Ранг матрицы в терминах определителей.

c1u1 + c2u2 + . . . + cm um, где c1, c2, . . . , cm числа (элементы из основного поля F).

Если все коэффициенты равны нулю, то линейная комбинация c1u1 + c2u2 + . . . + cmum равна нулевой строке.

Определение 1.15. Совокупность строк u1, u2, . . . , um длины n называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты c1, c2, . . . , cm , не равные нулю одновременно, такие, что c1u1 + c2u2 + . . . +cmum = 0

Теорема 1.6. Для того чтобы совокупность строк u1, u2, . . . , um длины n была линейно зависимой, необходимо и доста- точно, чтобы хотя бы одна из строк этой совокупности была линейной комбинацией остальных.

Следствие 1.5. Для того чтобы совокупность строк u1, u2, . . . , um длины n была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ни одна из строк этой совокупности не была линейной комбинацией остальных.

Лемма 1.2. Пусть строки u1, . . . , um , um+1 длины n составляют линейно зависимую совокупность, а строки u1, . . . , um составляют линейно независимую совокупность. Тогда строка um+1 является линейной комбинацией строк u1, . . . , um .

Лемма 1.3. Если между строками u1, u2, . . . , um длины n имеется линейная зависимость, то такая же зависимость имеет место и для их отрезков ∼ u1, ∼ u2, . . . , ∼ um фиксированной длины.

Свойства линейной зависимости и линейной

Независимости строк длины n

Любая совокупность строк длины n, содержащая нулевую строку, линейно зависима.

Всякая совокупность строк длины n, содержащая две равные строки, линейно зависима.

Всякая совокупность строк длины n, содержащая две пропорциональные строки, линейно зависима.

Если совокупность строк длины n линейно зависима, то всякая большая совокупность строк длины n будет тоже линейно зависима.

Если совокупность строк длины n линейно независима, то и всякая ее часть будет линейно независима.

Теорема о линейной зависимости линейных комбина-

Ций строк.

Пусть u1, . . . , um и v1, . . . , vk две совокупности строк, и все строки второй совокупности являются линейными комбинациями строк первой совокупности. Тогда, если k > m, то совокупность строк v1, . . . , vk линейно зависима

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводится методом ма- тематической индукции по числу комбинируемых строк. Для m = 1 утверждение почти очевидно. Пусть v1 = c1u1, v2 = c2u1, . . . , vk = cku1. Если c1 = 0, то совокупность строк v1, . . . , vk линейно зависима, так как она содержит нулевую строку. Если c1 не равно 0, то имеется линейная зависимость: (−c2)v1 + c1v2 + 0 v3 + . . . + 0 vk = 0. Допустим теперь, что утверждение верно для совокупности m – 1 комбинируемых строк, и в этом предположении докажем его для m. Пусть

v1 = c11*u1 + c12*u2 + . . . + c1m*um,

v2 = c21*u1 + c22*u2 + . . . + c2m*um,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vk = ck1*u1 + ck2*u2 + . . . + ckm*um,

Если c11 = c21 = . . . = ck1 = 0, то утверждение верно, так как тогда строки v1, . . . , vk являются линейными комбинациями m − 1 строк u2, . . . , um. Пусть один из коэффициентов c11, c21, . . . , ck1 отличен от нуля. Без нарушения общности можно считать, что c11 не равно 0. Рассмотрим строки:

v′2 = v2 − c21/c11*v1 = c′22*u2 + . . . + c′2m*um,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v′k = vk − ck1/c11*v1 = c′k2u2 + . . . + c′kmum.

Вновь построенные k − 1 строк являются линейными комбинациями m − 1 строк u2, . . . , um. Так как k > m, то k − 1 > m − 1. В силу индуктивного предположения строки v′2, . . . , v′k образуют линейно зависимую совокупность. Это значит, что существуют не равные одновременно нулю коэффициенты b2, . . . , bk такие, что

b2*v′2 + . . . + bk*v′k = 0.

В последнее соотношение подставляем выражение строк v′2, . . . , v′k через строки v1, . . . , vk . Получим b2(v2 − c21/c11*v1) + . . . + bk(vk − ck1/c11*v1) = 0,

откуда    − (b2*c21 + . . . + bk*ck1/c11)*v1 + b2*v2 + . . . + bk*vk = 0.

Теорема доказана

Ранг матрицы (теорема 1.9).

Ранг множества строк прямоугольной матрицы равен рангу множества ее столбцов.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть

A11 a12 . . . a1n

А= a21 a22 . . . a2n

          . . . . . . . . . . . . . . .

Am1 am2 . . . amn

Пусть ранг множества строк матрицы A равен k. Тогда найдется базис из k строк, т. е. такое линейно независимое множество строк, что все остальные строки являются их линейными комбинациями. Будем для определенности считать, что это первые k строк матрицы A, иначе изменим их нумерацию. Рассмотрим матрицу, состоящую из этих строк

A11 a12 . . . a1n

     ~A=   . . . . . . . . . . . . . .

Ak1 ak2 . . . akn

Столбцы матрицы ∼ A являются отрезками столбцов матрицы A. Выберем базис столбцов матрицы ∼ A. Пусть число столбцов, составляющих базис, равно r. Все столбцы матрицы ∼ A являются линейными комбинациями столбцов базиса. Ясно, что r меньше равно k. Пополним выбранные столбцы базиса до полных столбцов матрицы A. Получившиеся столбцы линейно независимы и по лемме 1.4 все столбцы матрицы A являются их линейными комбинациями. Таким образом, мы построили базис множества столбцов матрицы A, состоящий из r столбцов, причем r меньше равно k. Итак, ранг множества столбцов матрицы не превосходит ранга множества ее строк. Аналогичным образом доказывается, что ранг множества строк матрицы не превосходит ранга множества ее столбцов. Следовательно, эти ранги равны. Теорема доказана.

Ранг матрицы в терминах определителей.

Мы поможем в написании ваших работ!