Б) Через расширенную матрицу системы

Практическое занятие № 2

 

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

 

    Цель занятия. Изучить основные методы решения систем линейных уравнений и применять их при решении практических задач.

 

    Учебные вопросы:

· Понятие системы линейных уравнений.

· Решение систем по методу обратной матрицы (матричный метод).

· Применение формул Крамера.

· Решение систем по методу Гаусса.

 

Общие понятия системы линейных уравнений

    Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные.

    Решением системы (в нашем случае единственное) является упорядоченный набор чисел вида с1, с2, ..., с n, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество (т.е. ответ в левой части равен числу в правой части, т.е. вида 1 = 1.

    Замечание. Достаточно получить тождество при подстановке решения в любое одно из уравнений данной системы, чтобы выполнить проверку полученного решения).

    Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

    Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение.

    Определение. Для системы линейных уравнений матрица, содержащая коэффициенты, стоящие при неизвестных, т.е. а11, а12, а13, ....., аnn :

А =  называется основной матрицей системы;

Х =  называется матрицей неизвестных системы;

В =  называется матрицей свободных членов системы.

Алгоритм решения системы

1. Записать следующие матрицы:

а) для матричного метода и метода Крамера это – основная матрица системы, матрица неизвестных и матрица свободных членов системы;

б) для метода Гаусса это – расширенная матрица системы.

 

2. Записываем основные уравнения.

 

3. Рассчитываем основной определитель системы чтобы узнать какого типа матрица невырожденная (т.е. неособенная) или наоборот, т.е. вырожденная.

 

4. Проводим необходимые преобразования, делаем дополнительные расчёты, подставляем в основное уравнение (для матричного метода и метода Крамера).

 

5. Выполняем проверку полученного решения, т.е. получить тождество путём подстановки полученных значений в любое из уравнений системы (т.е. ответ в левой части равен числу в правой части, т.е. вида 1 = 1). ! Обязательно выполняем в случае задачи где необходимо использовать все методы, чтобы после использования первого метода убедиться в правильности результата и избежать ошибок и лишних расчётов.

 

6. Записываем ответ (Замечание: если в задаче необходимо использовать все методы, то для систем квадратного вида 3´3, помним обязательно о том, что решение одно и тоже, единственное).

 

Задача. Решить систему следующими методами: 1) матричным методом, 2) методом Крамера; 3) методом Гаусса.

Решение:

1) Решим систему матричным способом:

Для этого вначале выпишем все матрицы:

  основная матрица системы, Х =   матрица неизвестных системы, В =   матрица свободных членов системы.

Запишем основное уравнение: Х = А-1× В, где А-1 - обратная матрица , где  - алгебраические дополнения к элементам матрицы (Алгебраическим дополнением элемента  квадратной матрицы  называется число , т.е. это минор взятый со знаком (-1) в степени i + j, где i - номер строки, в которой стоит элемент , а j - номер столбца в котором стоит элемент  (например элемент а 11 стоит в 1-ой строке , во 1-ом столбце, т.к. i = 1, j = 1, следовательно для нахождения минора М 11 и алгебраического дополнения А 11 для элемента а 11 будем вычеркивать 1 строку и 1 столбец и т.д.) Минором  элемента  квадратной матрицы  называется определитель матрицы, получаемой из  вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца соответствующих номеру (в нижнем индексе смотрим цифры) элемента).

 

    Таким образом, подставив в основное уравнение эти формулы и записав в матричном виде основное уравнение получим следующую формулу:

 =  ×

 

    Следовательно, чтобы составить обратную матрицу А-1 необходимо:

1) рассчитать основной определитель системы  и подтвердить невырожденность матрицы;

2) Найти все алгебраические дополнения, т.к. размер системы (следовательно и основной матрицы системы) равен 3´3, то необходимо рассчитать 9  алгебраических дополнений (для каждого элемента  основной матрицы системы).

 

1) Рассчитываем основной определитель системы:

 Þ матрица невырожденная (т.е. неособенная).

 

2) Рассчитываем девять алгебраических дополнений:

 

 

 

    Подставляем в основное уравнение:

 =  ×

 

!Теперь выполним сначала умножение матриц: :

Þ

! Чтобы проверить правильность полученного решения необходимо получить тождество путём подстановки полученных значений в любое из уравнений системы:

    Подставим полученные результаты х1 = 0; х2 = -7; х3 = 5 в первое уравнение Þ 3×0 - (-7) + 5 = 0 + 7+5 =12 Þ 12 = 12 Þ результат верный и является решением системы.

Ответ: х1 = 0; х2 = -7; х3 = 5 (или ).

