Второе обоснование теории вероятностей



Совершив первый полувиток вокруг правого аттрактора, траектория "бабочки Лоренца" уходит к левому и совершает вокруг него 24 витка, понемногу удаляясь от левой точки покоя; затем следует один виток вокруг правого и снова 4 витка вокруг левого. Переходов мало: 5 налево и 5 направо. Казалось бы, налицо предпочтение к левому аттрактору, но оно быстро иссякает, и на рис. b проступает безразличие: 22 левых и 24 правых витка, причем нет тенденции задерживаться у одного из аттракторов – переходов теперь много (11 налево и 10 направо), и это можно трактовать как независимость правых и левых витков. Как видим, траектория выходит на довольно-таки симметричный режим, при котором чередование правых и левых витков вполне можно сопоставить с результатами независимых бросаний симметричной монеты.

Есть и более прямые сопоставления: например, многообразие траекторий странного аттрактора, способных реализоваться за определенный отрезок времени, можно представить как преобразование плотности вероятностей начальных состояний в плотность вероятностей конечных состоя-ний [Странные..., 1981, c. 206]. А это уже чисто вероятностная процедура ("вычисление по одним вероятностям других"), и налицо аккуратное (пусть и частное) обоснование феномена вероятности. Это – второе обоснование. Первое, тоже частное, дала алгоритмическая ТВ.

Недавно получены фундаментальные результаты, делающие данное обоснование ТВ ясным и важным: для довольно широкого класса динамических систем, обладающих хаотическим поведением, доказаны основные предельные теоремы –ЗБЧ и ЦПТ [Bunimovich e.a., 1991; Young, 1998]. Это, прежде всего, так называемые рассеивающие биллиарды Синая, моделирующие движение атомов и молекул, претерпевающих упругие столкнования; но рассмотрены и иные системы с экспоненциальным распадом корреляций как функций дискретного времени. Хотя сама Л.-С. Юнг признала чрезмерную специальность некоторых условий и нестрогость некоторых доказательств, успех в обосновании ТВ представляется внушительным.

 

Симметрия по Борелю и случайность по Ламберту

Если обозначить через 0 выпадение герба, а через 1 – цифры, то серию из N бросаний монеты можно представить как действительное число (для определенности – число единичного отрезка), записанное в двоичной системе и вычисленное до N-го двоичного знака. Например, серия герб-цифра-герб, т.е. 101, запишется числом 0,101, т.е. обыкновенной дробью 5/8. Различных серий (раскладок) будет ровно столько, сколько существует различных чисел длины N, т.e. 2n. Анализ ЗБЧ переходит в анализ структуры действительных чисел, и мы подходим к описанной во Введении задаче, поставленной Ламбертом: почему знаки иррационального числа случайны?

Первого результата здесь добился Борель, один из создателей современной ТВ, в классической работе "Счетные вероятности и их арифметические приложения" [Borel, 1909](*). Вместо размышлений о случайности знаков конкретного числа (у Ламберта это был ), Борель задумался о свойствах действительных чисел вообще.

Наличие какой-либо зависимости между последовательными знаками – ничтожно редкое исключение. Борель популярно разъяснил данное обстоятельство (на примере периодичности знаков в числах, записанных в десятичной системе счисления): "Если... мы пишем последовательно все десятичные знаки вправо от запятой, то для того, чтобы десятичная дробь была периодической, нужно, чтобы... произошло бесконечное множество благоприятных случаев; в силу принципа сложных вероятностей нужно получить произведение бесконечного множества дробей, меньших единицы, так что получается результат сколь угодно малый, т.е. нуль" [Борель, 1923, с. 138].

Важнейшим достижением Бореля в статье 1909 г. было то, что он не просто устремил N к бесконечности, т.е. исследовал потенциальную бесконечность, но и рассмотрел свойства бесконечных дробей (прежде всего двоичных), т.е. ввел в ТВ актуальную бесконечность (она была тогда уже изучена в теории множеств). Например, актуально бесконечно в двоичной системе счисления число 1/3 – в этой системе оно равно 0,0101010... (всякое число 0<x<1, не являющееся суммой отрицательных степеней двойки, выражается в двоичной системе бесконечной двоичной дробью; если x рационально, то двоичная последовательность периодична, а если иррационально, то непериодична, т.е., в наших терминах, случайна по Ламберту.) При этом всякая особенность имеет нулевую долю или, точнее, нулевую меру по Лебегу – этот термин означает, что множество таких чисел на отрезке [0, 1] имеет нулевую суммарную длину. В частности, нулевую меру имеет множество рациональных чисел.

 


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 149; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!