Тема 1. Философские проблемы математики, физики, астрономии и космологии

Философские проблемы математики

Для понимания математики как науки важно уяснить особенности ее предмета и метода, закономерности ее развития, пути обоснования ма­ тематических теорий и условия их применения к опытным наукам. По­ пытки ответить на эти вопросы составляют суть философского анализа математики. Задача данной темы состоит в том, чтобы разъяснить ос­ новные идеи и проблемы современной философии математики. Немало специалистов полагают, что законы химии и физики не обладают некоей, только этим наукам присущей, спецификой и что за их количественным выражением стоят универ­ сальные свойства абстрактных математических структур, не до конца еще раскрытых современной наукой. Математика с подобной точки зрения обретает значение, далеко выходящее за рамки своего непо средственного поля применения, получая тем самым философское измерение.

Выдающийся физик-теоретик Р. Фейнман, анализируя господствующее на сегодня объяснение Г. Гельмгольцем феномена благозвучия музыкальных ин­ тервалов, описываемых первыми числами натурального ряда, вынуж­ ден признать, что в данном вопросе мы не далеко ушли от Пифагора: «Мы не можем с уверенностью сказать, сравнивает ли ухо гармонии или занимается арифметикой, когда мы решаем, что звук нам нравит­ ся».

Воздействие математики не ограничивается сферой научного знания. Многообразны способы ее применения помимо музыки в таких областях искусства, как архитектура, живопись и литература. Рассматривая сред­невековую математику, невозможно игнорировать глубокую ее связь с ре­ лигиозным сознанием того времени. Нельзя, наконец, забывать и о важ­ нейшей роли математики в образовании и воспитании личности.

Последние годы наполнены спорами об изменившейся роли матема­тического знания в эпоху постиндустриального развития человечества. Вторжение электронно-вычислительной техники и информационных технологий в экономику и повседневную жизнь людей привело к неодно­ значным, противоречивым последствиям для системы математического образования. Вместе с тем, на м атематическое образование име­ ет право любой человек, и обязанность общества предоставить каждой личности возможность воспользо ваться этим правом.

В философии науки принято различать три аспекта используемого в познавательной деятельности ученого языка науки: синтаксический, се­ мантический и прагматический. Синтаксический аспект предполагает рассмотрение языка как некоторой совокупности знаков, которые пре­ образуются по определенным правилам и формируют в своих связях оп­ ределенную систему. В процессе применения этих правил исследователь отвлекается от смысла терминов языка и рассматривает термины только как знаки, образующие в своих связях формулы, из которых выводятся другие формулы, но правилам данной языковой системы. Именно этот аспект математического знания оказался на первом плане в приведен­ ном выше определении математики как цепочки импликаций.

Семантический аспект языка требует обращения к содержанию язы­ковых значений. Он предполагает нахождение идеальных объектов и их связей, которые образуют непосредственный смысл терминов и выска­зываний языка. Так, в аксиоматически построенной геометрии под пи­рамидой понимается не мысленный образ расположенной в пространст­ ве пирамиды, а идеальный математический объект, вершины которого не имеют частей, ребра — ширины, а грани — толщины.

Наконец, прагматический аспект языка предполагает рассмотрение языковых выражений в отношении к практической деятельности и специ­фике социального общения, характерных для определенной исторической эпохи. Это означает, что идеальные объекты и их корреляции, образующие область смыслов языковых выражений, берутся в их отношении к социокультурной среде, породившей ту или иную «популяцию» научных знаний. Когда Арнольд критикует господствующую в дедуктивно-аксиоматичес кой математике схему «определение — теорема — доказательство» как спо­ собную принести лишь вред и преподаванию, и практической деятельнос­ ти, он ставит во главу угла именно прагматический аспект в истолковании предмета математики. Сам факт подобной критики указывает на то, что рассматриваемые аспекты математического знания могут входить в проти­ воречие на определенных стадиях исторического развития.

Существующий ныне стандарт требований к логической строгости сложился только к концу XIX в. Этот стандарт основан на теоретико- множественной концепции строения математической теории. С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или не­ сколькими множествами объектов, связанными между собой некоторы­ ми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отноше­ ний, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не зат рагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Тео­ рия может применяться к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом.

В становлении аксиоматического метода выделяются три основных периода: 1) период содержательной аксиоматизации; 2) период полуформальной аксиоматизации; 3) период формальной аксиоматизации. Принципы содержательной аксиоматики господствовали до середины XIX в. Полуформальный аксиоматический метод получил распростране­ ние в последней четверти XIX в. Датой рождения формализованного акси­оматического метода принято считать 1904 г., когда Д. Гильберт выдвинул основные принципы формализации математики.

В содержательной аксиоматике аксиомы описывают основные свой­ства, отношения и связи объектов из одной области объектов. Последние получают непосредственное определение до того, как задан список ак­сиом рассматриваемой теории, а используемые при доказательствах средства логики не получают какого-либо описания или уточнения (предполагается использование традиционной формальной логики).

