Глава 2. Что такое вероятность



Сорок лет назад польский методолог Стефан Амстердамский отмечал: "В рамках аксиоматического исчисления само понятие вероятности не имеет развернутого (explicite) определения. Оно рассматривается как не получившее определения исходное понятие, поставленное в условия системы аксиом" [Закон..., 1967, c. 14]. Ныне это замечание столь же актуально, и наш историк физики пишет: <<Формально доминирующим считается "аксиоматический подход" А.Н. Колмогорова... рассматривающий теорию вероятностей как сугубо математическую дисциплину (частный раздел теории меры)... Единственным его недостатком является то, что сам термин "вероятность" при таком подходе вообще не определяется – он объявляется первичным понятием теории... Этим путем приходится идти и авторам соответствующих курсов теории вероятностей, лишь иллюстрируя (но не определяя) понятие "вероятность">> [Андреев, 2000, c. 214].

Действительно, согласно Колмогорову, "вся математическая теория вероятностей с формальной стороны может быть построена как теория меры... Тем не менее, по существу решаемых задач теория вероятностей остается самостоятельной математической дисциплиной; основные для теории вероятностей результаты (речь идет о законе больших чисел и других предельных теоремах – Ю.Ч.) кажутся искусственными и ненужными с точки зрения чистой теории меры". Сказав о формальной применимости теорем о независимых случайных событиях к неслучайностным задачам, он добавил: всё это имело бы мало интереса, если бы "не находилось в связи со свойствами реально независимых (в причинном смысле) явлений" [Колмогоров, 1956, c. 274, 272].

Уточню мысль А.В. Андреева: обычное для математиков выражение "вероятностью называется счетно-аддитивная мера..." для иных ученых бессодержательно и потому не служит им определением. Они вынуждены пользоваться различными (старыми, но до сих пор математически не продуманными) пониманиями вероятности, многие из которых как раз и описаны у Андреева. Как такое получилось, нам надо выяснить.

 

2-1. Ранние смыслы термина "вероятность"

Хотя слово "вероятность" в наше время означает меру случайности, однако прежде имело иной смысл. В прежние времена вероятным называли то, 1) во что можно верить, что может оказаться правдой; 2) что можно проверить; 3) на что можно надеяться. Если пользоваться нашим нынешним языком, то Аристотель случайным называл то, что происходит редко, а вероятным – то, что происходит часто. Для событий, которые могут с равной возможностью как происходить, так и не происходить, термина тогда не было, а сама такая ситуация приводила, как уже говорилось, греческих философов в замешательство. Во II-III веках, у младших скептиков, возник термин изостения, который переводят как равносилие, равновесие, равнозначность [Виндельбанд, 1902, c. 293; Целлер, 1996, c. 226]. Его можно перевести и как равновероятность, но с той оговоркой, что имеется в виду только логическая равновероятность, т.е. равнозначность утверждения и отрицания какого-то высказывания (а не, например, равная частота выпадения монеты гербом и цифрой, о чем в древности речи не было).

Как уже говорилось, никакого представления о частоте повторяющегося события, которую можно измерить, древность, по-видимому, не знала. Считалось, что исход случайного испытания определяется судьбой. В азартных играх использовались резко несимметричные кости в качестве справедливых, а наибольший выигрыш назначался за далеко не самый редкий исход. Слово "вероятность" не имело ничего общего с нынешним термином ТВ.

Надо выяснить, каким образом древнее слово probabilitas (вероятность) получило новый смысл. Без этого мы рискуем повторить судьбу прежних авторов, не сумевших договориться о смысле понятия "вероятность", поскольку этим словом одновременно обозначались совсем разные вещи. Происхождение термина "вероятность" расмотрено в работе [Чайковский, 2001], здесь же отметим самое необходимое.

Еще в средневековом банке произошло осознание феномена статистической закономерности. Оно широко использовалось, но в середине XVI века банковская система рухнула, и статистическая традиция пресеклась. Подробнее см. главу 5. По всей видимости, идея заново родилась в 1662 г. в поразительной небольшой книге Джона Граунта, торговца сукном, и тут же была подхвачена научным сообществом.

