Исследование нелинейных цепей
С реактивными элементами
В общем случае при анализе цепей, содержащих реактивные, а также нелинейные резистивные элементы, составляется система интегро- дифференциальных уравнений, в которых нелинейные элементы представлены своими аппроксимирующими функциями. Решение такой системы – задача непростая.
Для несложных цепей, но используемых на практике, анализ можно упростить как за счет выбора простой аппроксимирующей функции нелинейного элемента, так и за счет раздельного описания процессов в цепи на отдельных временных интервалах периода задающего воздействия, соответствующих разным участкам ВАХ нелинейного элемента.
В качестве иллюстрации сказанному исследуем электрическую цепь рис. 2.7,а, представляющую собой однополупериодный выпрямитель, состоящий из трансформатора Тр, нелинейного элемента (выпрямительного диода V,) резистора (как эквивалента нагрузки) и конденсатора фильтра . На первичную обмотку трансформатора подается переменное напряжение
,
а с вторичной обмотки Тр снимается напряжение
,
где амплитудное значение может быть больше или меньше в зависимости от вида трансформатора – он может быть повышающим (вторичная обмотка содержит большее число витков, чем первичная) или понижающим.
Рис. 2.7. Однофазные выпрямители с активно-емкостной
нагрузкой: а – однополупериодный; в – двухполупериодный
|
|
Полагаем, что трансформатор не имеет потерь – это позволяет считать идеальным источником напряжения. Второе допущение: будем считать, что на отрезке ВАХ выпрямительного диода (см. рис. 2.1,б) до напряжения диод закрыт (ток через него не протекает), а при диод ведет себя подобно линейному резистору с небольшим сопротивлением (см. пунктир на рис. 2.1,б), т.е. ВАХ выпрямительного диода аппроксимирована кусочно-линейной функцией, состоящей из двух отрезков.
Процессы, происходящие в цепи, можно описать следующим образом. Диод V закрыт все время, за исключением случая, когда положительное напряжение превысит напряжение на конденсаторе (нагрузке ) на величину , т.е. когда
.
В это время конденсатор быстро заряжается от источника . В остальное время диод V закрыт, и конденсатор медленно разряжается через сопротивление нагрузки (рис. 2.7,б).
Быстрый заряд конденсатора предполагает выполнение условия
,
где – постоянная времени заряда конденсатора , –сопротивление диода, а – период задающего напряжения . При выполнении этого условия изменение напряжения на конденсаторе происходит по закону задающего напряжения .
|
|
Медленный разряд конденсатора реализуется при условии
,
где – постоянная времени разряда конденсатора . Выполнение этого условия, как будет показано в дальнейшем, позволяет получить пульсации выпрямленного напряжения на низком уровне.
Из соотношения между постоянными времени заряда и разряда следует требование к сопротивлению нагрузки:
.
Поскольку диод открывается только при напряжении, превышающим , максимально возможное напряжение на конденсаторе меньше амплитудного значения на величину , т.е.
.
Поэтому точнее будет считать, что в цепи действует напряжение
.
Чтобы определить время заряда и время разряда конденсатора , запишем уравнение баланса напряжений и в точке 1 ( ) графика на рис. 2.7,б:
,
где учтено, что разряд конденсатора происходит по закону экспоненты
.
Поскольку , то
,
и уравнение баланса примет вид
.
Учитывая, что , а , функции в этом трансцендентном уравнении можно представить их приближенными выражениями
и ,
а само уравнение записать в виде
или
.
Решением этого уравнения является значение , что позволяет вычислить время разряда и минимальное напряжение на конденсаторе (нагрузке ), т.е. напряжение в точке 1 графика рис. 2.7,б:
|
|
.
Среднее значение ( ) напряжения на интервале [0, T] определится в результате интегрирования напряжения отдельно на интервалах [0, ] и [ , T]:
.
Отклонение от характеризуют понятием “пульсаций” напряжения и оценивают коэффициентом пульсаций
.
После подстановки выражений и
формула коэффициента пульсаций примет вид
,
откуда и вытекает требование .
Пример расчета. Дано: Гц; кОм; мкФ. Решение: сек; сек; сек; сек; ; ; ; % .
