Установление минимального количества

ЗАДАНИЕ

НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ И СРЕДСТВА РЕГИСТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО

ОБОРУДОВАНИЯ ГАЗОНЕФТЕПРОВОДОВ»

В контрольной работе необходимо проанализировать числовой ряд замеров перепада давления на гидродинамическом уплотнении (порядка 40 измерений) с целью нахождения грубых ошибок и исключить их. Точность прибора измерения составляет 5%. Вычислить среднеарифметическое , погрешности отдельных измерений , и среднеквадратичное очищенного ряда . Найти среднеквадратичное серии измерений, коэффициент вариации . При заданной доверительной вероятности 0,99 найти гарантийный коэффициент t. Определить доверительный интервал и установить действительное значение исследуемой величины . Оценить относительную погрешность серии измерений и границы доверительного интервала. Определить минимально необходимое количество измерений.

Вариант задания на контрольную работу выбирается по номеру фамилии студента в журнале группы из таблицы, приведенной в приложении А, где для первой серии измерений (40 измерений) необходимо принять количество выполненных измерений равным 39, начиная с номера измерения, указанного напротив номера варианта без учета предыдущего номера измерений.

Методические материалы, которые могут оказаться полезными студентам при выполнении контрольной работы, приведены в разделе 1, приложении Б и в списке рекомендованной литературы.

1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА

РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЙ

Общая погрешность измерений в основном определяется случайной погрешностью, учет которой очень важен. Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок. В основе теории случайных ошибок лежит предположение о том, что при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто. Большие погрешности встречаются реже, чем малые, или вероятность появления погрешности уменьшается с ростом её величины. При бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений, а появление того или иного результата как случайного события описывается нормальным законом распределения.

Различают генеральную и выборочную совокупность измерений. Совокупность всех возможных значений случайной величины в рассматриваемых условиях представляет собой генеральную совокупность. Некоторая часть этих экспериментов, которая имеет место в действительных условиях, является выборочной или выборкой. Число экспериментов, составляющих выборку, представляет её объем. Обычно считают, если число измерений n > 30, то среднее значение данной совокупности х приближается к его истинному значению.

Теория случайных ошибок позволяет решить две основные задачи: оценить точность и надежность измерения при данном количестве замеров; определить минимальное количество замеров, гарантирующее требуемую точность и надежность измерения. Наряду с этим возникает часто необходимость исключить грубые ошибки, определить достоверность полученных данных и др.

Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности. Для большой выборки и нормального закона распределения характеристикой измерения являются дисперсия Д или коэффициент вариации

, (1)

Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем она выше, тем больше разброс. Коэффициент вариации характеризует изменчивость. Чем выше kв, тем больше изменчивость измерений относительно средних значений. Коэффициент вариации оценивает также разброс при оценке нескольких выборок.

Доверительным называется интервал значений хi, в который попадает истинное значение хд измеряемой величины с заданной вероятностью. Доверительной вероятностью измерения называют вероятность Рд того, что значение хд измеряемой величины попадет в данный доверительный интервал. Эта величина определяется в долях единицы или в процентах.

Пусть необходимо установить вероятность того, что хд попадет в диапазон, а ≤ хд ≤ b. Доверительная вероятность Рд описывается выражением

где Ф(t) – функция Лапласса, аргументом которой является

, (2)

здесь

t – гарантийный коэффициент.

Функция Лапласса Ф(t) является интегральной, ее численные значения Ф(t) табулированы и изменяются (при t от 0 до t = 4,0) соответственно в пределах Ф(t) = 0 до Ф(t) = 0,9999.

Возможна и иная задача. На основе установленной доверительной вероятности (очень часто ее принимают равной 0,9 - 0,95) необходимо установить точность измерений, т.е. доверительный интервал .

Поскольку , то по таблице обратным интерполированием можно определить половину доверительного интервала

, (3)

где t = arg Ф(Р_д) – аргумент функции Лапласса или при малом числе измерений (n < 10) аргумент функции Стьюдента, которая также табулирована в зависимости от числа измерений n и вероятности Р_д.

Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность – достоверность измерения.

