Алгоритмическая вероятность и нестандартный анализ



Обратимся теперь к упомянутой не раз "аксиоме случайности". Вот ее оценка, самая благосклонная, какая мне известна в рамках традиционной ТВ: "Весьма существенную роль при этом (формировании ряда испытаний – Ю.Ч.) играет так называемая аксиома случайности. Она утверждает, что эмпирическая вероятность события не изменится, если из имеющейся потенциально бесконечной последовательности наблюдений выбросить некоторые, не зная наперед результатов отбрасываемых наблюдений. Мизес определяет затем математическую вероятность как предел относительной частоты события, когда число наблюдений неограниченно растет. Этим Мизес дал толчок современному развитию теории вероятностей"; однако "определение математической вероятности по Мизесу приводит к трудностям логической природы" [Шметтерер, 1976, c. 33].

В чем состоял толчок, а в чем трудности, не говорится, и это, к сожалению, обычно. Вместо объяснений дана отсылка к коллективному труду [Cantelli e. a., 1939] по обоснованию ТВ, хотя Л. Шметтерер писал четверть века спустя, когда ТВ обрела уже совсем иное обоснование (с ним мы познакомимся ниже). Отсылка символична: 1939 год был последним, когда логики отрицали логику Мизеса. В 1940 г. произошел перелом.

Перелом коснулся всей проблематики случайного и за следующие четверть века породил новую дисциплину – алгоритмическую ТВ. Дело в том, что Мизес не мог сказать, существуют ли "коллективы" и как их выявлять. Первого успеха тут достигли в США математик Абрахам Вальд (1937 г.) и логик Алонзо Чёрч (1940 г.), показавшие, что случайная последовательность знаков может существовать [Ширяев, 1998, c. 116]. Затем выяснилось, что последовательность знаков (цифр) почти любого иррационального числа может служить коллективом по Мизесу и заменять собой случайные бросания симметричной монеты (кости) [Шень, 1982; Успенский, Семенов, 1987; Philosophy..., 1993].

Этим был завершен долгий этап в понимании вероятности. После книги Колмогорова (1933 г.) чебышевское умонастроение (вычислять по одним вероятностям другие, и только – см. Введение, прим. к п. 1) стало господствовать в ТВ безраздельно. Оно привело к блестящим результатам, но к 1960-м годам выродилось в то, что методолог Томас Кун в те же годы (но не имея прямо в виду ТВ) называл решением головоломок. "И дело здесь не в том, что какие-то исследователи целиком стоят на неверном пути. Просто по пути, который они избрали, нельзя идти достаточно долго" [Кайберг, 1978, c. 7]. Нужно исследовать иные линии.

Параллельно чебышевской развивалась другая линия, видевшая ТВ как естественнонаучную дисциплину и идущая как минимум от Венна. Ставя в 1900 г. свои знаменитые проблемы, Давид Гильберт предлагал аксиоматически построить ТВ в рамках аксиоматизации физики. Вероятность как физическое понятие трактовали тогда многие, а некоторые трактуют до сих пор [Алимов, Кравцов, 1992]. По этому пути и двинулся Мизес, желавший видеть вероятность как предел частоты.

К сожалению, вероятность как предел дроби m/n вряд ли является удачным понятием – неясно, в каком смысле тут говорить о пределе. По верному замечанию В.Н. Катасонова, историка философии, "если бы даже мы имели возможность произвести эту, конкретную бесконечную серию испытаний и получили бы некоторую частоту, то совсем не очевидно, почему другая бесконечная серия испытаний должна давать то же значение предельной частоты" [Катасонов, 1993, c. 121]. Один из смыслов бесконечных частот был прояснен в 1960-е годы в рамках нестандартного анализа – концепции, работающей с актуальными бесконечностями.

Исходные позиции нестандартного анализа популярно объяснил В.А. Успенский [1987]. Число a>0 называется бесконечно малым, если оно меньше любого 1/n, где n – натуральное. Тогда 1/a – бесконечно большое число (число, а не предел последовательности!),и когда такое число целое, его называютгипернатуральным. В этих обозначениях вероятность по Мизесу естественно определить как p = M/N, где M и N – гипернатуральные числа.

И бесконечно малые, и бесконечно большие числа являют собой представителей множествагипервещественных чисел, составляющих предмет изучения нестандартного анализа. Тут можно развить свое исчисление вероятностей [Albeverio e.a., 1986], но нам достаточно того очевидного факта, что разные бесконечные серии бросаний одной кости эксплицируются разными гипернатуральными числами. В такой интерпретации особенно хорошо видно, что вопрос о существовании вероятности (т.е. вопрос об устойчивости частоты) и вопрос о существовании предела по Мизесу (предела дроби m/n) – различные вопросы, тогда как сам Мизес видел здесь только один.

В знаменитой статье [Kolmogorov, 1963] (русский перевод [Колмогоров, 1982]) сделана попытка "осмыслить частотную интерпретацию Р. фон Мизеса". Там было введено понятие случайности как устойчивости частоты: <<Если для таблицы(*) достаточно большого размера N по крайней мере один простой тест на случайность... с достаточно большим размером выборки n показывает "значительное" отклонение от принципа постоянства частот, мы немедленно отвергаем гипотезу о "чисто случайном" происхождении рассматриваемой таблицы>>. Легко видеть, что "чисто случайным" тут названо то, что в статье 1956 г. названо стохастическим. (Колмогоров, работая в Индии, не имел под рукой своих статей.) Тем самым, случайность по Колмогорову и стохастичность по Колмогорову – синонимы, пока речь идет о частотном подходе; этого нельзя сказать о развитом вскоре сложностном подходе, который привел к понятию хаотичности по Колмогорову [Шень, 1992, c. 125-126].

В статье 1963 г. доказано, что для определенного класса алгоритмов, проводящих тесты, случайная таблица (цепь) существует для любого N, не меньшего, чем некоторое n. Колмогоров особо оговорил, что не использует понятий ТВ (если не считать ими элементы комбинаторики), чтобы иметь возможность обсудить "область применимости теории вероятностей". Этим он впервые пошел вразрез с традицией Мизеса – Чёрча, где устойчивость частоты принималась как исходный факт. См. Добавление 2.

После данной статьи сам Колмогоров и другие математики стали развивать несколько иной подход – рассматривать связь случайности со сложностью в аспекте теории информации: сложность цепочки знаков, записанных по определенному алгоритму, оценивают минимальной возможной длиной алгоритма, дающего эту последовательность. При этом максимально сложной называется последовательность, которую нельзя выразить короче, нежели записав ее саму целиком. Ее называют случайной по Колмогорову и связывают это с интуитивным пониманием случайности как отсутствия алгоритма. Равноценные результаты получил шведский математик и логик Пэр Мартин-Лёф в рамках теории меры, показавший к тому же, что основная часть цепей случайна. Принципиально то, что множества цепей, случайных в обоих смыслах, оказались эквивалентны, поэтому говорят о случайности по Колмогорову – Мартин-Лёфу [Шень, 1982, 1992; Успенский, Семенов, 1987; Ширяев, 1998].

В некотором (пусть и узком) смысле линии Ламберта и Венна сошлись: частоту тоже можно рассматривать как математический объект. Более очевидным это станет после рассмотрения странных аттракторов.

 


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 128; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!