес және ол жүйедегі күштерге параллель бағытталып, С нүктесі арқылы өтеді. Осы С нүктесінің О центріне қатысты радиус-вектор -ны және Xc. Yc. Zc координаттарын табу керек (6.1-сурет). Берілген күштер жүйесіне Вариньон теоремасын пайдаланамыз. Бұл теорема бойынша:

      (6.1)

Бұл теңдікті 6.1-сурет көмегімен құрамыз:

                                             (6.2)

Енді (6.3)- теңдіктің оң жағындағы векторды есептейік:

                              .                            (6.3)

Суреттен:

                          , .                    (6.3)

(6.3) теңдіктер көмегімен (1.39) –теңдікті мына түрге келтіреміз:

  (6.4)

(6.2) және (4.11) теңдіктерді (6.1) теңдіктегі орындарына қойып, одан бізге қажет теңдікті аламыз:

 немесе

                                      .                                   (6.5)

(6.5)-теңдіктен О-ға қатысты радиус-векторы с анықталады:

                                        .                                           (6.6)

(6.6) – векторлық теңдіктің екі жағын координаттық өстерге проекциялай отырып, xс, yс, zc шамаларын өрнектейтін формулалар-ды табамыз:

             , , .           (6.7)

Қатты дененің ауырлық ортасы, ауданның, қисық сызықты дененің ауырлық орталары.

6.2-сурет  
Қатты дене n бөлшектерден тұрады дейік (6.2-сурет). Сонда, жердің центріне қарай бағытталған, бөлшектердің n ауырлық күштері  аламыз. Егер дененің өлшемдері жердің радиусына қарағанда әлдеқайда кіші шама болса, онда  күштерін өзара параллель бағытталған күштер деп алуға болады.

Дене бөлшектерінің ауырлық күштерінен тұратын  параллель күштер жүйесінің центрін дененің ауырлық центрі деп атаймыз.

Демек, қатты дененің ауырлық центрінің орны мына формуламен табылады:

                                       (6.8)

Дененің ауырлық центрі С-ның координаттарын xс, yc, zc, деп белгілесек, онда (6.8) векторлық теңдеуден мына формулаларды табамыз:

                     , , .                       (6.9)

(6.9) – формулалар дененің ауырлық центрінің координаттарын береді.

Дененің ауырлық орталарын табу әдістері

1. Симметрия әдісі. Егер біртекті дененің симметрия жазықтығы өсі немесе центрі болса, онда дененің ауырлық центрі симметрия жазықтығында, өсінде немесе центрінде жатады. Мысалы, біртекті дененің симметрия жазықтығы болсын делік. Онда симметрия жазықтығы денені өзара салмақтары тең болатын және ауырлық центрлері симметрия жазықтығынан бірдей қашықтықта жататын екі бөлікке бөледі.Сондықтан дененің ауырлық центрі симметрия  жазықтығында жатады. Қалған екі жағдай дәл осыған ұқсас дәлелденеді.

2. Бөлу әдісі. Бұл жағдайда денені ауырлық центрлері симметрия немесе басқа әдістермен оңай анықталатын қарапайым денелерге бөледі де, 82 формуласына салмақтың орнына P=γVk, P=μSk (γ-көлемдік салмақ, Vk - көлем, μ-фигураның бірлік ауданының салмағы Sk – бет ауданы)немесе біртекті сызық L (L-жалпы ұзындық, 𝓵к –сызықтың жеке бөліктерінің ұзындығы) үшін анықталынады.

3. Толықтыру әдісі. Бұл әдіс қуыстары мен ойықтары (тесіктері) бар денелер үшін қолданылады. Қуыстар мен тесіктерді ойша толықтырғанда, ешбір бос қуысы, не тесігі жоқ бүтін дене пайда болады. Мұндай дене үшін бөлу әдісін қолданып ауырлық центрінің координаттарын анықтаған кезде, толықтырылған қуыстар мен тесіктердің аудандарын теріс таңбалы деп есептейміз.

4. Интегралдау әдісі. Денені ауырлық центлері белгілі бөлшектерге бөлуге болмайтын жағдайда, оның бөлшектерінің санын шексіздікке дейін өсіріп, (n→∞) және әрбір бөлшектің көлемін, ауданын немесе ұзындығын нөлге дейін азайтып, келесі формулалармен анықталады:

5.

6.4-сурет
Тәжірибе әдісі. Ауыр денелердің (автомобиль, ұшақ, электровоз және т.б.) ауырлық центрін анықтау үшін, алдымен оның алдыңғы бөлігін, сонан соң артқы бөлігін таразыға қойып (6.3-сурет), қосындылары оның ауырлық күшіне тең  және  қысым күштерін анықтаймыз.

Денеге әсер етуші күштердің ауырлық центріне қатысты моменттерінің алгебралық қосындысын нөлге теңестіріп, дененің ауырлық центрінің орнын табамыз, яғни

 бұдан

Тәжірибе жолымен дененің ауырллық центрін ілу арқылы анықтауға болады. Дененің екі нүктесіне ілінген кез-келген формадағы дененің ауырлық центрі осы нүктелер арқылы өртетін тік түзулердің қиылысқан нүктесінде болады.

Мысал. Радиусы см болатын  дөңгелек сегмент ауданының ауырлық центрі С-ны табу керек. .

Шешуі. Ауырлық центрі  симметрия өсінің бойында жатыр.

6.4-сурет
Берілген сегмент  ауданын ойша  сектор ауданына дейін толықтырамыз. Сонда берілген аудан орнына сектор ауданы мен ауданы теріс таңбалы АВО шығады.

Координаттар өстерінің бас нүктесі ретінде О-ны аламыз да, өстерді суреттегідей бағыттаймыз.

Есеп шартына сай топтау әдісінен шығатын формула мынадай түрде жазылады:

.

Формуладағы белгісіз шамалар: S1 – сектор ауда-ны; S2 – AOB үшбұры-шының ауданы; х1 – сектор ауданының ауырлық цент-рінің абсциссасы; х2АВО үшбұрышы ауданының ауырлық центрінің абсциссасы. Осыларды есептейік:

, ,

, .

Осы шамаларды негізгі формулаға қойсақ:

.

r = 30 см және a = 30° болғанда: хС = 27,7 см.


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 3055; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:




Мы поможем в написании ваших работ!