Гармонические функции. Восстановление аналитической функции.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

Пусть на области плоскости задана аналитическая функция . Тогда, как это уже было отмечено в § 6.2, функция имеет на непрерывные производные любого порядка. Но тогда функции и имеют на непрерывные частные производные любого порядка, а первые производные удовлетворяют условиям Коши – Римана.

Определение 1. Функция Называется гармонической в области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и в этой области лапласиан Определение 2. Две гармонические функции , , удовлетворяющие условию (3.2), называются сопряженно - гармоническими функциями. Теорема. Для того, чтобы функции , были соответственно действительной и мнимой частями аналитической функции , необходимо и достаточно, чтобы они были сопряженно-гармоническими функциями. Пользуясь условиями Коши-Римана, аналитическую функцию можно восстановить, если известна ее действительная Или мнимая часть .

Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Пусть функция = f(z) аналитична в некоторой области D ⊂ и отображает область D плоскости z в область G плоскости . Представим её производную в произвольно заданной точке z₀ ∈ D в показательной форме:

f′(z₀) =

= ke^iα.

(4.7)

Тогда отображение, осуществляемое функцией f(z), переводит бесконечно малую окрестность точки z₀ ∈ D в подобную окрестность точки ₀ = f(z₀) ∈ G, поворачивая её на угол α и растягивая в k раз.

Убедимся в этом. Из (4.7) следует

Δ = Δz · k ·e^iα + (Δz), при Δz → 0. Рассмотрим главное слагаемое: Δz · ke^iα. Поскольку при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются,

|Δ

| ≈ k |Δz|, arg |Δ

| ≈ arg |Δz| + α.

(4.8)

Таким образом, функция f(z) растягивает в k раз окрестность точки z₀ и поворачивает её на угол α.

Дробно-линейное отображение. Круговое свойство, ангармоническое отношение, отображение окружности на окружность.

Дробно-линейная функция Обратно, z можно выразить через W: Таким образом, соответсвуют формулы (1) является взаимно однозначным точка будет соответствоватьW=∞, а точка - точкаz=∞. Функция (1) сохраняет углы во всех точках расширенной плоскости

Теор: Образом прямой или окружности при отображении является прямая или окружность.

Дробно-линейное отображение Зависит от трех параметров, за которые могут принять, например, отношение чисел a, b, c, dк одному из них. Эти параметры однозначно определяется из требований, чтобы три заданных точки z₁ , z₂ , z₃ плоскости переходит в заданные точкиW₁ , W₂ , W₃ плоскости : Чтобы исключитьa, b, c, d из этих уравнений и из уравнения образуем разности:

Отсюда получим Разрешаем (2) относительно W, получим искомое дробно-линейное отображение. Оно переводит точки z₁ ,z₂ , z₃и окрестность соответственно в три точкиW₁ , W₂ , W₃и проходят через них окрестность Тройки точекz₁ , z₂ , z₃и W₁ , W₂ , W₃ определяют направление обхода на и соответственно, причем области остающиеся при этих обходах слева (справа) соответствуют друг-другу при отображении (2). Это является непосредственным следствием конформности дробно-линейного отображения.

Отсюда принимаем во внимание, что при отображении (1) в случае действительных a, b, c, d Действительная ось ImZ=0 переходит в действительную ось ImW=0 и при ImZ=0 знак совпадает со знаком ad-bc. Получим следующие утверждения

Теор1: При невырожденном дробно-линейном отображении (1) с действительными коэффицентами верхняя полуплоскость ImZ>0 переходит в верхнюю полуплоскость ImW>0, если ad-bc>0 и нижнюю, если ad-bc<0

Опр:Выражение называется двойным. Равенство (2) означает инвариантность ангармонического отношения четырех точек при невырожденном дробно-линейном отображением

Теор2: (свойство сохранения симметрии) Если точки z₁ ,z₂симметричны относительно некоторой прямой или окружности при дробно-линейном отображении их образы будут симметричны относительно образовγ:

Интегральная теорема Коши.

Теорема. Пусть функция f(z) дифференцируема в односвязной области D и её производная непрерывна в D. Тогда интеграл от f(z) по любой замкнутой кривой γ, лежащей в области D, равен нулю:

∫γf(z)dz=0.

Доказательство.Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y), то по формуле

∫γf(z)dz=∫γudx−vdy+i∫γvdx+udy

имеем

∫γf(z)dz=J1+iJ2,

где

J1=∫γudx−vdy, J2=∫γvdx+udy.

Так как функция f(z) имеет непрерывную производную в области D, то частные производные первого порядка функции u,v непрерывны в области D и выполняется условия Коши-Римана

∂u∂x=∂v∂y, ∂v∂x=−∂u∂y

В силу применимости формулы Грина следует, что J1=J2=0. Таким образом

∫γf(z)dz=J1+iJ2=0

Интегральная формула Коши.

Пусть функция f(z) дифференцируема в односвзяной области D и пусть простая замкнутая кривая γлежит в D и ориентирована положительно. Тогда для любой точки z, лежащей внутри γ, справедлива формула

f(z)=12πi∫γf(ζ)ζ−zdζ это формула называется интегральной формулой Коши.

Доказательство. Функция f(ζ)/(ζ−z) дифференцируема в области D с выколотой точкой z. Выберем ρтак, чтобы круг |ζ−z|<ρ вместе с его границей Cρ:|ζ−z|=ρ лежал внутри γ. Тогда используя следствие из интегральной теоремы Коши, получаем

J=12πi∫γf(ζ)ζ−zdζ=12πi∫Cρf(ζ)ζ−zdζ

=12πi∫Cρf(ζ)−f(z)+f(z)ζ−zdζ=J1+f(z)12πi∫Cρdζζ−z

где J1=12πi∫Cρf(ζ)−f(z)ζ−zdζ.

Так как 12πi∫Cρdζζ−z=1, то

J=12πi∫Cρf(ζ)−f(z)ζ−zdζ+f(z)

и поэтому для доказательства достаточно установить, что J1=0.

В силу непррывности функции f(ζ) в точке z для любого ε>0 найдется такое δ=δ(ε)>0, что неравенство |f(ζ)−f(z1)|<ε выполняется при |ζ−z|<δ. Следовательно

|J1|⩽12π∫Cρ|f(ζ)−f(z)||ζ−z||dζ|<12περ∫Cρ|dζ|=ε,

если ρ⩽δ. Учитывая, что J1 не зависит от ρ, получаем J1=0, т.е. J=f(z). Формула доказана.

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 913; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!