СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ
Пусть A – это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A, если
Av = λv,
где число λ называется собственным значением матрицы A. Таким образом, преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v, сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу α ≠ 0, т.е. если v – собственный вектор, то и αv – тоже собственный вектор.
У матрицы A, размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению
det(A − λI) = 0,
являющемуся алгебраическим уравнением N-го порядка. В частности, для матрицы 2×2 характеристическое уравнение имеет вид
Набор собственных значений λ1,..., λN матрицы A называется спектром A.
Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности
det(A) = λ1×...×λN, Sp(A) = λ1+...+λN.
Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная (At = A), то ее собственные значения вещественны.
У матрицы A, размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора vn нужно решить систему однородных уравнений
(A − λnI)vn = 0.
Она имеет нетривиальное решение, поскольку det(A −λnI) = 0.
Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.
|
|
|
РАСЧЕТ ТОКОВ КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ НА ОСНОВЕ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Для электрической системы любой сложности выполняется закон Ома, записанный в матричной форме
U = IR или YU = I.
Для расчета токов КЗ в электрической системе удобнее пользоваться формулой через проводимости. В этом случае Y – это квадратная матрица собственных и взаимных проводимостей электрической сети, размерность которой зависит от общего количества узлов; U – это вектор-столбец напряжений в узлах сети; I – это вектор-столбец токов в ветвях схемы.
Вектор напряжений содержит известные составляющие Ei– напряжения источников питания (электростанций) и неизвестные составляющие Ui. Если узел соответствует точке КЗ, то напряжение в этом узле равно 0.
Вектор токов также можно разбить на составляющие токов от источников питания Iг (генераторов) и ток КЗ Iк – ток в поврежденном узле. В остальных узлах ток будет равен нулю, т.к. по первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи равна нулю.
Для задач большой размерности все три матрицы разбиваются на блоки, в которых условно выделяются генерирующие узлы, поврежденные узлы и промежуточные (остальные) узлы. В матричном виде это будет выглядеть следующим образом
|
|
|
В этой системе уравнений известна матрица проводимостей, т.к. это структурный параметр, и Е – напряжения источников. U и I – это режимные параметры. Представим полученное матричное выражение в виде 3 уравнений с 3 неизвестными:
Выразим из каждого уравнения неизвестные
Решив второе уравнение, определим напряжения в узлах сети. Подставив полученные значения U, определим генерирующие токи из первого уравнения и ток КЗ из третьего уравнения.
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 216; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!