Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование
Деформации точек балки обусловливаются искривлением ее изогнутой оси, т.е. зависят от ее кривизны. Из теории изгиба известна зависимость кривизны балки от изгибающего момента и жесткости сечения
С другой стороны из курса высшей математики кривизна плоской кривой может быть представлена через её координаты следующим образом:
Приравнивая правые части выражений (2.5) и (2.6), получим точное дифференциальное уравнение упругой линии балки (ДУУЛБ)
Полученное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка вызывает большие трудности при решении. Поэтому его упрощают, учитывая, что в реальных конструкциях углы поворота не превышают 10. Тогда знаменатель правой части выражения (2.7) будет мало отличаться от единицы, т.е.
В итоге получают следующее приближенное ДУУЛБ, которое будет называться в дальнейшем основным дифференциальным уравнением упругой линии балки
Данное уравнение справедливо для малых деформаций и правой системы координат.
Полученное уравнение (2.8) решается путем последовательного двойного интегрирования.
В этом решении произвольные постоянные интегрирования С и D представляют собой (по геометрическому смыслу) соответственно угол поворота и прогиб в начале координат
Произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных или начальных условий построения расчетной схемы балки. Рассмотрим основные разновидности граничных условий.
|
|
Для простой балки (рисунок 2.4) граничные условия определяются из схемы закрепления на шарнирных опорах, где прогибы отсутствуют, т.е.
Для защемленной балки (рисунок 2.5) нулевыми являются прогиб и угол поворота в заделке, т.е.
Для двухконсольной балки (рисунок 2.6) прогибы в шарнирных опорах также отсутствуют, т.е.
Рассмотренный выше метод расчета перемещений при изгибе называется методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки (МНИ ДУУЛБ).
Для его применения необходимо выполнить следующее:
- выбрать систему координат (в крайнем сечении балки);
- для каждого силового участка балки составить общее уравнение моментов и подставить его в основное ДУУЛБ;
- решить ДУУЛБ путем двойного интегрирования и определить произвольные постоянные интегрирования из граничных условий;
- в полученное УУЛБ подставить абсциссы искомых точек и определить искомые прогибы;
- аналогично найти угловые перемещения, используя уравнение углов поворота.
Метод непосредственного интегрирования ДУУЛБ является достаточно простым и наглядным способом нахождения перемещений в балках. Однако он обладает существенным недостатком, заключающимся в том, что для расчета балок с большим количеством силовых участков необходимо определить значительное количество произвольных постоянных интегрирования. Так, например, для балки, имеющей n – участков, необходимо определить 2n – произвольных постоянных. Поэтому данный метод целесообразно использовать только для балок, имеющих один или два участка. Указанный недостаток можно исключить путем применения более совершенного приема составления и решения ДУУЛБ.
|
|
Дата добавления: 2018-06-01; просмотров: 1014; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!