Задача № 50. Вычислить экспоненту с заданной точностью
Формулировка. Дано действительное число x. Вычислить значение экспоненциальной функции (то есть, показательной функции ex, где e – математическая константа, ) в точке x с заданной точностью eps с помощью ряда Тейлора:
Примечание 1: показательными называются функции вида ax, где a – некоторое действительное число, x – независимая переменная, являющаяся показателем степени.
Примечание 2: ряд Тейлора – это представление функции в виде суммы (возможно, бесконечной) некоторых других функций по особым правилам (требующим детального математического обоснования, что в данном случае нам не нужно).
Решение. Не вникая в теоретическую часть и полагая представленную формулу корректной, попробуем разобраться в том, что же нам необходимо сделать для того, чтобы решить эту задачу:
1) Нам дана некоторая точка на оси Ox, и мы должны вычислить значение функции ex в этой точке. Допустим, если x = 4, то значение функции в этой точке будет равно ;
2) При этом вычисление необходимо реализовать с помощью заданной бесконечной формулы, в которой прибавление каждого очередного слагаемого увеличивает точность результата;
3) Точность должна составить вещественное число eps, меньшее 1 – это означает, что когда очередное прибавляемое к сумме слагаемое будет меньше eps, то необходимо завершить вычисление и выдать результат на экран. Это условие обязательно выполнится, так как математически доказано, что каждое следующее слагаемое в ряде Тейлора меньше предыдущего, следовательно, бесконечная последовательность слагаемых – это бесконечно убывающая последовательность.
|
|
Теперь разберемся с вычислением самого ряда. Очевидно, что любое его слагаемое, начиная со 2-го, можно получить из предыдущего, умножив его на x и разделив на натуральное число, являющееся номером текущего шага при последовательном вычислении (примем во внимание то, что тогда шаги нужно нумеровать с нуля). Значение x нам известно на любом шаге, а вот номер текущего шага (будем хранить его в переменной n) придется фиксировать.
Создадим вещественную переменную expf (от англ. exponential function – экспоненциальная функция) для накопления суммы слагаемых. Будем считать нулевой шаг уже выполненным, так как первое слагаемое в ряду – константа 1, и в связи с этим expf можно заранее проинициализировать числом 1:
expf := 1;
Так как мы начинаем вычисления не с нулевого, а с первого шага, то также нужно инициализировать значения n (числом 1, так как следующий шаг будет первым) и p (в ней будет храниться значение последнего вычисленного слагаемого):
n := 1;
p := 1;
Теперь можно приступить к разработке цикла. С учетом заданной точности eps условием его продолжения будет abs( p) >= eps, где abs( p) – модуль числа p (модуль нужен для того, чтобы не возникло ошибки, если введено отрицательное x).
|
|
В цикле необходимо домножить p на x и доделить его на текущий номер шага n, чтобы обеспечить реализацию факториала в знаменателе, после чего прибавить новое слагаемое p к результату expf и увеличить n для следующего шага:
while abs(p) >= eps do begin
p := p * x / n;
expf := expf + p;
inc(n)
end;
После выхода из цикла нужно осуществить форматированный вывод результата expf на экран с некоторым количеством цифр после точки, например, пятью. Отметим, что если при этом введенное eps содержало меньше 5 цифр после точки, то сформированное значение expf будет, соответственно, неточным.
