ЗАДАНИЕ 2. Измерить ускорение свободного падения при помощи физического маятника.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Электротехнический факультет

Кафедра физики

З.Г. Морозова

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО

ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

И ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

Учебно-методическое пособие

к лабораторной работе по дисциплине «Физика»

Киров 2015

УДК 513(07)

О 62

Рекомендовано к изданию методическим советом
электротехнического факультета ФГБОУ ВПО «ВятГУ»

Рецензент:

кандидат педагогических наук, доцент, кафедры «Прикладной математики и информатики» ФГБОУ ВПО «ВятГУ» Хохлова М. В.

Морозова З.Г.

Определение ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников: учебно-методическое пособие к лабораторной работе по дисциплине «Физика» для студентов всех технических профилей подготовки, всех форм обучения / З.Г. Морозова. – Киров: Изд–во ВятГУ, 2015. –19с.

Цель работы: изучение свойств гармонических колебаний на примере движения математического и физического маятников.

1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Периодически повторяющиеся процессы или движения называются колебаниями. Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии и отсутствия внешних воздействий на колебательную систему в дальнейшем.

Простейшим типом свободных колебаний являются гармонические колебания. При гармонических колебаниях, независимо от природы возбуждения, изменение характерной величины S, происходит по закону косинуса или синуса:

S = A sin ,

S = A cos , (1)

где А – амплитуда колебаний – максимальное значение величины S; – круговая (циклическая) частота; – фаза колебаний; – начальная фаза колебаний.

Амплитуда колебаний А является энергетической характеристикой процесса. Полная энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды. Амплитуда гармонических колебаний не меняется со временем, т. е. и полная энергия колебательной системы в процессе гармонических колебаний меняться не будет.

Циклическая частота зависит от периода колебаний Т – . Период Т определяется конструктивными особенностями устройства колебательной системы.

Фаза колебаний – определяет смещение колеблющейся вели-

чины S(t) относительно положения равновесия в любой произвольный момент времени t.

Начальная фаза колебаний – величина, определяющая смещение колеблющейся величины относительно положения равновесия в начальный момент времени S = S ( t ₀ =0)= S ₀ = A sin .

Колебательные системы, совершающие механическое движение, называются маятниками. Для них величина S определяет X координату смещения маятника относительно положения равновесия.

Т.е уравнения (1) перепишутся:

X = X _m cos или

X = X _m sin , (2)

где X _m – максимальное смещение от положения равновесия – амплитуда колебания.

Зависимость координаты от времени X ( t ) – формулы (2) можно рассматривать как уравнения движения маятника.

Если уравнение движения маятника X = X _m cos ; тогда по определению мгновенная скорость и мгновенное ускорение маятника запишутся:

(3)

(4)

Из сравнения уравнений (3) и (4) с уравнением X ( t ) (2) следует, что и скоростьV ( t ) и ускорение a ( t), подобно координате X ( t ), со временем изменяются по гармоническому закону, но имеют смещения по фазе относительно X . Скорость опережает X по фазе на p /2(в те моменты времени, когда X ( t) = 0, скорость V( t)= V_m -приобретает максимальное значение). Ускорение опережает X по фазе на p (в те моменты времени, когда

X (t) = X_m – принимает максимальное положительное значение , ускорение

a ( t )= - a _m приобретает максимальное отрицательное значение ).

Из уравнения (3) амплитудное (максимальное) значение скорости равно , из уравнения (4) – амплитудное значение ускорения .

Из сравнения уравнений для координаты –(2) и для ускорения – (4) следует:

(5)

Сила, действующая на колебательную систему, определяется по второму

закону Ньютона с учетом (5) выражением:

, (6)

где m- масса колебательной системы, k = m -постоянный для этой системы коэффициент.

Данная сила F подобна силе упругости, пропорциональна смещению X и направлена в противоположную сторону смещению. В общем случае эта сила F называется квазиупругой силой, а коэффициент k- коэффициентом квазиупругой силы.

Из уравнения (6) после определенных математических преобразований следует:

где = собственная частота колебаний маятника).

Полученное дифференциальное уравнение (8) называется дифференциальным уравнением механических гармонических колебаний:

(8)

Решением этого дифференциального уравнения являются функции вида (2).

