Погашение задолженности равными суммами долга.
В кредитном контракте может быть оговорено условие выплаты основного долга D равными платежами. При годовом погашении размеры платежей по основному долгу будут равны
D/n=R1=R2=…=Rn=const=R
Остаток основного долга в начале каждого расчетного периода (Dк) определится как
Dк = D – R (к – 1)
D - сумма первоначального долга,
к - номер расчетного периода.
Величина срочной уплаты в каждом расчетном периоде равна
Yк = Dк*i + R (3.4)
Подставив в (3.4) значение Dк, получим
Yк = Dк*i + R
Yк = (D-R(к-1))*i + R (3.3)
При погашении задолженности чаще, чем раз в год при расчете появляется
параметр р, отражающий частоту платежей в течение года, корректирующий
размер выплаты по долгу
R = D/np
И размер выплаты процентов соответственно
Iк = Dк*i/p
Графически процесс погашения соответствует схеме:
|
|
|
|
Последовательность внесения
Сумма выплат убывает в связи с уменьшением размера выплаты процентов (в связи с уменьшением основного долга-базы для начисления процентов).
Пример.
Кредит в сумме 100 тыс. рублей под 40% простых годовых выдан на 5 лет. Погашение процентов и взносы в фонд запланированы ежегодными платежами при погашении основного долга равными платежами. Рассчитать план погашения.
| № плате жа | Остаток непогашенной задолженности на нач. пер.(Dк) | Сумма выплаты долга R | Сумма выплаты процеитов(Iк) | Срочная уплата (Yк) |
| 1 | 100 | 20 | 40 | 60 |
| 2 | 80 | 20 | 32 | 52 |
| 3 | 60 | 20 | 24 | 44 |
| 4 | 40 | 20 | 16 | 36 |
| 5 | 20 | 20 | 8 | 28 |
| Итог | X | 100 | 120 | 220 |
|
|
|
Погашение задолженности равными уплатами долга с процентами. Погашение ипотечной задолженности.
Условиями кредитного контракта может быть предусмотрен вариант выплат задолженности вместе с процентами в равных суммах на протяжении всего периода погашения.
Поскольку каждая срочная уплата является суммой двух составляющих - процентного платежа и платежа по долгу и срочная уплата постоянна на протяжении срока погашения, в структуре срочной уплаты происходит перераспределение между названными составляющими. В связи с тем, что происходит погашение основного долга, соответственно, будут уменьшаться и выплаты процентов по долгу. Следовательно, расход по уплате долга будет увеличиваться. Такой процесс погашения называют прогрессивным погашением. Сама последовательность срочных уплат представляет собой ренту постнумерандо.
Схематически процесс погашения соответствует схеме:
| |
Rк
| |
|
|
|
Iк
Величина кредита (D) равна сумме всех дисконтированных платежей по ренте, т.е. является современной величиной суммы всех срочных уплат. Исходя из этого можно записать для годовой ренты
D = Y1/(1+i)+Y2/(1+i)2 +Y3/(1+i)3 + … +Yn/(1+i)n
Либо по формуле суммы аннуитета
1-(10i)-n
D = Y i = Y*ai,n
Откуда размер разового платежа (срочной уплаты) равен
Y = D/ai,n
Поскольку проценты считаются от остатка непогашенного долга, размер процентов высчитывается для годовой ренты как Iк=Dк*i, (Dк - остаток непогашенного долга на начало периода к)
Пример
Тот же. Погашение равными суммами вместе с процентами.
Y= 100*0б4/(1-1,4-5) = 49,136 тыс. рублей
I1 = D*i = 100*0,4 = 40 тыс.руб.
R1 = Y-I1=49,136-40=9,136 тыс.руб.
Остаток непогашенного долга на начало 2 года рассчитывается как разница
между начальной суммой долга и размером погашенной задолженности первым платежом:
D2 = D – R1 = 100 – 9,136 = 90,864 тыс. рублей
Далее сумма процентов в структуре срочной уплаты 49,136 тыс. рублей определяется из расчета процентов от остатка непогашенной задолженности D2 = 90,864 тыс. рублей, что соответствует сумме I2 = 90,864*0,4 = 36,3456 тыс. рублей
|
|
|
Тыс. рублей
| № платежа | Остаток непогашенной задолженности на нач. пер. (Dк) | Срочная уплата (Yк) | Сумма выплаты процентов (Iк) | Сумма выплаты долга (Rк) |
| 1 | 100 | 49,136 | 40 | 9.136 |
| 2 | 90.864 | 49,136 | 36.3456 | 12.7904 |
| 3 | 78.0736 | 49,136 | 31.2294 | 17.907 |
| 4 | 60.17 | 49,136 | 24.07 | 25.069 |
| 5 | 35.10 | 49,136 | 14.04 | 35.1 |
| Итог | X | 245,68 | 145.685 | 100 |
Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во времени:
Rк+1 = Rк(1+i) (для годовых выплат).