В двухтактном выпрямителе, мостовая схема которого приведена на рис. 2.7,в, конденсатор фильтра подзаряжается в два раза чаще по сравнению с тем, что имело место в схеме рис. 2.7,а. Это происходит или через открытые диоды под действием напряжения , или через открытые диоды под действием напряжения . Анализ схемы рис. 2.7,в аналогичен анализу схемы рис. 2.7,а, но с учетом изменения интервала анализа (см. рис. 2.7,г) – [0, ] вместо [0, T]:
– время разряда конденсатора –
;
– уравнение баланса напряжений в точке 1 (рис. 2.7,г) в процессе преобразования –
|
|
,
,
,
;
– минимальное напряжение на конденсаторе (нагрузке ) –
;
– среднее напряжение на нагрузке –
;
– приближенное выражение коэффициента пульсаций –
.
При тех же начальных данных, что приведены в примере расчета однополупериодного выпрямителя, для двухполупериодного выпрямителя результаты расчета выглядят следующим образом: сек; сек; сек; сек; ; ; ; % . Примерно такие же значения и можно получить и в схеме рис. 2.7,а, но при сопротивлении нагрузки в два раза большем.
Как видно из выражения , выпрямители с активно-емкостной нагрузкой отличаются низкой нагрузочной способностью, поэтому они используются для питания маломощных устройств с низким потреблением тока. Значительно большей нагрузочной способностью обладают выпрямители с активно-индуктивной нагрузкой, у которых в качестве элемента сглаживающего фильтра используется катушка индуктивности (рис. 2.8,а при отсоединенном конденсаторе ).
Рис. 2.8. Однофазный мостовой выпрямитель с индуктивной нагрузкой
В схеме рис. 2.8,а пары диодов и открываются поочередно на время, равное половине периода T задающего напряжения . Поэтому форма напряжения , непосредственно действующего на цепь , имеет вид, показанный на рис. 2.8,в пунктиром. Строго говоря, по причине того, что выпрямительные диоды открываются при напряжении (см. рис. 2.1,б), вся диаграмма напряжения смещена вниз (относительно уровня ) на величину, примерно равную , что объясняется действием ЭДС самоиндукции катушки индуктивности. Это в определенной мере можно учесть, если считать, что на входе действует источник напряжения (см. эквивалентную схему на рис. 2.8,б) с амплитудным значением напряжения
и внутренним сопротивлением .
Чтобы проанализировать эквивалентную схему рис. 2.8,б, представим напряжение в виде ряда Фурье:
,
состоящем, кроме составляющей с нулевой частотой, только из четных гармоник задающего напряжения . Для каждой из составляющих методом комплексных амплитуд запишем уравнения баланса напряжений в цепи:
; ,
где, как следует из выражения ряда Фурье,
и
– постоянная составляющая и амплитуда второй гармоники напряжения , а – сопротивление катушки на частоте второй гармоники тока .
Здесь приведены только два уравнения баланса для цепи рис. 2.18,б – для постоянной составляющей тока и для второй гармоники . Уравнения баланса для других гармонических составляющих можно составить по аналогии с уравнением для , но в данном случае этого делать не имеет особого смысла, и не только из-за того, что амплитуды высших гармоник напряжения гораздо меньше амплитуды второй гармоники, но и по причине роста сопротивления катушки с увеличением номера гармоники.
Таким образом, на нагрузке будет действовать выпрямленное (среднее) напряжение
с отклонением в ту и другую стороны на максимальную величину
,
где приближенное выражение записано для случая , а .
Поскольку отклонение напряжения на нагрузке двустороннее относительно , коэффициент пульсаций определится из выражения
.
Как следует из этого выражения и выражения постоянной времени , при уменьшении сопротивления нагрузки коэффициент пульсаций выпрямителя с активно-индуктивной нагрузкой уменьшается, что является его преимуществом.
Пример расчета. Дано: Гц; Ом; Гн. Решение: сек; ; % .
Коэффициент пульсаций в схеме рис. 2.8,а можно уменьшить, если кроме катушки индуктивности включить (параллельно ) конденсатор , как показано на рис. 2.8,а и б пунктиром.
Подключение конденсатора приведет к следующим изменениям в выражениях, описывающих схему рис. 2.8,а (б):
– уравнение баланса для второй гармоники –
;
– комплексная амплитуда 2-й гармоники напряжения на нагрузке –
;
– максимальное отклонение напряжения на нагрузке от –
;
– коэффициент пульсаций –
.
Так, при введении в схему рис. 2.8,а (с данными, приведенными в примере расчета) конденсатора емкостью мкФ коэффициент пульсаций уменьшится до значения 0,84 % .
Задание
Исследовать нелинейную резистивную цепь рис. 2.9,а либо б (в зависимости от варианта – см. табл. 2.1). Нелинейный элемент задан координатами его вольт-амперной характеристики (табл. 2.2 – ВАХ выпрямительного диода; табл. 2.3 – ВАХ стабилитрона).
