Определение вибровозмущающих сил

Распределение сил по элементам определенной в п. 1 системы, вызываю-щих вибрацию в ней, определяется электродинамическим взаимодействием токов (1.3), протекающих по указанным элементам [2].

Рассмотрим два элемента с токами  и , протекающими в сис-теме по проводникам с различными номерами  и   через сечения  и , проведенные через точки  и  соответственных проводников. В соответствии с ранее определенной параметризацией, пола-гаем, что указанные точки располагаются на соответственных осях указанных проводников и рассматриваются в координатных осях, связанных с этими проводниками так, что  [1]. В силу принятого допущения о равно-мерном распределении токов по сечениям проводников в рассматриваемой системе, электродинамическое воздействие элемента тока  на элемент  в каждый момент времени описывается силой , действующей в этот момент на элемент объема , находящийся вблизи точки  про-водника с номером , со стороны элемента объема  проводника с номе-ром , располагающимся вблизи точки  указанного проводника [3]:

                               (2.1)

где мгновенные значения токов и длины измеряются в А и м, соответственно; сила  приложена в точке  и измеряется в Н.

Результирующее воздействие проводника с номером  на проводник с номером  в точке  в рассматриваемый момент времени должно тогда определяться силой , точкой приложения которой является точка , а на-правление и величина находятся в результате векторного сложения всех уси-лий (2.1), образующихся от непрерывного перемещения вдоль проводника с номером . Поэтому в системе координат, связанной с внешним наблюдателем получаем

                    .       (2.2)

Коллективное воздействие в каждый момент времени всех проводников с номерами  на элемент объема , находящийся вблизи точки  проводника с номером , следует рассматривать как результат наложения друг на друга отдельных воздействий проводников с номерами :

                                        .                                         (2.3)

Преобразуем выражение (2.2). Воспользовавшись формальным определением векторного произведения двух векторов  и  

                                        ,                             

а также (1.1), получаем:

т.е.

,

а это означает, что

,

где

                         (2.4)

Так как

где

                                   ,                          (2.5)

то из (2.2) получаем:

Поэтому

                               (2.6)

где

                    (2.7)

и

                (2.8)

а вектор  находится из (2.4).

Направление действия силы  определяется направлением вектора . Нетрудно видеть, что этот вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси проводника с номером . Действительно, согласно (2.7) направление вектора  определяется направлением векторов  и . Но, в силу (2.4) и (2.7), эти векторы перпендикулярны вектору , что и доказывает высказанное утверждение.

Используя формулу для двойного векторного произведения [4]

,

получим для координатных составляющих  вектора  в системе координат, связанной с внешним наблюдателем, выражение

                                      .                              (2.9)

в котором использовано правило суммирования Эйнштейна, а  и  - направляющие косинусы векторов  и .

Применяя формулу для двойного векторного произведения к постоянной , находим, что

,

т. е. координатные составляющие этого вектора в системе координат, связанной с внешним наблюдателем, равны

                                                  (2.10)

где  - соответствующие координаты вектора .

2.2 Вычисление интеграла

Интеграл в правой части (2.8) сводится к табличным [5]. Пусть

,

тогда имеем

Поэтому

где

                        

Условия  и  одновременно выполняться не могут в силу того, что первое из них может иметь место только в двух случаях:

a) когда проводники с номерами  и  параллельны;

b) когда рассматривается начальная точка проводника с номером ;

второму же условию соответствует полное совпадение в координатных осях внешнего наблюдателя начальных точек проводников с номерами  и . Поэтому всегда .

Воспользовавшись[5], получаем при

,

где . Поэтому

Отсюда

Нетрудно видеть, что подкоренные выражения в знаменателях последней формулы ни при каких реально допустимых значениях параметров и переменной  не обращаются в нуль. Действительно, например,  только в том случае, когда  равно нулю. Но это выражение всегда отрицательно.

Таким образом, рассматриваемый интеграл определяется выражением

                                       (2.11)

Используя (2.11), находим формулу для определения сил  в виде:

                    .          (2.13)

Из (2.13) и (2.7) следует, что направления сил  определяются

---

Дата добавления: 2018-05-30; просмотров: 169; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!