Граунт подошел в одном месте к идее вероятности: "Поскольку многие люди живут в большом страхе и опасении чего-то самого ужасного и предстоящих скверных болезней, я только укажу, сколько людей умирает от каждой: соответствующие числа, будучи сравнены с общим [числом умерших] 229250, дадут этим людям лучше понять вероятность [the hazard] этого" [Graunt, 1939, с. 31]. Очевидно, что здесь the hazard подразумевает статистическую вероятность умереть от данной причины.

В том же году в Париже вышла анонимная книга "Логика, или искусство мыслить", где вероятность (probabilité) была понята не только как степень уверенности, а и в других смыслах. Например: "для каждого (игрока – Ю.Ч.) вероятность проиграть один экю относится к вероятности выиграть девять экю как девять к одному" [Арно, Николь, 1991, с. 362]. Это – так называемая априорная вероятность. К ее связи со статистической мы и должны сейчас обратиться.

 

Кардано, ученый игрок

В главе 1 говорилось, что средневековые мыслители подошли к так называемому априорному (классическому) пониманию вероятности, описывая число способов, какими достигается тот или иной исход. Гораздо большего успеха добился Джироламо Кардано, один из "титанов Возрождения", давший в середине XVI века науке о вероятностях главные идеи. Он наиболее известен изобретением карданного шарнира для морского компаса (сходный работает в автомобиле) и формулой корней кубического уравнения, сам же себя он считал прежде всего врачом. В старости он больше всего говорил о болезнях и ценил свои знаменитые рецепты, но в молодости он был страстный игрок.

Около 1564 г. Кардано написал небольшую книжку "Liber de ludo aleae" (это заглавие можно перевести двояко: или "Книга о том, как играть в кости", или "Книга о случайных играх"). Хотя основная ее часть посвящена описанию самих игр (не только в кости), разоблачению способов мошенничества и рассуждениям о судьбе, но ее можно назвать также первым трудом по ТВ. Она ждала публикации сто лет, однако по-видимому современники знали ее содержание [Hacking, 1975, c. 54; Hald, 1990, c. 41]. Латинский подлинник опубликован в книге [Cardano, 1663] на c. 262-276 in folio, а английский перевод – в книге [Ore, 1953], где переводчик (Сидней Гулд) местами излишне модернизировал старинный текст.

Кардано впервые сопоставил то, что мы теперь называем априорной вероятностью, с тем, что мы называем статистической вероятностью. Он настолько уверенно рассуждал на эти темы, что Гулд то и дело использовал, переводя его книгу, слово probability, прямого эквивалента которому у Кардано нет. Его прозрения, порой блестящие, не следует модернизировать еще в одном плане: он не выходил за рамки азартных игр, он рассматривал не случайные явления вообще, а исходы в играх, и ныне не вполне ясно, искал ли он законы природы или магические формулы (вроде "тройка, семерка, туз" – у Пушкина в "Пиковой даме"). Во всяком случае, он вряд ли проводил между ними сознательное различие.

Столь же неясно, различал ли он хоть в какой-то мере априорную и статистическую вероятности, но историю обоих понятий нельзя понять без обращения к его трактату.

Но вот что несомненно: Кардано действительно первым понял, что надо не только вычислять шансы, но и много раз бросать кости. Именно из этого родилась впоследствии наша идеология – что в играх, кроме комбинаторики, нужна еще и статистика, т.е. подсчет реальных исходов. И он вовсе не ошибался, когда приходил к выводам, которые для нас нелепы – он просто исходил из иной картины мира. Об этом см. главу 5.

Он уточнил мысль о частотах: не надо думать, что, бросая кости много раз, мы получим точно требуемое число очков, "но при бесконечном числе бросаний это должно случиться почти обязательно, ибо в большом числе повторений проявляется течение времени, которое указывает все формы (in infinito tamen numero jactum id contingere proxime necesse est, magnitudo enim circuitus, est temporis longitudo quae omnes formas ostendit)" [Ore, 1953, c. 204] ([Cardano, 1663, стл. 267л]).