Установление минимального количества

Измерений

Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерений) N_min при заданных значениях доверительного интервала и доверительной вероятности Р_д. При выполнении измерений необходимо знать их точность Δ, которую обычно характеризуют с помощью среднего значения среднеквадратичного отклонения

, (4)

где .

Значение также называют средней ошибкой. Доверительный интервал ошибки измерения Δ определяется аналогично тому, как и для измерений . Зная t, по таблице легко определить доверительную вероятность ошибки измерения.

Часто возникает необходимость в определении минимального количества измерений по заданной точности и доверительной вероятности. В этом случае аналогично выражению (3) и с учетом условия (4) запишем

. (5)

Отсюда, полагая N_min = n, имеем

, (6)

где k_в – коэффициент вариации, %;

Δ – точность измерения, %.

Параметр N_min вычисляется в следующей последовательности:

– проводят предварительный эксперимент с количеством измерений n, которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50;

– вычисляют среднеквадратичное отклонение ;

– в соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливают требуемую точность измерений , которая должна быть не менее точности прибора;

– устанавливают нормированное отклонение t, которое также задают в зависимости от точности измерений, например, при большей точности t = 3,0, при малой – t = 2,0;

– из выражений (5) и (6) определяют N_m_i_n. В дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше N_min.

Оценки измерений с помощью и по приведенным методам справедливы при n >30. Для нахождения границ доверительного интервала при малых выборках применяют метод, предложенный английским математиком В.С. Госсетом (псевдоним Стьюдент). Кривые распределения Стьюдента в случае (практически при n >20) переходят в кривые нормального распределения.

Для малой выборки доверительный интервал

, (7)

где – коэффициент Стьюдента, принимаемый по таблице в зависимости от значения доверительной вероятности .

Зная , можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки:

. (8)

Возможна иная постановка задачи. Пусть известны n известных измерений малой выборки. Необходимо определить доверительную вероятность Р_д при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы . Задачу решают в такой последовательности.

Вначале вычисляют , а затем, с помощью величины , известного n и таблицы определяют доверительную вероятность.

Исключение грубых ошибок

Появление этих ошибок ощутимо влияет на результат измерений. При анализе эксперимента необходимо, прежде всего, исключить грубые ошибки. Однако, до того как исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка.

Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда. Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измерения является правило трех сигм, поскольку разброс случайных величин от среднего значения не превышает

. (9)

Более достоверными являются методы, базирующиеся на использовании доверительного интервала. Пусть имеется статистический ряд малой выборки, подчиняющийся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления вычисляют по формулам

, (10)

где – наибольшее и наименьшее значения из n измерений.

Установленные критерии сопоставляют с максимальным значением , приведенным в таблице в зависимости от доверительной вероятности и числа измерений. После исключения грубых ошибок определяют новые значения и .

Методика выявления грубых ошибок с использованием критерия В.И. Романовского сводится к следующему. Задаются доверительной вероятностью Р_д, и по таблице в зависимости от n находится коэффициент q. Вычисляют предельно допустимую абсолютную ошибку отдельного измерения

. (11)

Если , измерение x_max исключают из ряда наблюдений.

Для приближенной оценки также можно применять такую методику:

– вычислить по (1) среднеквадратичное отклонение ;

– определить с помощью (4) среднюю ошибку ;

– принять доверительную вероятность и найти доверительный интервал из формулы (7);

– окончательно установить действительное значение измеряемой величины по формуле (8).

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Таблица 1

Варианты заданий на контрольную работу по разделу

«Статистическая обработка результатов измерений»

Вариант	№№ измер.	Xi, мм	Вариант	№№ измер.	Xi, мм
1	2	3	4	5	6
1	1	4,25	41	41	8,15
2	2	4,45	42	42	8,06
3	3	4,20	43	43	8,65
4	4	4,75	44	44	8,25
5	5	4,40	45	45	8,5
6	6	4,30	46	46	8,35
7	7	4,30	47	47	8,5
8	8	4,40	48	48	8,5
9	9	4,40	49	49	8,45
10	10	4,35	50	50	8,85
11	11	4,25	51	51	8,2
12	12	4,20	52	52	8,06
13	13	4,20	53	53	8,39
14	14	3,94	54	54	8,05
15	15	4,35	55	55	8,04
16	16	4,30	56	56	8
17	17	4,32	57	57	8,3
18	18	4,27	58	58	8,25
19	19	4,35	59	59	8,29
20	20	4,56	60	60	8,13
21	21	4,40	61	61	8,1
22	22	4,45	62	62	8,35
23	23	4,39	63	63	8,24
24	24	4,45	64	64	8,3
25	25	4,47	65	65	8,07

