Порядок расчета геометрических характеристик плоских сечений

Рекомендуется следующий порядок определения геометрических характеристик сложных составных сечений:

1. Выбираем начальную систему координат y₀z₀, проводя оси y₀ и z₀  так, чтобы они касались крайних точек составного сечения слева и снизу (см. рис. 4.2а).

2. Сложную фигуру разбиваем на простые (F₁, F₂ и т.д.), характеристики которых легко определить. Если в составное сечение входят прокатные профили (уголки, швеллера и т.п.), то необходимые геометрические характеристики их (площадь сечения, положение центра тяжести и др.) выбираются по таблице сортамента.

3. В выбранной системе координат определяем положение центров тяжести простых фигур, обозначая их соответственно как C₁(y₁,z₁), C₂(y₂,z₂) и т.д. (рис. 4.2б) Символом F₁, F₂ и т. д., будем обозначать не только порядковый номер фигуры, но и площадь её сечения.

2. По формулам (4.8) определяем координаты центра тяжести фигуры C(y_с,z_с) и проводим центральные оси y и z (рис. 4.2б). Определяем моменты инерции частей фигуры относительно их собственных центральных осей (y₁,z₁ , y₂,z₂ и т.д.), и размеры а₁, b₁, а₂, b₂ и др. Используя формулы перехода к параллельным осям  – (4.9)…(4.11) вычисляем значения .

5. По формуле (4.13), определяем угол наклона главных центральных осей, причем ось, проведенную под меньшим углом (положительным или отрицательным), обозначаем буквой U, а перпендикулярную к ней – буквойV.

6. По формулам (4.14) определяем значения главных центральных моментов инерции.

Пример 4.1.

Для Z – образного сечения, показанного на рис. 4.6, определить положение центра тяжести y_c, z_c , угол наклона главных центральных осей инерции , моменты инерции относительно центральных осей oy и oz и моменты инерции относительно главных центральных осей U и V.

Р е ш е н и е.

Выберем систему начальных осей y₀ и z₀, проведя их так, чтобы они касались крайних точек (слева и снизу) рассматриваемого составного сечения.

Разбиваем фигуру на простые части в виде прямоугольников, находим площади их сечений и общую площадь фигуры:

 мм² ,  мм²,  мм²,

 мм².

В выбранной системе осей определяем координаты центров тяжести простых фигур – C₁, C₂, C₃, обозначая их соответственно как  y₁, z₁; y₂, z₂ и т.д. (рис. 4.6). В таблице 4.1 даются численные значения искомых величин.

Координаты центра тяжести y_с, z_с составной фигуры в системе y₀z₀, определяем по формулам (4.8):

 

 

 мм

 мм,

 

Таблица 4.1 – Промежуточные параметры сечения

Фигура	Площадь фигуры, мм2	Координаты ЦТ фигуры в системе y0z0, мм		Координаты ЦТ фигуры в центральной системе yz, мм		Статический момент площади фигуры относительно осей y0 и z0, 104 мм3		Координаты ЦТ всей фигуры в системе y0z0, мм
		yi	zi	ai	bi			yс	zс
F1	1800	45	150	-27,46	55,42	8,1	27
F2	1250	85	77,5	12,54	-17,08	10,62	9,7
F3	900	110	7,5	37,54	-87,08	9,9	0,67
F	3950	-	-	-	-	28,62	37,37	72,47	94,58

 

Определим моменты инерции каждого прямоугольника относительно собственных центральных осей:

 

мм⁴,  мм^2.

Остальные значения моментов (размерность – мм⁴) приводим без подробностей расчета:

, , , .

Моменты инерции каждой простой фигуры относительно центральных осей y и z вычисляются по формулам (4.11). Например:

 мм⁴,

 мм⁴.

Остальные значения моментов приводим без подробностей расчета в таблице 4.2.

 

Суммируя последние три столбца таблицы 4.2, находим моменты инерции составной фигуры относительно центральных осей y и z :

 

 мм⁴,  мм⁴,  мм⁴.

 

Угол наклона главных центральных осей (рис. 4.7б) к оси oy найдем по формуле (4.13):

 

.

 

 

Таблица 4.2 – Моменты инерции сечения

Фигура	Моменты инерции фигуры, 106 мм4, относительно
	собственных осей yi, zi		центральных осей  y; z
F1	0,06	1,215	5,588	2,573	-2,74
F2	1,628	0,0104	1,993	0,207	-0,267
F3	0,0168	0,27	6,842	1,538	-2,941

Примечание: Центробежные моменты инерции фигур относительно собственных центральных осей = 0

 

Главные центральные моменты инерции (мм⁴) определяем по формулам (4.14):

Правильность расчетов проверяем по условию (4.17):

,

что указывает на достаточную точность полученных результатов.

