От рулетки Пуанкаре к странным аттракторам
Обиходный взгляд на случайность исхода бросания монеты ("необозримо сложный полет") выступает как итог ущербной философской позиции (именуемой абсолютным детерминизмом), а вовсе не слабости фактических знаний. Со времен Ньютона и до работы Лоренца почти 300 лет ученые закрывали глаза на самодовлеющий характер феномена неустойчивости движения, полагая, что практический интерес представляют только устойчивые процессы. Оказалось не так.
Высказано убеждение [Растригин, 1969, с. 18], что источник неопределенности имеет в рулетке квантовую природу (трение определяется хаотическим движением атомов). Возможно, но он должен каким-то механизмом усиливаться, и этим механизмом служит принципиальная неустойчивость акта остановки рулетки.
Рулетка Пуанкаре оказалась простейшим примером динамического хаоса. Теория динамического хаоса (появилась в 1960-х гг.) показала, что случайное поведение является вполне обычным для широкого класса детерминированных систем. В настоящее время становится ясно, что в мире динамических систем господствуют два противоположных принципа – сжатых отображений и растянутых отображений. Первый лежит в основе обычной теории динамических систем, задаваемых дифференциальными уравнениями, имеющими (кроме отдельных особых точек) единственные решения. Если правые части уравнений непрерывны, то, в силу принципа сжатых отображений, единственный тип неустойчивости траекторий – расхождение от особых точек к асимптотам (замкнутые асимптоты именуются предельными циклами) или на бесконечность. Если не рассматривать особые точки, то случайности тут места нет ("лапласов детерминизм").
|
|
|
В.П. Гачок [1989] рассматривает всякую (в том числе и не описываемую дифференциальными уравнениями) самоорганизацию как сжатие отображений. Г.М. Заславский [1984] связывает появление динамического хаоса с противоположной ситуацией – когда в динамической системе выполняется принцип растянутых отображений; он имеет место в пространствах отрицательной кривизны; таковы, например, "рассеивающие биллиарды" – т.е. системы с упругими столкновениями шаров, когда производные непрестанно терпят разрыв, а углы расхождения со временем увеличиваются. В области действия этого принципа царит перемешивание, а оно порождает простейшую случайность – стохастичность. Другими словами, здесь возникают случайные события, повторяющиеся с регулярной частотой, т.е. частотой, сходящейся (или почти сходящиеся — см. п. 2-7) к определенному пределу, именуемому вероятностью. Иногда удается сформулировать и критерий стохастичности – условие, при котором в динамической системе возникает перемешивание.
|
|
|
Сравнивая идеологию этих двух книг, приходишь к мысли, что стохастичность динамических систем возникает там, где с течением времени происходит расширение фазового объема системы, а самоорганизация, наоборот – там, где происходит его сжатие. (Для сравнения: обычная статистическая физика исходит из идеи сохранения фазового объема.) В больших системах возможно расширение по одним фазовым областям или подпространствам и сжатие по другим, поэтому траектория реального процесса может переходить из области сжатия в область растяжения и обратно, что воспринимается как фазовые переходы. Поэтому, наблюдая за маргинальным участком (свойством, срезом) такой системы, естественно ожидать встретить наиболее сложно устроеннную случайность. Мы вернемся к этой теме в главе 6.
Рулетка моделирует отдельное бросание, но как связать отдельные бросания в цепь независимых испытаний так, чтобы вся цепь порождалась одной моделью, доступной аналитическому изучению? Такую модель являет собою странный аттрактор. Его впервые обнаружил в машинном эксперименте в 1963 г. американский математик-метеоролог Эдвард Лоренц, исследуя задачу о завихрении воздушного потока. Оказалось, что система из трех довольно простых дифференциальных уравнений (рис. 5) обладает поведением, похожим на неограниченную серию бросаний монеты. Полагая скорости равными нулю, найдем условия покоя системы: начало координат (x=y=z=0) и две симметричные точки x=y= ±6 
, z=27. Все три точки покоя неустойчивы, но вокруг каждой из последних двух расположен аттрактор (область, притягивающая к себе траектории).
|
|
|
Аттракторы были известны и ранее, но эта пара воистину странная, отчего ее (всю пару) и назвали странным аттрактором: попав в одну область притяжения, траектория может сделать вокруг точки покоя непредсказуемое число оборотов, а затем уйти в другую область, где поведет себя аналогично (столь же нерегулярно).
На рис. 5 [Странные..., 1981, c. 73] изображены первые сто витков после выхода траектории из начала координат (a – первые 54 оборота, b – следующие 46). Обороты вокруг левого аттрактора происходят по часовой стрелки, вокруг правого – против. Эту картинку иногда называют "бабочкой Лоренца", и это удачно, но надо иметь в виду, что "крылья" этой "бабочки" неплоские и сгруппированы вокруг разных плоскостей.
Для понимания мировоззренческого аспекта феномена странных аттракторов важно следующее обстоятельство: "Хотя решения полностью определяются своими начальными данными, они с течением времени меняются чрезвычайно нерегулярным образом. Более того, малые отклонения начальных условий вызывают большие отклонения в поведении решений" [Странные..., 1981, c. 193]. То есть перед нами две случайности –первая проявляется вдоль одной траектории, четко воспроизводима и эквивалентна как одной раскладке в схеме Бернулли, так и случайности по Ламберту для одного числа; другая состоит в резком различии между траекториями, берущими начало из близких точек, плохо воспроизводима и аналогична серии(*) бросаний монеты (или серии опытов с рулеткой Пуанкаре). И если вторую случайность еще можно (хотя, на мой взгляд, не нужно) подавать как следствие незнания (сложности), то первая прямо проистекает из знания: стохастическая последовательность порождена самой системой уравнений. Это оказалось неожиданно.
|
|
|
Последнее для нас важнее всего: здесь факт непредсказуемости не имеет отношения ни к точности задания начальных данных, ни к возмущениям в ходе движения, а заключен в самой системе уравнений. Это – новая для науки ситуация, она придает феномену случайности новый статус, статус объективной реальности.
Б.В. Чириков, один из творцов теории динамического хаоса, резонно изумился: "Источник чрезвычайной сложности, характерный для индивидуальной реализации случайного процесса, оказался совсем не там, где его искали со времен Больцмана! Дело вовсе не в сложном устройстве конкретной динамической системы (и уж тем более не в числе ее степеней свободы)..." [Лихтенберг, Либерман, 1984, c. 3]. Добавлю: и даже не в случайном процессе. Источник вполне виден в единичном случайном акте – остановке стрелки рулетки. (Напомню, сам феномен остановки вращения как источник случайности отметил еще римский пифагореец Нигидий Фигул – см. гл. 1.)
Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 248; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!