Эта загадочная фраза достойна комментария. Подробно это сделано в работе [Чайковский, 1989], и здесь надо добавить немногое. Фраза – первый известный серьезный подход к основному положению ТВ – закону больших чисел. Суть закона состоит в том, что многообразие случайных значений можно при определенных условиях заменить на их среднюю величину. Этим законом мы займемся в главе 3.

Здесь же нам важен тезис Кардано о "всех формах" (обсуждаемый историками как whole circuit [Hacking, 1975, c. 54; Brakel, 1976, c. 129; Hald, 1990, c. 38]) – он, по-моему, говорит об уверенности автора в том, что равновозможные варианты рано или поздно будут все исчерпаны, и что (надо полагать) всё начнется заново.

В 1539 г. Кардано опубликовал свое решение задачи о разделе ставки, основанное на той мысли, что существенно не число одержанных данным игроком побед, а число побед, недостающее ему до выигрыша всего банка. Его доводы нынешний историк полагает невразумительными, однако признаёт, что они впервые носили вероятностный характер и что Кардано "видимо попросту использовал симметрию между игроками" [Hald, 1990, c. 36]. Именно замена идеи предрасположенности идеей симметрии и представляется мне исходной в становлении идеологии ТВ.

Логик и методолог Иан Хакинг увидал у Кардано первую частотную концепцию вероятности [Hacking, 1975, c. 53-54]. Историк статистики Андерс Хальд, наоборот, писал: "Странно, что Кардано, столь же практик, сколь и математик, не привел в "De ludo aleae" никаких опытных данных и даже ни одной относительной частоты" и объяснил это тем, что Кардано, как и последующие ученые, "считал теорию вероятностей математической дисциплиной, основанной на аксиомах" [Hald, 1990, c. 40]. Оба в какой-то мере правы – хотя прямых статистических данных в книге нет, статистический дух ее пронизывает, а ключевые аксиомы, пусть и неявно, тоже присутствуют. Но главная заслуга Кардано, по-моему, упущена.

Позже и по иному поводу Хакинг написал, что "по прошествии достаточно долгого времени и после изменения теории один из взглядов на мир может быть совершенно непонятен для более поздней эпохи" [Хакинг, 1998, c. 9]. По-моему, именно это мы и видим в приведенном выше противостоянии точек зрения – оба автора исходили из того, что титан Возрождения думал о том же, что они, только ошибался.

Поэтому анализу обычно подвергают лишь те места книги Кардано, где речь идет о привычном нам материале – частотах и шансах. ("Мы должны упомянуть лишь самые важные верные результаты и оставить без внимания многие неясные утверждения [Кардано] и ошибочные числовые примеры" [Hald, 1990, c. 38]). Но отбрасывание ошибок незаметно ведет к додумыванию за автора, к поиску у него наших взглядов, а при этом легко свести анализ мысли Кардано к пародии.

Так, его биограф Ойстейн Оре был уверен, что Кардано оперировал с понятиями "вероятность" и "равные вероятности", но это основано лишь на модернизированном переводе Гулда. Например, там, где Кардано писал (продолжая античную традицию равносилия, упомянутую в п. 1), что событие "может равным образом как произойти, так и не произойти" [Cardano, 1663, стл. 265л], в переводе читаем, что событие может "встретиться или нет с равной вероятностью" [Ore, 1953, c. 196]. Если поступать так, то легко найти у него и наши теоремы.

Например, отметив, что при игре в две кости существует 6 возможностей выпадения пары одинаковых очков (1 и 1, 2 и 2 и т.д.), что составляет 1/6 от общего числа (36) возможных здесь пар, Кардано добавил: "...При большом числе игр оказывается, что действительность весьма приближается к этому предположению". Тем самым, здесь использовано, хоть и не сформулировано, априорное понятие вероятности (6/36 = 1/6) выпадения одинаковых очков и отмечено, что близкое отношение можно получить, если бросать кости много раз. Из этого Оре сделал странный вывод, что Кардано фактически говорил, будто если вероятность есть р, то большое число повторений дает m = np [Ore, 1953, c. 170-171].