Окончание таблицы 1

1	2	3	4	5	6
26	26	4,16	66	66	8,15
27	27	4,19	67	67	7,94
28	28	4,20	68	68	7,96
29	29	4,29	69	69	8,02
30	30	4,17	70	70	8,01
31	31	4,22	71	71	8,01
32	32	4,21	72	72	7,85
33	33	4,19	73	73	7,99
34	34	4,29	74	74	7,92
35	35	4,30	75	75	7,94
36	36	4,29	76	76	7,83
37	37	4,25	77	77	8,15
38	38	4,17	78	78	8,15
39	39	4,26	79	79	8,15
40	40	4,16	80	80	8,1

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Величина гарантийного коэффициента t в зависимости

от значения доверительной вероятости Р_Д

t	Р_Д	t	Р_Д	t	Р_Д
0,00	0,0000	0,75	0,5467	1,50	0,8664
0,05	0,0399	0,80	0,5763	1,55	0,8789
0,10	0,0797	0,85	0,6047	1,60	0,8904
0,15	0,1192	0,90	0,6319	1,65	0,9011
0,20	0,1585	0,95	0,6579	1,70	0,9109
0,25	0,1974	1,00	0,6827	1,75	0,9199
0,30	0,2357	1,05	0,7063	1,80	0,9281
0,35	0,2737	1,10	0,7287	1,85	0,9357
0,40	0,3108	1,15	0,7419	1,90	0,9426
0,45	0,3473	1,20	0,7699	1,95	0,9488
0,50	0,3829	1,25	0,7887	2,00	0,9545
0,55	0,4177	1,30	0,8064	2,25	0,9756
0,60	0,4515	1,35	0,8230	2,50	0,9876
0,65	0,4843	1,40	0,8385	3,00	0,9973
0,70	0,5161	1,45	0,8529	4,00	0,9999

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Основы научных исследований: учебник для техн. вузов / В.И. Крутов, И.М. Грушко, В.В. Попов и др.; под ред. В.И. Крутова, В.В. Попова. - М.: Высш. шк., 1989. - 400 с.

2. Сабитов Р.А. Основы научных исследований: учеб. пособие. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. - 138 с.

3. Климушев Н.К., Прудникова О.М. Основы научных исследований: учеб. пособие. - Ухта: УГТУ, 2002. - 76 с.

4. Кузнецов И.Н. Научное исследование: Методика проведения и оформление. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИТК «Дашков и К°», 2006. - 460 с.

5. Яшина Л.А. Основы научных исследований: учеб. пособие. Сыктывкар: Изд-во СыктГУ, 2007. - 71 с.

6. Бабиюк Г.В. Основы научных исследований: курс лекций. - Алчевск: ДонГТУ, 2007. - 247 с.

7. Шкляр М.Ф. Основы научных исследований: учеб. пособие. - М.: ИТК «Дашков и К°», 2008. - 244 с.

8. Ванин В.А. Научные исследования в технологии машиностроения: учеб. пособие / В.А. Ванин, В.Г. Однолько, С.И. Пестрецов и др. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2009. - 232 с.

9. Василенко П.М. Основы научных исследований / П.М. Василенко, Л.В. Погорелый. - Киев: Вища школа, 1985. - 266 с.

10. Кане М.М. Основы научных исследований в технологии машиностроения: учеб. пособие для вузов / М.М. Кане. - Минск: Высш. школа, 1987. - 231 с.

11. Зайдель А.М. Ошибки измерений физических величин / А.М. Зайдель. - Л.: Наука, 1974. - 108 с.

12. Савчук В.П. Обработка результатов измерений. Физическая лаборатория: учеб. пособие для студентов вузов / В.П. Савчук. - Одесса: ОНПУ, 2002. - Ч.1. - 54 с.

13. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул / Е.Н. Львовский. - М.: Высш школа, 1982. - 224 с.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 608; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!