Реальные конструктивные элементы сварных конструкций (балки, фермы, колонны и т.д.) могут включать в себя как стандартные профили (уголки, швеллера, двутавры), так и нестандартные виды сечений простого или сложного очертания. Приводим пример, в котором рассматривается составное сечение, включающее профильный элемент в виде неравнополочного уголка.

Пример 4.2.

Найти положение главных центральных осей и значения главных центральных моментов инерции для сечения состоящего из неравнополочного уголка сечением 110 70 8 мм (ГОСТ 8510-86) и прямоугольной полосы сечением 20 160 мм (рис. 4.8).

 

Р е ш е н и е

Прежде всего, определим все необходимые параметры сечения стандартного уголка. По сортаменту прокатной угловой стали, устанавливаем координаты ЦТ уголка (рис. 4.8,а) и значение необходимых ГХС:

 

см², см, см, см⁴,

см⁴, см⁴, .

 

 

В выбранной системе осей составного сечения (рис. 4.8б) определяем координаты центров тяжести простых фигур – C₁, C₂,, обозначая их соответственно как  y₁, z₁; y₂, z₂. В таблице 4.3 даются численные значения искомых величин.

Координаты центра тяжести y_с, z_с составной фигуры в системе y₀z₀, определяем по формулам (4.8):

 

 cм,

 cм.

 

Таблица 4.3 –Промежуточные параметры сечения (рис. 4.8б)

Фигура	Площадь фигуры,  см2	Координаты ЦТ фигуры в системе y0z0, см		Координаты ЦТ фигуры в центральной системе yz, см		Статический момент площади фигуры относительно осей y0 и z0, 104 см3		Координаты ЦТ всей фигуры в системе y0z0, см
		yi	zi	ai	bi			yс	zс
F1	13,93	5,61	14,36	3,212	4,431	0,781	2,0
F2	32	1	8	-1,398	-1,929	0,32	2,56
F	45,93	-	-	-	-	-	-	2,4	9,93

 

Поскольку моменты инерции уголка уже известны, то определим их только для полосы (вторая простая фигура – F₂) относительно собственных центральных осей:

см⁴,  см^2.

Моменты инерции (см⁴) каждой фигуры относительно центральных осей y и z вычисляются по формулам (4.11):

,

,

.

Остальные значения моментов (см⁴) приводим без подробностей расчета:

, ,

Суммируя составляющие (см. формулы 4.9 и 4.10), находим моменты инерции составной фигуры относительно центральных осей y и z :

Угол наклона главных центральных осей (рис. 4.8,б) к оси oy найдем по формуле (4.13):

.

Главные центральные моменты инерции (см⁴) определяем по формулам (4.14):

Пример 4.3.

Определить геометрические характеристики поперечного сечения сварной лопасти руля судна, ( рис. 4.9) ось которой наклонена под углом 15 градусов к оси движения судна. Профиль лопасти задан координатами 26 точек в таблице 4.4 (в наклоненном положении). Размеры заданы в см.

 

Р е ш е н и е

Поскольку сечение рулевой лопасти имеет сложное очертание и его нельзя расчленить на простые фигуры, воспользуемся вторым способом определения ГХС – способом обхода контура, используя формулы (4.16).

 

Таблица 4.4 – Координаты точек контура лопасти руля (см)

y	0,0	1,97	6,4	10,65	14,24	26,67	38,81	50,78	62,64
z	32,35	35,29	36,95	37,33	37,21	35,32	32,3	28,7	24,65
y	74,43	86,14	97,8	109,37	120,74	107,96	95,39	82,89	70,45
z	20,36	15,77	10,94	5,87	0,0	0,59	1,99	3,64	5,52
y	58,09	45,8	33,63	21,62	9,9	6,73	3,25	0,24	-
z	7,69	10,11	12,98	16,44	21,02	22,71	25,16	28,82	-

 

По заданным координатам точек контура (на рис. 4.9 точки обозначены цифрами 1…26, обход сделан по часовой стрелке) определяем, вначале, значения промежуточной величины  для каждой пары координат рассматриваемой точки, например, для точки 5 ( ):

.

Всего будет двадцать шесть значений .

Далее определяем: площадь сечения лопасти F, координаты центра тяжести (в координатной системе y₀0z₀) сечения , моменты инерции  и центробежный момент .

Выполненные расчеты дают следующие величины:

см², см, см, см⁴, см⁴, см^2.

Моменты инерции относительно центральных осей и , а также главные центральные осевые моменты инерции и их положение (угол ) определяются по ранее рассмотренным соотношениям:

 и т.д.

Выполненные расчеты дают следующие величины:

см⁴, см⁴, см⁴,

, см⁴, см⁴,

 

В заключение отметим, что расчеты по второму методу целесообразно выполнять на компьютере по составленной программе или используя известный математический редактор, например – MathСad.

 

---

Дата добавления: 2019-02-12; просмотров: 1187; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!