Домашняя на 31 марта: Теория чисел



Домашняя на 5 мая: Двумерные поверхности

Задача. В кирпиче прокрутили две вертикальные дыры насквозь и одну горизонтальную, пересекающую обе вертикальные. Какой тип у поверхности получившегося кирпича?

Задача. Два червяка прогрызли бублик с разных сторон по малому диаметру. Какой топологический тип у поверхности получившегося бублика?

Задача. У трёх торов вырезали по две круглые дырки в боку и склеили попарно по краю дырок. Какая поверхность получилась?

Задача. В топологическом жёлтом плавательном круге случайно прорезали дыру и увидели, что изнутри он красный. Можно ли вывернуть его так, чтобы он стал красным плавательным кругом с дырой, жёлтым изнутри?

Диаграмма двумерной поверхности — это многоугольник со склеенными сторонами. Например, диаграмма aba-1b-1 означает, что мы обходим стороны по часовой стрелке, первую обозначаем как a и ставим стрелку по ходу движения, вторую b со стрелкой по ходу, третью a со стрелкой против хода, четвёртую b со стрелкой против хода. Затем мы склеиваем a c a и b с b так, чтобы стрелки совпадали. Можете взять лист бумаги и убедиться, что получается тор.

Каждая буква встречается в диаграмме ровно дважды. Разумеется, имя и направление стрелок на соответствующих сторонах можно одновременно поменять, и диаграмма не изменится, то есть всё это одна и та же диаграмма: aba-1b-1, ab-1a-1b, сa-1с-1a.

Задача. Докажите, что если в диаграмме встретилось …abab…, то рёбра ab можно заменить на одно ребро c.

Задача. Как можно (если можно) преобразовать диаграмму, если в ней встретилось …abb-1a-1…?

Задача. Докажите, что если в диаграмме встретилось …xx-1… или …x-1x…, то оба ребра x можно просто убрать из диаграммы.

Задача. Какая фигура получится, если склеить диаграмму abcb-1c-1a-1?

Задача. Какая фигура получится, если склеить диаграмму aba-1b-1cdc-1d-1?

Задача. Нарисуйте и разрежьте диаграмму тора так, чтобы после склейки исходных рёбер получилось два кольца.

Задача. Нарисуйте диаграмму ленты Мёбиуса (это не настоящая диаграмма, потому что у неё не все рёбра склеены).

Задача. Диаграмма aba-1b отвечает бутылке Клейна. Разрежьте её на две ленты Мёбиуса.

Задача с занятия: у человека, сцепившего пальцы, на одной руке часы. Как они будут расположены, после того как он расцепит пальцы?

Домашняя на 21 апреля: Малая теорема Ферма

Задача 149. Найдите последнюю цифру числа 345673376543.

Задача 150. Докажите, что при любом целом a число a5 – a делится на 30.

Задача 151. Докажите, что при любом целом a число a73 – a делится на 2·5·13·37·73.

Задача 152. Найти все такие натуральные числа p, что p и p6 + 6 – простые.

Задача 153. Найдите все такие натуральные a, что (2a+1)/(a−2) — целое число.

Задача 154. Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые

Задача 155. Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.

Задача 156. Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если число m хорошее, то и число m + 6 тоже хорошее, а если число n плохое, то и число n + 15 тоже плохое. Может ли среди первых 2000 чисел быть ровно 1000 хороших?

Задача 157. Пусть p – простое число, а a — натуральное, причём a не делится на p. Докажите, что существует такое натуральное число b, что ab ≡ 1 (mod p).

Задача 158.

a) Пусть p и q — простые числа, и a взаимно просто с pq. Докажите, что существует такое натуральное число b, что ab ≡ 1 (mod p).

b) Пусть a взаимно просто с k. Докажите, что существует такое натуральное число b, что ab ≡ 1 (mod k).

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/knlbhy805s74661/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2022%207.04.pdf?dl=0

Занятие 7 апреля: Малая теорема Ферма

Малая теорема Ферма: если p — простое, то для любого натурального a верно:

apa (mod p), или, что то же самое, apa делится на p.

В частности, если a не делится на p, то ap-11 (mod p), или, что то же самое,

ap-1 – 1делится на p.

Задача. Найти последнюю цифру числа 3100.

Задача. Найти остаток от деления числа 52017 на 8.

Задача. p – простое число. Сколько существует способов раскрасить вершины правильного p-угольника в a цветов? (Раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми.)

Задача. Найдите остаток от деления 2100 на 101.

Задача. Докажите, что 3003000 – 1 делится на 1001 (обратите внимание, что 1001 – не простое).

Задача. Будет ли простым число 2571092 + 1092?

Задача. Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n8 + 1, либо n8 – 1 делится на 17.

Задача. Докажите, что число 30239 + 23930 составное.

Задача. Пусть p – простое число. Докажите, что (a + b)pap + bp (mod p) для любых целых a и b.

Домашняя на 31 марта: Теория чисел

Задача 141. Два восьмизначных числа отличаются перестановкой цифр. Может ли их разность быть равной 20072008?

Задача 142. Может ли сумма квадратов трех нечетных чисел быть квадратом целого числа?

Задача 143. Незнайка умеет откладывать углы в 19o . Как ему отложить угол в 1o?

Задача 144. a, b, c — натуральные числа, причем a + b + c делится на 6. Докажите, что a3 + b3 + c3 тоже делится на 6.

Задача 145. При делении числа 2·3=6 на 4 получаем в остатке 2. При делении числа 3·4=12 на 5 получаем в остатке 2. Верно ли, что остаток от деления произведения двух последовательных чисел на число, следующее за ними, всегда равен 2?

Задача 146. Число (3a + 4b + 5c) делится на 11. Докажите, что число (9a + b + 4c) тоже делится на 11.

Задача 147. Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, записанными в произвольном порядке. Докажите, что ни одно из них не делится ни на какое другое.

Задача 148. У каждого из чисел от 1 до 1000000000 подсчитали сумму его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитали сумму цифр, и так до тех пор, пока не получили миллиард однозначных чисел. Каких чисел получили больше всего?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/xzr8g8mgr8z218v/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2021%2024.03.pdf?dl=0


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 150;