В общем виде при X = S уравнение (8) принимает вид (9)

(9)

Решением уравнения (9), является функции вида (1), а будет собственной частотой соответствующей колебательной системы.

Для гармонических механических колебаний характерно постоянство величины полной механической энергии системы (отсутствие затухания) и переход энергии в процессе движения из одного вида в другой и обратно без потерь

Для случая механического движения кинетическая энергия K определяется выражением:

. (10)

Потенциальная энергия П по определению с учетом (7) запишется:

Рис.1

Полная энергия механическая энергия W равнасумме кинетической и потенциальной энергии и с учетом уравнений (10) и (11) определяется выражением и не меняется в процессе колебаний:

. (12)

На рис. 1 представлены зависимости координаты X( t ), кинетической энергии К( t ), потенциально энергии П( t ) и полной энергии W ( t ) от времени. гии П( t ) и полной энергии W ( t ) от времени.

Из формул (10) и (11) и рис.1 следует, что и кинетическая и потенциальная энергия маятника изменяются с частотой, в два раза превышающей частоту соответствующего гармонического колебания X(t).

Кинетическая и потенциальная энергия имеют сдвиг по фазе на p , т.е. в момент, когда кинетическая энергия достигает максимума потенциальная энергия имеет минимум.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити , и колеблющаяся под действием веса материальной точки. В положении рав

новесия, если точка О – точка подвеса маятника, Рис.2

неподвижна или движется с постоянной скоростью, вес тела численно равен силе тяжести.

На рис. 2 представлен математический маятник, для которого отклонение от положения равновесия a - мало. Основной закон динамики поступательного движения для маятника запишется:

, (13)

в проекциях на Х и У уравнение (13) будет иметь вид:

(14)

Ускорение маятнику создает результирующая сила , направленная к положению равновесия (возвращающая сила). Из треугольника сил (Рис.2) следует, что величина силы , причем для малых - .

Тогда дифференциальное уравнение гармонических колебаний запишется:

. (15)

Сравнивая его с (8), получим, что собственная циклическая частота определится , а период колебаний математического маятника запишется:

. (16)

3. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси О, не проходящей через центр масс С (рис. 3).

Пусть маятник, отклоненный от положения равновесия на некоторый угол ( -мало), совершает вращательное движение под действием возвращающей

силы F_x. В соответствии с основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент возвращающей силы М определится:

, (17) где I – момент инерции тела; e – угловое ус Рис.3 корение; d – плечо силы F _х.

Учитывая рис. 3, d = – расстоянию от

Рис.3 оси вращения О до центра масс тела С,

- возвращающаяся сила для данного маятника.

Таким образом уравнение (13) перепишется

или (18)

С учетом малых

или . (19)

Из сравнения уравнения (19) с уравнением (8) циклическая частота физического маятника определится:

тогда период колебаний физического маятника равен:

. (20)

Величина – называется приведенной длиной физического маятника.

Эта величина зависит от формы, размеров тела, положения оси вращения О относительно центра масс тела С.

Момент инерции маятника относительно оси вращения О определяется по теореме Штейнера , следовательно, приведенная длина физического маятника запишется:

т.е. L больше расстояния ОС = и равна расстоянию между двумя точками тела О и . Точка – называется центром качания тела для оси О. Если ось подвеса перенести из точки О в соответствующий ей центр качания , то период колебаний тела не изменится, т.е. О и обладают свойством взаимозаменяемости.

Также приведенную длину физического маятника L можно определить как длину математического маятника , колеблющегося синхронно с данным физическим маятником.

ТЕХНИКА БЕЗОПАСТНОСТИ

1. К проведению работ допускаются лица, прошедшие инструктаж по технике безопасности.

2. При выполнении работы необходимо соблюдать меры предосторожности при работе с физическим маятником и математическим маятниками.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Используя математический и физический маятники, необходимо определить ускорение свободного падения для данной местности.

ЗАДАНИЕ 1. Измерить ускорение свободного падения при помощи математического маятника.

Описание установки

Из формулы (16) получим:

. (21)

Из определения периода колебаний:

, (22)

где t – время, за которое совершается n колебаний.

1). Задавшись определенным значением точности расчета g - , вычислить количество колебаний n, которое необходимо провести для получения результата с заданной точностью.