Рис. 2.9. Нелинейные резистивные цепи двух видов: а и б
Таблица 2.1
Вариант | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Цепь | а | а | а | а | а | б | б | б | б | б |
, В | 4,8 | 5,0 | 5,2 | 5,4 | 5,6 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
, кОм | 1,0 | 1,05 | 1,1 | 1,15 | 1,2 | 0,6 | 0,8 | 1,1 | 1,3 | 1,5 |
, Ом | 4,0 | 4,2 | 4,4 | 4,6 | 4,8 | 2,4 | 3,2 | 4,4 | 5,2 | 5,0 |
Таблица 2.2
, В | -0,6 | 0 | 0,35 | 0,45 | 0,48 | 0,51 | 0,53 | 0,54 | 0,55 | 0,56 | 0,57 | 0,58 | 0,59 | 0,6 |
, мА | -0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,05 | 0,13 | 0,32 | 0,57 | 0,77 | 1,03 | 1,38 | 1,84 | 2,45 | 3,27 | 4,35 |
Таблица 2.3
, В | -3,91 | -3,87 | -3,83 | -3,79 | -3,75 | -3,72 | -3,64 | 0 | 0,53 | 0,61 | 0,64 | 0,68 | 0,72 | 0,76 | 0,8 |
, мА | -4,13 | -2,78 | -1,60 | -0,72 | -0,23 | -0,08 | -0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,08 | 0,23 | 0,72 | 1,60 | 2,78 | 4,13 |
Определить токи и напряжения в цепи, если задающее воздействие – гармоническое напряжение
с амплитудой , указанной в табл. 2.1.
Анализ провести в следующей последовательности.
1. Рассчитать вольт-амперную характеристику объединенной пары нелинейных элементов ( в эквивалентной схеме рис 2.10,а), учитывая, что при объединении выпрямительных диодов, соединенных параллельно, суммируются токи диодов, а в случае стабилитронов, соединенных последовательно, суммируются напряжения. Результаты расчета оформить в виде таблицы 2.5 (типа табл. 2.2), где напряжение обозначить , а ток – .
2. Для эквивалентной схемы рис. 2.10,а определить амплитуду и внутреннее сопротивление эквивалентного источника напряжения
:
; .
3. Рассчитать вольт-амперную характеристику обобщенного нелинейного элемента (рис. 2.10,б), просуммировав для каждого значения тока элемента напряжение и падение напряжения на эквивалентном сопротивлении :
.
Результаты расчета оформить в виде таблицы 2.6 (типа табл. 2.2), где напряжением является , а током – .
4. Для указанных в табл. 2.4 значений фазового угла рассчитать и по этим данным из табл. 2.6 определить . Если значение в какой-то точке ВАХ не совпадет с табличным значением , то необходимо прибегнуть к интерполяции:
,
где ; и значения напряжения в соседних столбцах табл. 2.6, между которыми располагается значение , а и значения токов, соответствующих напряжениям и .
Полученные данные внести в итоговую таблицу (табл. 2.4).
Таблица 2.4
, В | |||||||||||||||||||||
, мА | |||||||||||||||||||||
, В | |||||||||||||||||||||
, В |
5. По известным значениям токов табл. 2.4 из табл. 2.5 определить напряжения и занести эти данные в табл. 2.4. Если значение в какой-то точке ВАХ не совпадает с табличным значением , то необходимо воспользоваться интерполяцией:
,
где ; и значения тока в соседних столбцах табл. 2.5, между которыми находится значение , а и значения соответствующих напряжений.
В соответствующие строки табл. 2.4 внести значения , а также результаты расчета напряжения
.
6. Представить в графической форме (по данным табл. 2.4) зависимости , , и как функции фазового угла . Для уточнения графиков этих функций может потребоваться дополнительный расчет , , и при промежуточных (по отношению к указанным в табл. 2.4) значениях k.
В частности, необходимо учесть, что ток равен нулю не только в точке , но и на некотором интервале , где, как следует из табл. 2.5, В в схеме с выпрямительными диодами и В в схеме со стабилитронами. Это обстоятельство требует также уточнения и в пределах указанного интервала изменения :
; .
Значение фазового угла на границах указанного интервала можно определить из выражения
.
Таким образом, указанному интервалу изменения напряжения можно поставить в соответствие интервалы изменения фазового угла ( ), где ток , а напряжение повторяет напряжение .
Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 196; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!