Код :
1. program ExpFunc; 2. 3. var 4. x, eps, expf, p: real; 5. n: word; 6. 7. begin 8. readln(x, eps); 9. expf := 1; 10. n := 1; 11. p := 1; 12. while abs(p) >= eps do begin 13. p := p * x / n; 14. expf := expf + p; 15. inc(n) 16. end; 17. writeln(expf:0:5) 18. end. |
Содержание
Предисловие от автора. 1
Глава 1. Линейные алгоритмы.. 1
Задача № 1. Вывести на экран сообщение «Hello World!». 1
Задача № 2. Вывести на экран три числа в порядке, обратном вводу. 2
Задача № 3. Вывести на экран квадрат введенного числа. 3
|
|
Задача № 4. Получить реверсную запись трехзначного числа. 3
Задача № 5. Посчитать количество единичных битов числа. 5
Глава 2. Условные операторы.. 7
Задача № 6. Вывести на экран наибольшее из двух чисел. 7
Задача № 7. Вывести на экран наибольшее из трех чисел. 8
Задача № 8. Вывести название дня недели по его номеру. 9
Задача № 9. Проверить, является ли четырехзначное число палиндромом.. 9
Задача № 10. Проверить, является ли четырехзначное число счастливым билетом.. 11
Задача № 11. Проверить, является ли двоичное представление числа палиндромом.. 12
Задача № 12. Решить квадратное уравнение. 14
Глава 3. Циклы.. 16
Задача № 13. Вывести на экран все натуральные числа до заданного. 16
Задача № 14. Найти наибольший нетривиальный делитель натурального числа. 17
Задача № 15. Найти наименьший нетривиальный делитель натурального числа. 18
Задача № 16. Подсчитать общее число делителей натурального числа. 18
Задача № 17. Проверить, является ли заданное натуральное число простым.. 19
Задача № 18. Вывести на экран все простые числа до заданного. 19
Задача № 19. Вывести на экран первых n простых чисел. 21
Задача № 20. Проверить, является ли заданное натуральное число совершенным.. 24
Задача № 21. Проверить, являются ли два натуральных числа дружественными. 24
|
|
Задача № 22. Найти наибольший общий делитель двух натуральных чисел. 26
Задача № 23. Найти наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. 27
Задача № 24. Вычислить xn 28
Задача № 25. Вычислить xn по алгоритму быстрого возведения в степень. 29
Задача № 26. Решить квадратное уравнение заданного вида с параметром.. 30
Задача № 27. Вычислить значение многочлена в точке. 31
Задача № 28. Вычислить факториал. 32
Задача № 29. Вычислить число сочетаний из n по k. 33
Задача № 30. Вывести таблицу квадратов и кубов всех натуральных чисел до n. 34
Задача № 31. Сформировать реверсную запись заданного числа. 36
Задача № 32. Проверить монотонность последовательности цифр числа. 36
Задача № 33. Получить каноническое разложение числа на простые сомножители. 39
Задача № 34. Сформировать число из двух заданных чередованием разрядов. 40
Задача № 35. Вывести на экран x, записанное в системе счисления с основанием n. 42
Задача № 36. Найти наименьший нетривиальный делитель двух заданных чисел. 43
Задача № 37. Проверить, является ли натуральное число счастливым билетом.. 44
Задача № 38. Проверить, является ли натуральное число палиндромом.. 46
Задача № 39. Проверить, является ли натуральное число степенью двойки. 47
Задача № 40. Вывести на экран произведение четных элементов последовательности. 49
Задача № 41. Вывести на экран произведение двузначных элементов последовательности, которые делятся на заданное число. 50
Задача № 42. Найти количество простых членов последовательности. 51
Задача № 43. Проверить, начинается ли каждый из членов последовательности с цифры, на которую оканчивается предыдущий. 52
Задача № 44. Проверить, является ли последовательность пилообразной. 54
Задача № 45. Проверить, является ли последовательность строго монотонной. 57
Задача № 46. Вывести на экран n-ное число Фибоначчи. 59
Задача № 47. Вывести на экран сумму чисел Фибоначчи до n-ного включительно. 61
Задача № 48. Вывести на экран все числа Фибоначчи до n-ного включительно. 62
Задача № 49. Проверить баланс круглых скобок в символьном выражении. 63
Задача № 50. Вычислить экспоненту с заданной точностью.. 65
Дата добавления: 2018-10-25; просмотров: 289; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!