Размер роста Rк соответствует сумме уменьшения выплачиваемых процентов по долгу.
Платежи по погашению долга образовывают ряд:
R1, R1(1+i), R1(1+i)2, R1(1+i)3, ....,R1(1+i)n.
Используя этот ряд, несложно определить размер погашенного долга на любой момент времени t (после очередной выплаты).
t-1
Wt = ∑ R1(1+i)к
К=0
Соответственно, остаток непогашенной задолженности на начало периода t будет равен разнице D и Wt
Пример
Определить размер погашенного долга за 3 года и остаток к погашению до конца периода. (Условия предыдущей задачи).
|
|
|
Сумма взноса по погашению долга в первом периоде составляет R1=9,136 т. р.
Объем погашения за 3 года
Wз=9,136* s3,40 =9,136*{(1+0,4)3-1 }/0,4=39,83 т.руб.
Остаток к погашению равен
D-Wз=100 - 39,83=60,17 т.руб., что соответствует данным таблицы.
Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в год. Для расчетов используются формулы для m, р кратной ренты.
Разработка плана погашения равными срочными уплатами может быть построена на условии, что при имеющейся сумме задолженности по кредиту устанавливается размер отдельной срочной уплаты. При этом необходимо разрабатывать условия контракта. Решение такой задачи заключается в определении срока погашения задолженности корректировке первичных условий для достижения полной сбалансированности платежей.
Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Формулы приведены в разделе расчета параметров ренты. При выплатах постнумерандо один раз в год срок выплат рассчитывается
-ln(1-D/Y*i)
N= ln(1+i)
Очевидно, что решение существует при превышении размера срочной уплаты суммы начисленных процентов за период, т.е. Di‹Y. При получении дробной величины n его округляют до ближайшего целого наименьшего числа. В этом случае план оказывается несбалансированным. Далее имеются две возможности для достижения сбалансированности: найти новое значение Y или компенсировать остаток долга.
Погашение ипотечной задолженности рассчитывается методом равных срочных уплат. Однако имеются особенности, связанные с режимом платежей по займу:
• Погашение ведется в течение длительного периода времени (10 лет и более),
• Взносы по погашению займа ведутся ежемесячно.
Для расчета плана погашения используется рента с параметрами т,р==12. Соответственно, размер уплаты
____I/12_____
Y=D 1-(1+i/12) –mn
5. Погашение потребительского кредита по “схеме 78”
Погашение потребительского кредита по “схеме 78” относится к погашению задолженности в рассрочку. Данный вид погашения является наиболее дорогим среди методов, поскольку предполагается, что проценты на всю сумму задолженности за весь период кредита. Таким образом, масса начисленных процентов оказывается больше, чем при других способах погашения. Далее погашение ведется равными по сумме величинами с перераспределением структуры срочной уплаты в сторону увеличения доли, идущей на погашение основного долга. Аналогично варианту погашения задолженности равными срочными уплатами погашение по “схеме 78” является прогрессивным.
Схематически процесс погашения выглядит следующим образом:
|
|
Rк
Iк
При расчете погашения по “схеме 78” расчет процентов ведется по простой схеме.
Пусть выдан потребительский кредит в сумме D на n лет. Общая сумма задолженности вместе с процентами за весь срок погашения равна
S = D (1+n*i).
Поскольку погашение ведется равными долями от общей суммы задолженности, размер срочной уплаты рассчитывается
Y = S/n
При режиме погашения р раз в год - Y = S/nр.
В срочной уплате выделяются части, направленные на погашение процентов It и основного долга Rt: Y = It + Rt. При расчете плана погашения определяется размер процентного платежа, а затем - сумма, направленная на погашение основного долга:
Rt = Y – It.
Найдем величину погашения процентов.
Сумма процентов к погашению за весь срок составляет I=Dni. Величина I разбивается на суммы процентных платежей в каждой срочной уплате согласно “правила 78”. Суть метода заключается в следующем. Сумма номеров месяцев в году составляет число 78 (1+2+3+...+12). Доля процентов, выплачиваемых в первой срочной уплате, составляет 12/78 от величины I, во второй срочной уплате - 11/78 I и т.д. Поскольку последовательность выплаты процентов представляет собой арифметическую прогрессию, “правило 78” можно распространить на платежи для любого срока выплат и с любой периодичностью. Для этого необходимо рассчитать сумму номеров выплат Q за срок кредита и расположить процентные выплаты в последовательности nр/Q, nр-1/Q,...,1/Q. Величина Q - сумма арифметической прогрессии 1,2,3,...,nр с первым членом 1 и разностью 1. Эта сумма равна Q=nр(nр+1)/2.