 

 

2) Решим систему методом Крамера:

 

1) Выпишем матрицы:

  основная матрица системы, В =   матрица свободных членов системы, Х =   матрица неизвестных системы.

 

2) Записываем основные уравнения:

; ;

3) Выпишем и вычислим главный определитель системы:

.

Разложим определитель по элементам первой строки, пользуясь формулой .

 Þ Матрица невырожденная.

 

4)Запишем и вычислим вспомогательные определители:

Подставляем полученные результаты в основные формулы Крамера:

; ; .

 

    Так как проверка была выполнена и результаты, полученные в первом и втором методах совпадают, то записываем сразу ответ.

Ответ: .

3) Решим систему методом Гаусса:

    Есть два способа решения методом Гаусса: а) классический - метод последовательного исключения переменных, который заключается в последовательном выполнении двух этапов, которые называют прямой ход и обратный ход; и б) через расширенную матрицу системы.

 

а) Метод последовательного исключения переменных:

    Прямой ход (спускаемся от первого уравнения к последнему) заключается в том, чтобы при помощи сначала первого уравнения (первое уравнение переписывается во время преобразований всегда в исходном виде, т.к. единственное останется с первым неизвестным, а также и всеми остальными конечно, т.е. с х1) избавиться (в нашем случае) во втором и третьем уравнениях от х1 , затем, с при помощи второго уравнения (т.к. в нем нет уже х1, но есть все остальные неизвестные) избавляемся от х2 в третьем уравнении, т.е. в третьем уравнении остаётся только х3 (в нашем случае, т.е. для системы размера 3´3, значит содержится только три неизвестных) - прямой ход завершён.

    Обратный ход (поднимаемся от последнего уравнения к первому) заключается в том, что из последнего уравнения выражаем х3 получаем значение, которое подставляем во второе уравнение (в нашем случае) и выражаем х2 получаем значение, которое вместе с полученным значением х3 подставляем в первое уравнение чтобы получить значение х1.

 

    а) Решаем классическим методом - метод последовательного исключения переменных:

Прямой ход:

 

 

1) избавляемся от х1 во втором уравнении. Чтобы во 2-м уравнении избавиться от х1 из первого уравнения будем вычитать второе. Так в первом уравнении коэффициент при х1 равен 3, а в 2-м уравнении коэффициент при х1 равен 5, то будет общий множитель, т.к. 3 не кратно 5, Þ находим общий множитель, который равен 15 и Þ придётся домножить 1-ое уравнение на 5, а 2-ое на 3:

 -  

этот результат записываем в новую систему и он тоже останется без изменений.

 →

 

2) избавляемся от х1 в третьем уравнении с помощью первого (смотрим на уравнения и поступаем с ними аналогично пункту 1 - если надо домножить, домножаем и затем вычитаем). В нашем случае общий множитель 3, т.к. в третьем уравнении коэффициент при х1 равен 1 Þ

 

-

этот результат записываем в новую систему:

 →

 

3) избавляемся от х2 в третьем уравнении с помощью второго уравнения:

следовательно, можем записать окончательный вид системы:

Прямой ход закончен. Начинаем обратный ход.

 

Обратный ход (поднимаемся от последнего уравнения к первому):

 

 

1) выражаем из последнего уравнения х3 :

9х3 = 45 Þ  х 3= 45:9 = 5 ;

2) подставляем полученное значение х3 = 5 во второе уравнение полученной при прямом ходе системы и выражаем х2 :

-8 х2 - (5) = 51 Þ  -8 х2 = 51 + 5 = 56 Þ х 2 = 56:(-8) = -7;

3) чтобы получить значение для х1, подставляем  полученные  значения  х2 = -7 и х3 = 5 в первое уравнение полученной системы:

 

3х1 - (-7) + 5 = 12 Þ  3х1  + 12 = 12 Þ  3х1  = 12 - 12 = 0 Þ   х 1 = 0:3= 0

 

Обратный ход закончен, получены значения для всех неизвестных:  х1 = 0; х2 = -7; х3 = 5, и они являются решением системы, т.к. совпадают (тождественны) с предыдущими решениями, полученными в первом и втором методах, то записываем сразу ответ.

 

Ответ: .

 

б) Через расширенную матрицу системы

 

для этого составим расширенную матрицу системы (которая включает в себя основную матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов (т.е. все численные значения)):

  Расширенная матрица системы: .

 

Упростим ее приведением к треугольному виду (как в (а), но без неизвестных х1;  х2;  х3):

     Таким образом, система равносильна системе:

Находим    

Ответ: , ,

 


Дата добавления: 2019-01-14; просмотров: 861; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:




Мы поможем в написании ваших работ!