П.1 Классическое и статистическое определения
Вероятности.
Теория вероятностей изучает количественные закономерности, которым подчиняются совокупности большого числа объектов. Вероятностный и статистический метод в науке позволяет более глубоко анализировать массовые явления с учетом случайностей и все чаще применяется в различных отраслях науки.
Первичным (неопределяемым) понятием в теории вероятностей является понятие события. Под событием понимается всякое явление, о котором имеет смысл говорить, что оно происходит (имеет место) или не происходит. Событиями являются и результаты различных опытов, наблюдений и измерений. Например:
1) из ящика с разноцветными шарами наугад вытаскивают черный шар;
2) на один из приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш;
3) при бросании игральной кости выпала цифра 7.
События делятся на достоверные, случайные и невозможные.
Опр. 5.1.1 Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в данном испытании. Событие называется случайным, если оно может произойти, но может и не произойти в данном испытании. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном испытании.
Наступление каждого события зависит от многих факторов, заранее учесть которые обычно невозможно. Однако в случае совокупности однородных (массовых) событий можно обнаружить закономерности, позволяющие предсказать, насколько достоверно наступление того или иного события, т.е. насколько это событие вероятно.
|
|
Понятие вероятности вводится для того, чтобы выражать на языке чисел степень возможности наступления тех или иных событий.
За единицу принимают вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события считают равной нулю. Тогда вероятность Р любого события А удовлетворяет неравенству:
0£Р(А)£1.
Опр. 5.1.2 События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого (всех остальных).
Пример 5.1.1. Опыт состоит в подбрасывании монеты, событие А – выпадение орла, событие В – выпадение решки. Эти события несовместны.
Этот же пример иллюстрирует события, называемые равновозможными, – ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Опр. 5.1.3 События А, В, С, …, К называются единственно возможными, если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит. Говорят, что единственно возможные события образуют полную группу событий.
Рассмотрим классический метод определения вероятности некоторого случайного события. Пусть в результате некоторого опыта могут наступить события А1, А2, А3, …, Аn (элементарные исходы опыта), которые являются: 1) единственно возможными, т.е. в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит; 2) несовместными, т.е. появление одного из них исключает появление всех остальных; 3) равновозможными, т.е. не существует никаких причин, в связи с которыми одно из событий появлялось бы чаще, чем остальные.
|
|
Пусть при появлении некоторых из этих событий наступает событие А. Обозначим число таких событий k (k£n). А при появлении остальных (n-k) событий событие А не наступает. Говорят, что k событий (элементарных исходов), при которых появляется событие А, благоприятствуют событию А, а остальные (n-k) событий не благоприятствуют ему.
Опр. 5.1.4 (классическое определение вероятности). Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n, если они равновозможны, несовместны и единственно возможны. Обозначают:
Р(А)= (1)
(от латинского слова probabilitas – вероятность).
Пример 5.1.2. Набирая номер телефона, вы забыли последнюю цифру и набрали ее наугад. Какова вероятность того, что набрана нужная цифра?
Решение: Ясно, что число всех элементарных исходов n=10. Все они равновозможны, несовместны и единственно возможны. Поэтому можно применить классическое определение вероятности. Число благоприятствующих исходов k=1. Поэтому Р(А)= . ¨
|
|
Пример 5.1.3 Из слова “математика” выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква «м»?
Решение: Пусть событие А – состоит в случайном выборе из данного слова буквы «м», тогда, т.к. n=10 и k=2, то Р(А)= ¨
В случае, когда условия опр.5.1.4 не выполняются или когда множество рассматриваемых элементарных событий не является конечным, классическое определение вероятности не применимо. Так в ряде задач условие равновозможности не выполняется или установить эту равновозможность бывает затруднительно. Тогда пользуются статистическим определением вероятности, которое связано с понятием относительной частоты появления события.
Опр. 5.1.5 Частотой события А в данной серии испытаний называется отношение числа К испытаний, в которых это событие появилось, к общему числу N фактически проведенных испытаний:
(2)
Заметим, что вероятность по опр.5.1.4 вычисляют до опыта, а частоту после опыта. При небольшом числе испытаний частота событий во многом случайна, но при его увеличении ее значение приближается к некоторому постоянному числу (это многократно проверялось на опыте). Т.к. вероятность события объективно характеризует степень его возможности, то при достаточно большом числе испытаний частота практически равна вероятности. Т.о. частоту события А называют статистической вероятностью этого события.
|
|
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 140; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!