Измерение g является косвенным измерением. Для получения формулы для расчета ошибки косвенного измерения надо проделать следующие преобразования формулы (19):

1) прологарифмировать формулу по основанию натурального логарифма:

;

2) полученную формулу продифференцировать:

;

3) перейти к конечным изменениям величин, входящих в формулу:

. (23)

Обычно погрешность в лабораторных измерениях берется . Ошибка измерения длины математического маятника равна точности измерения применяемого для этого прибора.

Из формулы (23) следует, что точность измерения ускорения свободного падения зависит от точности измерения периода колебаний математического маятника .

Тогда из формулы (23)следует

. (24)

Из определения периода колебаний (22) и предположения, что Т также является косвенным измерением, получим:

. (25)

Пренебрегая и с учетом (24) и (25), получим:

, (26)

где – ошибка секундомера, равная цене деления секундомера. Из формулы (26) можно рассчитать время t, необходимое для получения заданной точности измерения ускорения свободного падения g . Однако, при проведении экспе

римента, лучше измерять не время колебаний t, а число колебаний n, происходящих за это время. Для нахождения n используют формулу (22), в которую вместо Т подставляют предварительно найденный период колебаний маятника Т_пр и рассчитанное из формулы (26) время t.

Необходимо, однако, привести некоторые соображения по поводу оценки погрешности и точности определения величины ускорения свободного падения с помощью данного маятника.

Считая, что период колебаний маятника определяется формулой (22), мы пренебрегаем зависимостью периода от амплитуды и неизбежным нарушением требований, вытекающих из определения математического маятника. Это влечет за собой следующие неточности:

I. Строго говоря, период колебаний зависит от амплитуды колебаний:

. (27)

Такое выражение для периода колебаний следует из решения уравнения (16).

В нашей работе мы пренебрегаем членами, содержащими амплитуду колебаний, следствием чего является погрешность в определении g. Из формулы (23) найдем ускорение свободного падения:

. (28)

Погрешность найдем как разность между более точным значением, которое дается формулой (26) и приближенным, которое дается формулой (19):

;

, (29)

где А выражено в радианах.

II. Конечность размеров шарика, наличие в нем отверстия, весомость нити и наличие узелка на ее конце приводят к тому, что данный маятник не является строго математическим, поэтому для расчета ускорения свободного падения нужно пользоваться формулой (18), а не формулой (15). Использование формулы (19) для расчета g без учета отличия параметров нашего маятника от идеального математического маятника приводит к появлению погрешности . Значение рассчитывается из формулы (20), а – из формулы (16):

. (30)

III. В результате растяжимости нити допускается погрешность

, (31)

где – удлинение нити, вызванное действием максимальной центробежной силы в момент прохождения положения равновесия.

Однако в нашей установке погрешности (29), (30), (31) невелики. Например, для = 100 см, то есть на порядок меньше погрешностей величин, входящих в формулу (22). При малых колебаниях величина еще меньше. Поэтому погрешностям (29), (30), (31) можно пренебречь, если амплитуда

колебаний будет порядка .

Порядок выполнения задания 1

1. Рассчитать из соотношения (26) время t опыта.

2. Привести маятник в колебательное движение и замерить время пяти полных колебаний t ₅, рассчитать по формуле (22) предварительный период T _пр.

3. Рассчитать число колебаний n, которые произойдут за время t , рассчитанное из формулы(26). Для этого в формулу (22) подставить рассчитанное из формулы (26) время t и период Т_пр, рассчитанный в пункте 2. Результат расчета n округлить в большую сторону.

4. Привести маятник в колебательное движение измерить время n колебаний, рассчитанных в пункте 3.

5. Точно рассчитать период Т колебаний математического маятника по формуле(16), используя результаты, полученные в пункте 3.

6. Вычислить ускорение свободного падения g по формуле (21), подставляя в нее период, рассчитанный в пункте 5.

7. Определить погрешность измерения g по формуле (23).

8. Сравнить полученную точность измерения g с заданной точностью.

9. Записать окончательный результат и сравнить его с табличным значением g .

ЗАДАНИЕ 2. Измерить ускорение свободного падения при помощи физического маятника.

Описание установки

Исходя из формулы (20), ускорение свободного падения

запишется.