По-моему, Кардано говорил не это. Чтобы говорить о частотах и вероятностях, сперва надо принять точку зрения на ряд случайных испытаний как на естественный процесс, в котором что-то можно подсчитывать. Царил же тогда извечный взгляд на случайность как на знак судьбы или на вмешательство нечистой силы. Историк культуры Эдвард Тайлор (Tylor) отметил, что данный взгляд преобладал даже у образованных людей до середины XVII века; он привел, в частности, мнение Джереми Тэйлора (Taylor), королевского капеллана, который около 1660 года писал: "Бог дозволил вмешиваться в азартные игры дьяволу, который делает из них всё дурное, что только может..." [Тайлор, 1989, c. 72]. Именно эту точку зрения по сути и опровергал веком ранее Кардано.

Особенно хорошо это у него видно в таких главах, как "Мошенничество", "Условия, при которых стоит играть", "Об одной ошибке...", "Об обманах...", "О характере игроков" и т.п. В частности, он заметил, что игральная кость с крупными выемками очков падает не вполне одинаково часто на каждую грань [Ore, 1953, c. 191]. Из таких замечаний видно – в игры играют реальные люди. Кардано первый писал, что численный расчет возможен только при "честных костях" – это было ново. Однако он же рассматривал резко асимметричную кость (астрагал) в качестве честной – это можно считать данью старине.

Через полвека после Кардано, в 1619 году, английский пуританский священник Томас Гетэкер в книге "О свойствах и употреблении жребиев" прямо отвергал ту точку зрения, что "расположение жребия исходит непосредственно от Бога" [Тайлор, 1989, c. 71]. Без такой черновой работы нескольких поколений мыслителей Паскалю просто нечего было бы обсуждать с Ферма. И уже намного после них математики дошли до понятий, которые мы записываем в виде таких величин, как m = np.

 

Вероятность у Паскаля

Рождение ТВ принято видеть в переписке, которую вели в 1654 г. французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма. Она не раз описана историками – например [Hacking, 1975; Майстров, 1980; Entwicklung..., 1988; Hald, 1990], и мне остается сделать лишь несколько замечаний.

В основу переписки легла та же вычурная задача "О разделе ставки", что у Пачоли и Кардано (см. конец гл. 1), и уже сам этот факт говорит о возможном преемстве. Вопрос о нем, насколько знаю, не исследован, но, начиная с первого руководства по истории вероятностей (где ранние итальянские работы названы "грубыми примерами", не имевшими "ни критики, ни истории" [Gouraud, 1848, c. 3]) принято всякое преемство игнорировать. Получается блестящая сказка о гениях, почти мгновенно создавших новую дисциплину. В действительности становление ТВ имело гораздо более длинную историю.

Паскаль писал в том же 1654 г.: "В последнее время я занимался исследованием совершенно неизученной еще области, а именно, случайными комбинациями, которым подчинены азартные игры.... Это тем в большей мере должно определяться усилиями разума, чем в меньшей мере может быть найдено из опыта. Ведь неопределенный исход явления теснее связан со случайностью, чем с законами природы".

Данное поразительное признание говорит, что автор решал отнюдь не ту задачу, какую ему обычно приписывают, т.е. не исследовал природу случайных явлений; наоборот, он прямо противопоставил законы природы и случайность, поскольку в последней как таковой не видел закономерности. Что же Паскаль искал? Он искал ключ к шифру и нашел – в своем знаменитом треугольнике.

