Основные методы интегрирования(опред. интеграл)

Тема 1 Математический анализ

1 Функции одной независимой переменной

Нахождение производной называется дифференцированием функции.Производная функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении его к нулю. =

Чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную(число). Если функция дифференцируема в данной точке, то она не прерывна в этой точке.

Задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

2 Производная, её механический смысл

Производная используется для вычисления скорости и ускорения различный физических тел. Мгновенная скорость v (t) определена (только) для любой дифференцируемой функции x(t), при этом Производная от координаты по времени есть скорость.
Мгновенная скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и 0. Если скорость на каком-либо промежутке времени (t1; t2) положительна, то точка движется в положительном направлении, т. е. координата растет с течением времени, а если v (t) отрицательна, то координата х (t) убывает.
Коротко говорят: производная от скорости по времени есть ускорение.

3 Правила дифференцирования. Формулы производных

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) (uv)' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v^2;

5) если y = f(u),

u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функцийj и f, то , или ;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем ≠ 0, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^)' =  u^1 u' ( принадлежит R¹)

2. (a^u)' = a^u lna u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_au)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u u'.

7. (cos u)' = - sin u u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u u'.

9.(ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

4 Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть мы нашли для функции y = f(x) ее производную y ^'= f ^'(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается . Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка - , производная четвертого порядка - и вообще производная n-го порядка - .

Частная производная функции u=f(x,y) это предел отношения частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой при условии, что последнее приращение стремится к нулю = x; = у;

5 Геометрический смысл производной

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t₀.

6 Приложения производной и дифференциала функции

Формула Тейлора.

Приближение функции в окрестности точки многочленом может быть удобно в работе с этой функцией.

, где остаточный член , например, в форме Лагранжа, имеет вид , где (вообще говоря, зависит от и ).

Справедливы следующие формулы Маклорена (формулы Тейлора при ) для некоторых элементарных функций:

7 Исследование функции с помощью производной

Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если для любых имеет место:

Теорема 1. Пусть имеет производную в каждой точке из . Тогда возрастает (убывает) на в том и только в том случае, когда для любого .

Определение 2. Точка называется точкой максимума , если существует окрестность такая, что определена в этой окрестности и для любого

Определение 3. Точка называется критической точкой функции , если не определена в этой точке или .

Теорема 2. 1) если – точка экстремума функции , то она является критической точкой этой функции;

2) если – критическая точка функции , причем для , a для в некоторой окрестности , то – точка минимума;

3) если – критическая точка функции , причем для >0, а для <0 в некоторой окрестности , то – точка максимума.

8 Функции нескольких переменных. Частные производные различных порядков

Область определения

Область определения функции нескольких переменных – некоторая область в плоскости XOY.

График функции двух переменных

Графиком функции двух переменных в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве является поверхность, проектирующаяся на плоскость XOY в область определения функции.

Непрерывность функции двух переменных

Функция непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Если в некоторой точке не выполняется условие непрерывности функции, то эта точка -точка разрыва функции.

Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов x_i(iизменяется от 1 до n, i = 1, 2,… n), f(x1, x2,… x_n), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, x_i. Частная производная 1-ого порядка по x_iопределяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме x_i, сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения

f_xn, или

9 Определение и свойства неопределённого интеграла

Функция называется первообразной функции , если выполняется равенство . Функция, производная которой на некотором промежутке F(х)=0 постоянна на этом промежутке. Если - одна из первообразных функции , то любая другая первообразная имеет вид .