Интервальные данные в задачах проверки гипотез
С позиций статистики интервальных данных целесообразно изучить все практически используемые процедуры прикладной математической статистики, установить соответствующие нотны и рациональные объемы выборок. Это позволит устранить разрыв между математическими схемами прикладной статистики и реальностью влияния погрешностей наблюдений на свойства статистических процедур. Статистика интервальных данных – часть теории устойчивых статистических процедур, развитой в монографии [3]. Часть, более адекватная реальной статистической практике, чем некоторые другие постановки, например, с засорением нормального распределения большими выбросами.
Рассмотрим подходы статистики интервальных данных в задачах проверки статистических гипотез. Пусть принятие решения основано на сравнении рассчитанного по выборке значения статистики критерия с граничным значением С: если f > C, то гипотеза отвергается, если же f < C, то принимается. С учетом погрешностей измерений выборочное значение статистики критерия может принимать любое значение в интервале Это означает, что «истинное» значение порога, соответствующее реально используемому критерию, находится между C - Nf ( y ) и C + Nf ( y ), а потому уровень значимости описанного правила (критерия) лежит между и , где P ( Z )= P ( f < Z ).
Пример 1. Пусть - выборка из нормального распределения с математическим ожиданием а и единичной дисперсией. Необходимо проверить гипотезу H 0 : a = 0 при альтернативе
|
|
Как известно из любого учебного курса математической статистики, следует использовать следует использовать статистику и порог где - уровень значимости, Ф(.) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. В частности, С = 1,96 при
При ограничениях (1) на абсолютную погрешность Например, если = 0,1, а n = 100, то Nf ( y ) = 1,0. Это означает, что истинное значение порога лежит между 0,96 и 2,96, а истинный уровень значимости – между 0,003 и 0,34. Можно сделать и другой вывод: нулевую гипотезу H 0 допустимо отклонить на уровне значимости 0,05 лишь тогда, когда f > 2,96.
Если же n = 400 при то Nf ( y ) =2,0и C - Nf ( y ) = -0,04, в то время как C + Nf ( y ) =3,96. Таким образом, даже в случае x = 0 гипотеза H 0 может быть отвергнута только из-за погрешностей измерений результатов наблюдений.
Вернемся к общему случаю проверки гипотез. С учетом погрешностей измерений граничное значение в статистике интервальных данных целесообразно заменить на Такая замена дает гарантию, что вероятность отклонения нулевой гипотезы H 0, когда она верна, не более При проверке гипотез аналогом статистической погрешности, рассмотренной выше в задачах оценивания, является . Суммарная погрешность имеет вид Исходя из принципа уравнивания погрешностей [3], целесообразно определять рациональный объем выборки из условия
|
|
Если f = | f 1 |, где f 1 при справедливости H 0 имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией то
(47)
при больших n, где - квантиль порядка стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Из (47) вытекает, что в рассматриваемом случае
В условиях примера 1 и
Пример 2. Рассмотрим статистику одновыборочного критерия Стьюдента
где v – выборочный коэффициент вариации. Тогда с точностью до бесконечно малых более высокого порядка нотна для t имеет вид
где Nv ( y ) – рассмотренная ранее нотна для выборочного коэффициента вариации. Поскольку распределение статистики Стьюдента t сходится к стандартному нормальному, то небольшое изменение предыдущих рассуждений дает
Пример 3. Рассмотрим двухвыборочный критерий Смирнова, предназначенный для проверки однородности (совпадения) функций распределения двух независимых выборок [41]. Статистика этого критерия имеет вид
|
|
где Fm ( x ) – эмпирическая функция распределения, построенная по первой выборке объема m, извлеченной из генеральной совокупности с функцией распределения F ( x ), а Gn ( x ) – эмпирическая функция распределения, построенная по второй выборке объема n , извлеченной из генеральной совокупности с функцией распределения G(x). Нулевая гипотеза имеет вид альтернативная состоит в ее отрицании: Значение статистики сравнивают с порогом зависящим от уровня значимости и объемов выборок m и n. Если значение статистики не превосходит порога, то принимают нулевую гипотезу, если больше порога – альтернативную. Пороговые значения берут из таблиц [42]. Описанный критерий иногда неправильно называют критерием Колмогорова-Смирнова. История вопроса описана в [43].
При ограничениях (1) на абсолютные погрешности и справедливости нулевой гипотезы нотна имеет вид (при больших объемах выборок)
Если F ( x )= G ( x )= x при 0<x<1, то С помощью условия при уровне значимости и достаточно больших объемах выборок (т.е. используя асимптотическое выражение для порога согласно [42]) получаем, что выборки имеет смысл увеличивать, если
Правая часть этой формулы при равна 46. Если m = n, то последнее неравенство переходит в n < 92.
|
|
Теоретические результаты в области статистических методов входят в практику через алгоритмы расчетов, воплощенные в программные средства (пакеты программ, диалоговые системы). Ввод данных в современном статистической программной системе должен содержать запросы о погрешностях результатов измерений. На основе ответов на эти запросы вычисляются нотны рассматриваемых статистик, а затем – доверительные интервалы при оценивании, разброс уровней значимости при проверке гипотез, рациональные объемы выборок. Необходимо использовать систему алгоритмов и программ статистики интервальных данных, «параллельную» подобным системам для классической математической статистики.
Дата добавления: 2018-10-26; просмотров: 185; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!