Вычисление площадей в полярных координатах. Кардиоида.

а)Крив.Сектор

б)S=1/2

Вывести формулу площади круга радиуса R.

В декартовой системе координат:

Перейдем к рассмотрению полярных координат. Рассмотрим заштрихованную область как криволинейный сектор.

7) Полукубические параболы.Длина дуги плоской кривой.Вычисление пути пройденного точкой.

а)Полукубические параболы:

x	0	1	4
y	0	1	8

x	0	1	8
y	0	1	4

б)Длина дуги плоской кривой:

в)Вычисление пути пройденного точкой

Вывести формулу длинны окружности радиуса R

Объем тела вращения.Вывести формулу объема шара радиуса R.

1.Объем тела вращения

а)

б)

в)

2.Вывести формулу объема шара радиуса R

Определение дифференциального уравнения порядка n, общее, частное решения, интегральная кривая.

а)Определение:x, y(x) и её производные y`(x), y``(x)… производная порядка ny⁽ⁿ⁾(x) называется дифференциальным уравнением.

F(x,y,y`,…,y⁽ⁿ⁾)=0 – д/у порядка n

б)Общее решение:

Y=ʄ(x,c)- общее решение д/у.

в)Частное решение:

Y=ʄ(x,c₀) при помощи заданного начального условия.

y(x₀)=y₀- начальное условие

г)Интегральная кривая:

Это график, решения диф.уравн.

Задача: Составить уравнение кривой проходящей через точку A(2;5), если угловой коэффициент касательной, проведённый в любой точке кривой=2x.

K_AB=tgα=

Составить уравнение кривой y=y(x):

K=2x, y`=2x(д/у 1 порядка)

y=x²- решение д/у

y=x²+c- общее решение д/у

11)Геометрический и физический смысл задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Задача Коши - это нахождение частного решения.

Y=y(x)

а)Геометрический смысл:

Найти интегральную прямую (График решения на плоскости), проходящую через точку A с координатами x0 и y0 при помощи условий y(x0)=y0

б)Физический смысл: S(t)- закон прямолинейного движения точки. Найти S(t), если в момент времени t0 точка находилась на расстоянии S0 от начала отсчета. Начальное условие имеет вид S(t0)=S

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, общее решение.

y`=f(x) y`=f(x)*f₁(y)

y= =f(x)*f₁(y) |*dx

y=f(x)+c dy=f(x)*f₁(y)*dx

гдеF`(x)=F(x) =f(x)dx

13)Решение уравнений:

y`=f(x)

y=ʃf(x)dx

y=f(x)+c

Где f’(x)=f(x)

y`=ky

16) Дифференциальное уравнение второго порядка. Основные определения. Решение уравнения вида: Y’’=F(x). Примеры.

а)Дифференциальное уравнение второго порядка. Основные определения.

1.F (X;Y;Y’;Y’’)

2.Y’’=F⨜(X;Y;Y’)

3.Y=ϕ(X;C2;C1) –общее уравнение.

4. Частное решение-это решение получаемое из общего при конкретных значениях постоянных.Y= ϕ(X;C2;C1)

б)Решение уравнения вида: Y’’=F(x). Примеры.

1.Y’’=F(X)

2.Y’= ⨜F(X)dx

3.Y’=F(X)+C где F’(x)=f(X)

4.Y=⨜(F(X)+C)dx

5.Y=F1(X)+CX+C1 где F1’(X)=F(X)

Задача Коши для уравнения второго порядка. Ее физический смысл и геометрический смысл.

Задача Коши – задача нахождения частного решения Геометрического смысла.

а)Геометрический смысл

Найти интегральную кривую , проходящую через данную точку A(X₀,Y₀) в данном направлении , т.е. известен угловой коэффициент касательной, проведённой к Гf в данной точке (tgα): tgα=y’(x₀)

б)Физический смысл : Найти закон движения точки , если в момент времени t₀

точка находилась на расстоянии S₀ от начала отсчёта со скоростью V₀ .

18) Уравнения, допускающее понижение порядка Y’’ = F(X;Y’).

Y’’ = F(X;Y;Y’)

Y’’=F(X)

Y’’=F(X;Y’)

Z(X)=Y’(X)

Z=Y’

Z’=F(X;Z)) (с разд. перем. , линейные, однородные)

Z= ϕ(X;C)

Z= ϕ(X;C)=>Y=⨜ϕ(X;C)dx+C1

19)Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка, однородные с постоянными коэффициентами,D>0,D<0,D=0, пример.

а) p,q

Пусть

– характеристическое уравнение.

Для того чтобы функция является решением дифференциального уравнения необходимо и достаточно, чтобы число k являлось решением соответствующего характеристического уравнения.

D>0=> D=0=>

D<0=>

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 302; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!