Цитата противоречит всему, что принято писать о рождении ТВ, и взята из первой книги по методологии вероятностей [Курно, 1970, с. 95]. Написана книга в 1843 г., и интересно посмотреть, как французский автор начал излагать ТВ. В отличие от нынешних учебников, начинающих с расплывчатой речи о падении монеты и частотах, Огюст Курно назвал в своей книге главу 1 "О комбинациях и порядке" и начал словами: "Среди идей, которые человеческий разум не создает по своему произволу, но которые ему внушает сама природа вещей, идея комбинаций представляется одной из наиболее общих и простых. Рассматривая индивидуальные вещи, каждую в отдельности, мы замечаем, что эти вещи, в зависимости от их природы, сочетаются одна с другой либо парами, либо тройками и т.д., составляя некоторые системы...". (Так же, с комбинаторики, начата популярная книжка [Колмогоров и др., 1982], где нет несуразностей, обычных в начале многих книг. К сожалению, основные трудности и тут не разъяснены, а лишь обойдены.) Вот эти-то "системы" Паскаль и исследовал, и только в связи с ними Курно его упоминал.

Проще говоря, Паскаль вычислял, сколькими способами может достигаться каждый мыслимый в азартной игре исход. Вопреки его утверждению о "совершенно неизученной области", область эта была к тому времени подробно изучена, и он вполне мог что-то об этом слышать, а также читать что-то в рукописях. Но "избегание предтеч" – феномен обычный [Чайковский, 2000], и здесь не он интересен. Важнее, что Паскаль, человек глубоко религиозный, рассматривал тем не менее игру как естественный процесс, в который Бог не вмешивается, и этим шел в ногу с эпохой. О взгляде на игру как на естественный или сверхъестественный процесс мы еще будем говорить в главе 3.

В понятиях Паскаля, вероятность должна определяться не из опыта, а "усилиями разума". Отсюда ведет начало априорное понимание вероятности как отношения числа благоприятных случаев к числу всех возможных случаев. Оно практически определяется, исходя из внешней симметрии генератора случайности – монеты, кости, колоды карт, поскольку случаи мыслятся как равновозможные.

Естественно, родилось убеждение, что само понятие априорной вероятности годно только для азартных игр подобных им ситуаций. Поэтому теория была забыта на 60 лет, словно "фортуна поставила задачу задушить в зародыше открытие Паскаля" [Gouraud, 1848, c. 17]. Это убеждение в искусственности априорной модели вероятности, увы, живо поныне, а потому нам важно ознакомиться с мыслями Лейбница и Я. Бернулли, видевшими в идее априорной вероятности более широкий смысл.

 

Вероятность у Лейбница

История ТВ много раз описана, но обычно из внимания выпадает тот факт, что в годы ее становления шли споры о сути вероятности, позже на двести лет заглохшие. Главной фигурой в них был Готфрид Вильгельм Лейбниц, великий философ и математик.

В те годы широко обсуждалась знаменитая со Средних веков дилемма "Буриданов осел": находясь на равных расстояниях от двух одинаковых охапок сена, осел, якобы, должен умереть с голоду, ибо не имеет оснований для выбора между ними. Жан Буридан, французский физик и логик XIV века, которому традиция приписывает эту дилемму (в его трудах ее нет), жил в аристотелевом мировоззрении, где каждый акт должен иметь свою причину, и дилемма указывала ограниченность этого мировоззрения, не давая, разумеется, реальной альтернативы.

Характерно, что великий новатор Лейбниц, нащупывая пути к созданию ТВ, продолжал рассуждать по Аристотелю; отрицая реальную возможность упомянутой дилеммы, он писал: "Универсум не имеет центра, и его части бесконечно разнообразны; следовательно, никогда не будет случая, когда всё на обеих сторонах станет одинаковым и будет производить на нас равное влияние" (Письмо к Косту "о необходимости и случайности"). То есть ослы якобы должны всегда выбирать правую охапку, если она чем-то хоть чуть лучше.