(32)

Определение ускорения свободного падения в этом задании производится с помощью оборотного физического маятника (рис. 4). Оборотный маятник представляет собой металлический стержень с двумя параллельными друг другу опорными Рис.4

призмами П₁ и П₂, за которые он может поочередно подвеши-

ваться на кронштейне, а также с двумя грузами Г₁ и Г₂ в виде чечевицы. В нашей установке опорные призмы П₁, П₂ и груз Г₂ жестко закреплены на стержне, второй груз Г₁ может перемещаться. Конец стержня, по которому перемещается груз Г₁ имеет шкалу с миллиметровыми делениями. При перемещении груза Г₁ по стержню меняется конфигурация физического маятника. При определенном положении груза Г₁, соответствующем некоторому определенному отсчету его координаты по шкале, заданное расстояние между призмами П₁ и П₂ будет равно приведенной длине данного физического маятника.

Тогда периоды колебаний Т₁ и Т₂ маятника при укреплении его в кронштейне на призмах П₁ и П₂ , соответственно, будут одинаковы.

Порядок выполнения задания 2

1. Закрепить подвижный груз Г₁ на шкале в некотором положении (по указанию преподавателя).

2. Измерить время, за которое совершается 20 полных колебаний относительно оси, проходящей через призму П₁.

3. Перевернув маятник, измерить время t ₂, 20 полных колебаний относительно оси, проходящей через призмуП₂.

4. Перемещая груз Г₁ по шкале с некоторым шагом (согласно указанию преподавателя), повторить указанные во 2 и 3 пунктах измерения для 10-12 положений груза на шкале.

5. Результаты измерений (положение груза на шкале, время t ₁ и t ₂, число колебаний n) занести в таблицу.

(см)	t ₁(с)	t ₂(с)	Т₁(с)	Т₂(с)

6. Рассчитать периоды Т₁ и Т₂ колебаний маятника относительно осей П₁ и П₂ для всех положений груза.

7. На одном графике построить зависимости периодов и

. от положения груза Г₁ на шкале.

8. Найти точку пересечения кривых. Она соответствует тому положению

груза Г₁, при котором периоды колебаний Т₁ и Т₂ совпадают, т.е. расстояние

между призмами равно приведенной длине физического маятника.

9. Укрепить груз Г₁ в положении и определить наиболее точно периоды

колебаний Т₁ и Т₂ в прямом и перевернутом положениях маятника. Найти

среднее значение периода Т.

10. Измерить расстояние между опорными призмами, равное приведенной дли-

не физического маятника.

11. Рассчитать ускорение свободного падения по формуле (32).

12. Определить погрешность измерения ускорения свободного падения по фор-

муле (23), приняв .

13. Записать окончательный результат g и сравнить его с табличным значени-

ем ускорения свободного падения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какое колебание называется гармоническим? Запишите уравнение механических гармонических колебаний.

2. Получите уравнения для скорости и ускорения гармонических механических колебаний.

3. Выведите дифференциальное уравнение механических гармонических колебаний физического маятника..

4. Объясните характер изменения энергии колебательной системы при совершении гармонических колебаний.

5. Дайте определение физического и математического маятников. Как рассчитывается их период колебаний?

6. Что называется приведенной длиной физического маятника?

7. В чем состоит свойство обратимости физического маятника? Как оно используется в данной работе?

8. Обоснуйте точность определения величины ускорения свободного падения.

9. Почему не следует определять период колебаний математического маятника на основе измерения времени 3-5 колебаний.

10. Математический маятник длиной =40см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной =60см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние d центра масс стержня от оси колебаний.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трофимова, Т. И. Курс физики [Текст] : учеб. пособие / Т. И. Трофимова. - М. : Академия, 2007. – 560 с.

2. Детлаф, А. А. Курс физики [Текст ] : учеб. пособие / А. А. Детлаф, В. М. Яворский. - М. : Академия, 2007. - 720 с.

3. Савельев, И. В. Курс физики [Текст] / И. В. Савельев; под ред. И. В. Савельева. - М. : КноРус 2009. – В 4 т. Т. 2. Электричество и магнетизм. - 2009. - 570 с.

Дата добавления: 2018-10-25; просмотров: 534; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!