Например, при погашении задолженности в течение 2 лет ежемесячными платежами “правило 78” преобразуется в “правило 300”:
Q=2*12*(2*12+1)/2=:24*2%/2==300 и процентные платежи в срочных уплатах расположены в последовательности
I1 = 24/300*I, I2 = 23/300*I,... ,I24 = 1/300*I.
Таким образом, в каждом месяце выплаты процентов сокращаются на величину Din/Q, на такую же сумму увеличиваются суммы списания основного долга.
Пример .
Погашение потребительского кредита ведется в течение 5 лет. Сумма кредита - 100 тыс. рублей, проценты - 20% годовых. Погашение ежемесячное.
S=D( 1+in)=100( 1+0,2*5)=300 т. рублей.
Сумма процентов - I=100 т. рублей
Срочная уплата Y=200/5*12=3,33 т. рублей
Q=5*12*61/2=1830
Для первого платежа находим
I1=60/1830*100=3,27 т. рублей, R1=3,33-3,27=0,06 т. рублей
В таблице приведены данные о погашении.
| Месяц | Остаток долга на начало месяца | Проценты | Погашение долга | Остаток долга на конец месяца |
| 1 | 100 | 3,27 | 0,06 | 99,94 |
| 2 | 99,94 | 3,22 | 0,11 | 99,83 |
| 3 | 99,83 | 3,17 | 0,16 | 99,67 |
| 59 | 6,95 | 0,11 | 3,22 | 3,275 |
| 60 | 3,275 | 0,054 | 3,275 | 0 |
| Итого | 100 | 100 | 0 |
В случае внесения платежей равномерными срочными уплатами расходы по займу равны Y=100/а20,512=100*0,2/12/(1-(1+0.2/12)-12*5)=2,65 тыс. рублей, что значительно ниже, чем при погашении по “схеме 78”.
Т.О., важно отметить, что в потребительском кредите при разовом начислении процентов должник фактически выплачивает проценты за списанные суммы долга. Иначе говоря, если бы проценты начислялись на остатки долга, то кредит обошелся бы значительно дешевле ( при той же процентной ставке). Так, пусть в последнем примере погашение производится равными срочными уплатами. Расходы по обслуживанию долга
Y=100*0,4/(1 –(1+0,4/12)-12*5)=
Что значительно дешевле полученной в примере суммы расходов.
Льготные займы и кредиты
В ряде случаев долгосрочные займы и кредиты выдаются на льготных для заемщика условиях. Низкая (относительно ставки на рынке кредитов) процентная ставка в сочетании с большим его сроком и льготным периодом дают должнику существенную выгоду, которую можно рассматривать как субсидию. Кредитор в этих условиях несет некоторые потери, т.к. он мог бы инвестировать деньги на более выгодных условиях.
В качестве измерителя этой помощи используется грант- элемент.
Грант-элемент - это условная потеря заимодавца, которая связана с применением более низкой процентной ставки, чем ставка кредитного рынка. Грант-элемент определяется в двух видах - абсолютной и относительной величины.
Абсолютный грант-элемент рассчитывается как разность номинальной суммы займа и современной величины платежей по погашению займов. Проблема сводится к выбору надлежащей ставки процента для расчета современной величины платежей. Рекомендации по выбору конкретного значения этой ставки расплывчаты, обычно используют превалирующую на рынке долгосрочных кредитов ставку.
Размер абсолютного грант-элемента находим следующим образом:
W = D - G (G-дисконтированная по ставке кредитного рынка величина льготного потока платежей).
Относительный грант-элемент:
w = W/D = 1 – G/D
Все переменные приведенных выше формул определяются условиями выдачи и погашения займа.
Выведем рабочие формулы для расчета W и w при условии, что долг и проценты погашаются равными срочными уплатами.
Пусть заем выдан на n лет и предусматривает выплату процентов по ставке g. На денежном рынке аналогичные по сроку и величине займы выдаются по ставке i. В этом случае срочная уплата составит:
Y = D/an,g
А современная величина всех выплат должника равна Yan,i. В итоге согласно формуле W:
W = D - Yan,i = D(1 – an,i/an,g)
w = 1 - an,i/an,g
где an,i/an,g - коэффициенты приведения постоянных годовых рент постнумерандо, определенные для процентных ставок i и g, i>g.
Очевидно, что наличие льготного периода увеличивает грант-элемент. Если в льготном периоде должник выплачивает проценты, то современная величина поступлений по долгу определяется как сумма двух элементов - современной величины процентных платежей в льготном периоде и современной величины срочных уплат в оставшееся время.
Дата добавления: 2018-09-22; просмотров: 1773; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!