Определение вибровозмущающих сил
Распределение сил по элементам определенной в п. 1 системы, вызываю-щих вибрацию в ней, определяется электродинамическим взаимодействием токов (1.3), протекающих по указанным элементам [2].
Рассмотрим два элемента с токами 
и 
, протекающими в сис-теме по проводникам с различными номерами 
и 
через сечения 
и 
, проведенные через точки 
и 
соответственных проводников. В соответствии с ранее определенной параметризацией, пола-гаем, что указанные точки располагаются на соответственных осях указанных проводников и рассматриваются в координатных осях, связанных с этими проводниками так, что 
[1]. В силу принятого допущения о равно-мерном распределении токов по сечениям проводников в рассматриваемой системе, электродинамическое воздействие элемента тока на элемент в каждый момент времени описывается силой 
, действующей в этот момент на элемент объема 
, находящийся вблизи точки про-водника с номером , со стороны элемента объема 
проводника с номе-ром 
, располагающимся вблизи точки 
указанного проводника [3]:
(2.1)
где мгновенные значения токов и длины измеряются в А и м, соответственно; сила приложена в точке и измеряется в Н.
Результирующее воздействие проводника с номером на проводник с номером в точке в рассматриваемый момент времени должно тогда определяться силой 
, точкой приложения которой является точка 
, а на-правление и величина находятся в результате векторного сложения всех уси-лий (2.1), образующихся от непрерывного перемещения вдоль проводника с номером . Поэтому в системе координат, связанной с внешним наблюдателем получаем
|
|
|
. (2.2)
Коллективное воздействие в каждый момент времени всех проводников с номерами 
на элемент объема , находящийся вблизи точки проводника с номером , следует рассматривать как результат наложения друг на друга отдельных воздействий проводников с номерами 
:
. (2.3)
Преобразуем выражение (2.2). Воспользовавшись формальным определением векторного произведения двух векторов 
и 
,
а также (1.1), получаем:
т.е.
,
а это означает, что
,
где
(2.4)
Так как
где
, (2.5)
то из (2.2) получаем:
Поэтому
(2.6)
где
(2.7)
и
(2.8)
а вектор 
находится из (2.4).
Направление действия силы определяется направлением вектора 
. Нетрудно видеть, что этот вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси проводника с номером . Действительно, согласно (2.7) направление вектора определяется направлением векторов 
и . Но, в силу (2.4) и (2.7), эти векторы перпендикулярны вектору 
, что и доказывает высказанное утверждение.
|
|
|
Используя формулу для двойного векторного произведения [4]
,
получим для координатных составляющих 
вектора 
в системе координат, связанной с внешним наблюдателем, выражение
. (2.9)
в котором использовано правило суммирования Эйнштейна, а 
и 
- направляющие косинусы векторов 
и .
Применяя формулу для двойного векторного произведения к постоянной 
, находим, что
,
т. е. координатные составляющие этого вектора в системе координат, связанной с внешним наблюдателем, равны
(2.10)
где 
- соответствующие координаты вектора 
.
2.2 Вычисление интеграла 
Интеграл в правой части (2.8) сводится к табличным [5]. Пусть
,
тогда имеем
Поэтому
где
Условия 
и 
одновременно выполняться не могут в силу того, что первое из них может иметь место только в двух случаях:
|
|
|
a) когда проводники с номерами 
и параллельны;
b) когда рассматривается начальная точка проводника с номером ;
второму же условию соответствует полное совпадение в координатных осях внешнего наблюдателя начальных точек проводников с номерами и . Поэтому всегда 
.
Воспользовавшись[5], получаем при
,
где 
. Поэтому
Отсюда
Нетрудно видеть, что подкоренные выражения в знаменателях последней формулы ни при каких реально допустимых значениях параметров и переменной не обращаются в нуль. Действительно, например, 
только в том случае, когда 
равно нулю. Но это выражение всегда отрицательно.
Таким образом, рассматриваемый интеграл определяется выражением
(2.11)
Используя (2.11), находим формулу для определения сил в виде:
. (2.13)
Из (2.13) и (2.7) следует, что направления сил определяются
Дата добавления: 2018-05-30; просмотров: 166; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!