Базис совокупности векторов.Базиа на плоскости и в пространстве.Единственность разложения вектора в заданном базисе.

Координаты вектора, их арифметическое свойство.Ортонормированнвй базис.Орт оси.

Определение1. Арифметическим п - мерным вектором называется любая последовательность из п действительных чисел .

Краткая запись . Числа называются координатами вектора. Например, вектор имеет координаты 0, -2, 1, 5.

Геометрически можно изобразить только одномерные (направленные отрезки на прямой), двумерные (на плоскости), трёхмерные (в пространстве) арифметические векторы.

Определение 2.Два вектора и с одним и тем же числом координат , будем считать равными в том и только том случае, когда Равенство векторов обозначается обычным образом .

Определение 3. Суммой двух векторов называется вектор

Вектор называется нулевым и обозначается . Вектор называется противоположным вектору и обозначается .

1. .

2. .

3. .

4. .

Определение 4. Произведением вектора на число k называется

вектор

5. .

27 . Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление в ортонормированном базисе

Приложение скалярного произведения.Геометрический смысл координат вектора в ортонормированном базисе.Направляющие косинусы вектора

ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКА ВЕКТОРОВ.ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ,ЕГО СВОЙСТВА, ВЫЧИСЛЕНИЕ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если из конца третьего вектора поворот от вектора к вектору по наименьшему углу происходит против часовой стрелки (рис. 1), и левой – если поворот по наименьшему углу происходит по ходу часовой стрелки (рис. 2).

Замечание. Правая тройка векторов также называется еще положительно ориентированной, а левая – отрицательно ориентированной.

Замечание. Перестановка двух соседних векторов в рассматриваемой тройке меняет ее ориентацию.

Замечание. Циклическая перестановка или ориентацию тройки не меняет.

Утверждение. Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов больше нуля; и левой – если смешанное произведение меньше нуля.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим трём требованиям:

1) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, то есть

;

2) вектор ортогонален к каждому из векторов и ;

3) вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

30. Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл, свойства, вычисление в ортонормированном базисе трехвекторов

Использование ортонормированных базисов облегчает вычисление скалярного произведения по координатам векторов. Пусть в евклидовом пространстве Ε задан некоторый базис е = (e₁ ... е_n). Рассмотрим два произвольных вектора х и у в этом пространстве. Эти векторы представляются в базисе е своими координатами:

х = x₁e₁ + ... + х_nе_n, у = y₁e₁ + ... + y_ne_n.

Запишем эти разложения векторов по базису в матричной форме:

Скалярное произведение векторов х и у может быть выражено через скалярные произведения векторов базиса:

Составив из скалярных произведений базисных векторов ква-дратную матрицу Г = ((e_i,e_j)) порядка n, мы можем записать скалярное произведение заданных векторов в матричной форме:

(x,y) = x^TГy.

Матрица Г является симметрической в силу коммутативности операции скалярного умножения. Ее называют матрицей Грама системы векторов e₁, ..., е_n.

Пусть базис е является ортонормированным. Тогда скалярное произведение (е_i, е_j) при несовпадающих i и j равно нулю, а скалярные квадраты базисных векторов равны e²_i = ||е_i||² = 1. Это значит, что для ортонормированного базиса матрица Г является единичной. Поэтому

(x, у) = х^TЕу = x^Tу = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_nу_n.

В частности, в ортонормированием базисе норма вектора х, которая выражается через скалярный квадрат этого вектора, может быть вычислена по формуле

||x|| = √(х,х) = √(х²₁ + ... + х²_n) = √(x^Tx), (3.7)

а для косинуса угла φ между ненулевыми векторами х и у получаем выражение

В ортонормированном базисе e₁, ..., е_n также упрощается вычисление координат вектора: они выражаются через скалярные произведения. Бели х = x₁e₁ + ... + х_nе_n, то, умножив равенство скалярно на вектор е_i, находим, что

(х, е_i) = x_i, i = 1,n.

Пример 3.13. В евклидовом арифметическом пространстве R⁴ найдем угол между векторами а = (-1, 1, 0, 2) и b = (2, -1, 1, 0). Согласно формуле (3.8),

Условия коллинеарности, ортогональности, компланарности в ортонормированном базисе.

Определение.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 1564; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!