Конечно, на деле ослы себя так не ведут. Тем не менее, именно Лейбниц ввел в оборот принцип равновозможности – основу ТВ [Hacking, 1975]. (Принцип лёг и в основу того, что много позже было названо статистическим мировоззрением.) С его позиции мы решаем дилемму просто: в массовом опыте около половины ослов выберет правую охапку, а оставшаяся часть ослов – левую. Мы настолько уверены в исходе, что сам опыт нам даже неинтересен. Но для Лейбница было иначе, причем для понимания его позиции надо обратиться к французскому оригиналу.

В 1695 г. философ-публицист Пьер Бейль, рассуждая о "буридановом осле", писал: "Существует по крайней мере два пути, которыми человек может освободиться от обмана равновесия. Первый... состоит в прельщении себя приятной мечтой, будто каждый есть владыка самого себя и не зависит от объектов... При этом человек будет поступать следующим образом: хочу предпочесть это тому, потому что так мне хочется". Тут Лейбниц возражал: такие слова "уже выражают склонность (le penchant) к нравящемуся предмету" (Теодицея, 306), а не равновесие.

"Второй путь – тот, когда судьба или случай, [т.е.] жребий(*) решит дело" – писал Бейль, но и это не нравилось Лейбницу: "Это подмена вопроса, ибо тогда решать будет не человек" (Теодицея, 307 [Leibnitz, 1734, c. 178]). Вот первый раз, когда случайность как бросание жребия противопоставлена (пусть здесь, у Лейбница, и смутно) случайности как свободному выбору. О нем речь пойдет в главе 7.

Не вдаваясь в существо спора Бейля и Лейбница, отметим, что оба, как бы вторя Николаю Кузанскому (см. гл. 1), противопоставляли случайности предрасположенность (склонность). Интерес к ней спорадически возникал и позже, а в ХХ веке Карл Поппер прямо предложил понимать вероятность как предрасположенность. (См. гл. 5.

Занимаясь вероятностями с юности [Курно, 1970, c. 41], Лейбниц "не сделал серьезного формального вклада в теорию вероятностей, но имел длительный и глубокий интерес к проблеме. Он был, несомненно, первым философом вероятности(*) ... пытался развить арифметику вероятности, не основанную на азартных играх и тем самым потенциально более общую в прикладном смысле" [Hacking, 1975, c. 57].

В 1704 г. Лейбниц писал, что при анализе как игр, так и смертности наблюдаются те же принципы, что и в финансовых задачах: "Основой всех этих теоретических построений является так называемый простаферезис, т.е. берут среднее арифметическое между несколькими одинаково приемлемыми предположениями. Наши крестьяне, следуя природной математике, уже давно пользуются этим методом. Когда нужно, например, продать ... кусок земли, они составляют три группы оценщиков ... [и] берут сумму третьих частей каждой оценки. Это аксиома: aequalibus aequalia – равно принимать в расчет равноценные предположения. Но когда предположения неравноценны, то их сравнивают между собой. ... Я уже не раз говорил, что нужен новый раздел логики, который занимался бы степенями вероятности ..." [Лейбниц, 1983, с. 478–479].

При внимательном чтении этого пассажа (и других, близких) видно, что кроме априорного и апостериорного, у Лейбница смутно обрисованы еще два понимания вероятности – моральное (сравнение мнений) и неотличимое тут от него логическое (степень подтверждения). Лейбниц полагал, что во всех случаях можно говорить о некоей единой вероятности, которой должен быть посвящен "новый раздел логики".

Легко видеть, что "аксиома aequalibus aequalia" – это аксиома равновозможности, основа нашей нынешней ТВ. В нынешних курсах ТВ ее упоминают только в связи с монетами, костями и другими внешне симметричными атрибутами, здесь же она впервые высказана в более общем плане. Еще более общий вид придал ей, как увидим далее, знаменитый математик Якоб Бернулли (он состоял с Лейбницем в переписке). Вот он – "новый раздел логики": равновозможности введены там, где их не видно, и положены в основу новой науки. Это позволило получить ее основной результат, известный в наше время как закон больших чисел. Мы им займемся в главе 3.

 


Дата добавления: 2019-02-22; просмотров: 221; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!