В.24.4 Процесс выполнения метода



 

Марковский анализ основан на понятии "состояния" (например, работоспособное и неработоспособное состояния) и перехода между этими состояниями во времени в предположении постоянной вероятности перехода. Стохастическую матрицу вероятностей перехода используют для описания переходов между состояниями и необходимых вычислений.

 

Для иллюстрации применения марковского анализа рассмотрим сложную систему, которая может находиться только в трех состояниях: работоспособном, ухудшенном и неработоспособном, обозначенных как состояния S1, S2, S3 соответственно. В любой момент времени система находится в одном из трех состояний. В таблице В.2 приведена вероятность того, что в следующий момент времени система будет находиться в состоянии , где может быть 1, 2 или 3.

 

Таблица В.2 - Матрица Маркова

       
Состояние в следующий момент времени

Состояние в текущий момент времени

    S1 S2 S3
S1 0,95 0,30 0,2
S2 0,04 0,65 0,6
S3 0,01 0,05 0,2

 

Данный массив вероятностей называется матрицей Маркова или матрицей перехода. Следует отметить, что сумма в каждом столбце матрицы равна 1, т.к. это сумма вероятностей всех возможных состояний в каждом случае. Система также может быть представлена диаграммой Маркова, в которой круги отображают состояния, а стрелки - переходы с соответствующей вероятностью.

 

 

Рисунок B.9 - Пример диаграммы Маркова для системы

Стрелки, замкнутые на одном состоянии, обычно не показывают. В данном примере они приведены для полноты представления.

 

Если  - вероятность нахождения системы в состоянии , для 1, 2, 3, то:

 

   
.   (В.1)
.   (В.2)
. (В.3)

 

Эти три уравнения зависимы, и система уравнений не может быть решена. Для решения необходимо одно из приведенных уравнений исключить, заменив его следующим уравнением.

 

. (B.4)

Полученные значения составляют 0,85, 0,13 и 0,02 соответственно для состояний 1, 2, 3. Система является полностью функционирующей в течение 85% времени, в ухудшенном состоянии в течение 13% времени и в состоянии отказа в течение 2% времени.

 

Рассмотрим ситуацию, когда система состоит из двух последовательных элементов, т.е. для работоспособности системы оба элемента должны находиться в работоспособном состоянии. Элементы могут быть в работоспособном состоянии или в состоянии отказа. Работоспособность системы зависит от состояния элементов.

 

Возможны следующие состояния элементов:

 

- состояние 1. Оба элемента находятся в работоспособном состоянии;

 

- состояние 2. Один элемент отказал и находится на восстановлении, а другой находится в работоспособном состоянии;

 

- состояние 3. Оба элемента отказали и находятся на восстановлении.

 

Если интенсивность отказа каждого элемента принять равной , а интенсивность восстановлений равной , и они являются постоянными, то диаграмму состояния перехода можно представить в следующем виде:

 

 

Рисунок B.10 - Пример диаграммы состояний перехода

При этом интенсивность перехода из состояния 1 в состояние 2 равна 2 , поскольку отказ любого из двух элементов приводит систему в состояние 2.

 

Пусть  - вероятность нахождения системы в начальном состоянии в момент времени ;

 

- вероятность нахождения системы в конечном состоянии в момент времени .

 

Тогда матрица переходов принимает следующий вид:

 

Таблица B.3 - Конечная матрица Маркова

       
Конечное состояние

Начальное состояние

   
-2   * 0
2  
0 *

 

_______________

* Текст документа соответствует оригиналу. - Примечание изготовителя базы данных.

 

Необходимо отметить, что нулевые значения возникают потому, что переходы невозможны из состояния 1 в состояние 3 или из состояния 3 в состояние 1. Кроме того, сумма в колонке равна нулю при определении интенсивности.

 

В этом случае система уравнений имеет следующий вид:

 

   
,   (B.5)
,   (B.6)
. (B.7)

 

Для простоты можно предположить, что требуемая работоспособность соответствует устойчивому состоянию системы.

 

Если  стремится к бесконечности, стремится к нулю, что позволяет упростить уравнения. Также необходимо использовать дополнительное уравнение (см. В.4). Тогда уравнение можно записать в виде:

 

.

Следовательно, .

 

В.24.5 Выходные данные

 

Выходными данными марковского анализа являются вероятности пребывания системы в различных состояниях, а следовательно - оценки вероятностей отказа и/или безотказной работы существенных компонентов системы.

 


Дата добавления: 2018-09-23; просмотров: 229; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!