Экономическая постановка задачи
Для откорма крупно рогатого скота используют два вида кормов: b1, b2, в которые питательные вещества а1,а2,а3,а4. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого корма, стоимость 1 кг корма и содержание питательных веществ в рационе животного представлены в таблице 7. Составьте рацион при условии минимальной стоимости.
Таблица 7
| Питательные вещества | Виды кормов | Норма содержание питательных веществ | |
| b1 | b2 | ||
| а1 | 3 | 4 | 24 |
| а2 | 1 | 2 | 18 |
| а3 | 4 | 0 | 20 |
| а4 | 0 | 1 | 6 |
| Стоимость 1кг корма, руб | 1 | 2 | |
Понятие математической модели
Решение какой-либо задачи управления можно разбить на несколько этапов:
1) формулировка задачи;
2) разработка математической модели изучаемой системы;
3) выбор метода и отыскание решения с помощью этой модели;
4) проверка решения.
В каждой задаче мы должны ясно определить цели, поставленные перед системой, изучить обстановку, освоиться с терминологией, процессом, определить различные способы действия, приемлемые для ситуации, дать в какой-то форме постановку задачи. Построить подходящую логическую, или математическую модель, которая свяжет переменные задачи с реальными ограничениями, целями задачи, мерой эффективности. Затем, исходя из полученной модели, выбрать метод, и найти решение, оптимизирующее эту меру эффективности, т. е. оптимальное решение. И сравнить это полученное с помощью математической модели решение с действительностью, чтобы выяснить, в самом ли деле мы сформулировали и решали ту реальную задачу, с которой начали? Когда меняется ситуация, какие изменения надо вносить в математическую модель? Можно ли улучшить модель, что привело бы к новым решениям, более реалистичным и точным.
|
|
|
Итак, математическая модель означает перевод задачи на язык количественных терминов.
В линейном программировании математическая модель представляет собой систему линейных соотношений между переменными (ресурсами, ограничениями) и целевую функцию (меру эффективности).
Математические модели позволяют привнести научную методологию в те области управления, где ранее господствовала интуиция и опыт. Математическая модель позволяет лучше понять исследуемую задачу и процессы, оценить и сравнить между собой решения, оценить эффект, который оказывает изменение одной переменной на остальные, понять численные, количественные характеристики процесса, которые ранее понимались интуитивно-приближенно.
Когда задача ЛП поставлена, главная мера эффективности выбрана, функциональная форма математической модели определена. Нужно указать, как выбранные нами переменные связаны с данными задачи. для этого необходимы некоторые эксперименты, позволяющие выявить структуру. В одних случаях, достаточно открыть бухгалтерскую книгу, заглянуть в нужный файл компьютера и получить необходимую информацию; в других, затратить силы и средства. Но в любом случае между переменными и структурой модели существует связь.
|
|
|
Именно посредством модели задачи связана с предлагаемым решением. Насколько точна модель, настолько и реально решение. С помощью математической модели и меры эффективности можно оценить разные решения и выбрать лучшее. В линейном программировании, благодаря вычислительным методам, эта задача решается автоматически.
Двойственная задача линейного программирования
Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования. Решая одну из
них, автоматически решается и другая задача. Такие задачи называют взаимодвойственными. Покажем по данной задаче, будем называть ее исходной, построить двойственную ей.
Построим ей двойственную задачу по следующим правилам:
1. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.
|
|
|
2. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.
3. Столбец свободных членов исходной является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.
4. Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам–ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной.
Транспонированной называется матрица, у которой строки и столбцы меняются местами. Поэтому коэффициенты при переменных yi в задаче II это, соответственно, коэффициенты i-ого неравенства в задаче I. Неравенства, находящиеся напротив друг друга, называются сопряженными .
Двойственность является фундаментальным понятием в теории линейного программирования. Основные результаты теории двойственности заключены в двух теоремах, называемых теоремами двойственности.
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 252; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!