Наиболее совершенное для своего времени содержательно-аксиома­тическое построение геометрии как основы и методологии всей матема­ тики разработал Евклид в «Началах».

Фундамент «Начал» составляют определения, постулаты и аксиомы. Постулаты Евклида представляют собой требования возможности осу­ ществления построений с идеальными геометрическими объектами. Вместе с формальной логикой аксиомы представляют логический компонент теории доказательства «Начал».

В полуформальной аксиоматизации математической теории ее объ­ екты не получают непосредственных определений. Их заменяют аксио­ мы, описывающие отношения и связи между основными объектами. Как и в случае содержательной аксиоматизации, при доказательствах те­ орем используются средства традиционной логики.

При полуформальной аксиоматизации математической теории ее ак­сиомы и теоремы справедливы для различных множеств объектов, с одинаковой, описанной в аксиомах, структурой отношений и связей между объектами. Каждую такую область называют моделью или интер­ претацией аксиоматизированной теории.

Содержательный характер геометрической аксиоматики был постав­ лен поз сомнение в первой половине XIX в. в связи с построением Ло­ бачевским неевклидовых геометрий. Аксиомы оказа­ лись не абсолютными истинами, отрицание которых недопустимо, а гипотезами, истинность которых надо проверять опытным путем либо путем сведения к ранее установленным математическим истинам.

Трактовка цели и средств аксиоматизации математической теории существенно изменилась во второй половине XIX в., когда стало ясно, что каждая математическая теория допускает различные интерпретации. В этой связи была осознана целесообразность такого аксиоматического построения математических теорий, при котором любая из них выступа­ла бы как общая теория, заключения которой верны для объектов любых ее интерпретаций.

Зарождение аксиоматического метода как самостоятельной теории датируется 1899 г. — временем выхода классических «Оснований геоме­трии» Д. Гильберта, где этот метод на примере геометрии получил, по су­ ществу, исчерпывающую разработку.

Формальные аксиоматики разработаны для теорий, относящихся преимущественно к фундаменту теоретической математики. Они есте­ ственным образом получаются из полуформальных аксиоматик при по­ мощи формализации традиционной логики, содержательным образом используемой в первых двух начал аксиоматик.

Теоретико-множественпая концепция не только предоставила основ­ ной в настоящее время стандарт математической строгости, но и позволи­ла в значительной мере разобраться в разнообразии возможных математи­ческих теорий и их систематизировать. Так, чистая алгебра определяется как наука о системах объектов, в которых задано конечное число операций, применимых (каждая) к определенному конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект системы (например, в слу­чае алгебраического ноля — две операции (сложение и умножение) над двумя элементами каждая). Этим чистая алгебра отделяется от анализа и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем известную «не­ прерывность» изучаемых пространств), которые существенно требуют введения «предельных» отношений, связывающих бесконечное число объектов. Аксиоматическое изложение какой-либо специальной матема­ тической теории (например, теории вероятностей) не начинают на пустом месте, а пользуются ранее построенными теориями (например, понятия­ми натурального или действительного числа).

Теоретико-множественная переработка всех отделов математики при помощи идеи полуформальной аксиоматики позволила устранить неяс­ности и разногласия относительно корректности определений и убеди­тельности доказательств отдельных теорем. Обнаружившиеся в начале XX в. в самой теории множеств неясности и противоречия оказались связанными главным образом с теми ее областями, где понятию беско­ нечного множества была придана общность, излишняя для каких-то приложений и потому не могущая нанести существенного вреда основ­ ным разделам «работающей» математики. Однако следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математичес­ких теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чи­сел, требует обращения именно к теории бесконечных множеств, а по­следняя сама нуждается в логическом обосновании.

В начале XX века в теории бесконечных множеств был обнаружен ряд па­ радоксов, поставивших под сомнение возможность ее непротиворечивого обоснования. Самый известный из них — парадокс Рассела — формулиру­ется следующим образом. Пусть М — совокупность всех нормальных мно­ жеств, т.е. множеств, не включающих себя в качестве собственного эле­мента. Допустим, что М — само нормальное множество, тогда оно не содержит самого себя в качестве элемента и тем самым не может быть нор­ мальным. Если, напротив, предположить, что М — ненормальное множе­ство, то тогда оно должно входить в М, т.е. быть нормальным множеством.

С прагматической точки зрения этот парадокс, как отмечено выше, не представляет особой опасности. С философской же точки зрения он неприятен. Распространенные в математике доказательства от противного неявно опираются на предположение о непротиворечивос­ти математики. После того как теория множеств в конце XIX века стала фундаментом всего математического знания, обнаружение противоре­ чий в самых простых с логической точки зрения теоретико-множествен­ ных рассуждениях воспринимается довольно болезненно. Устранение парадоксов из математики составило важную задачу общенаучного ха­ рактера. Попытки ее разрешения и ознаменовали рождение новой науч­ ной дисциплины — философии математики.

В настоящее время в философии математики имеются два основных направления — фундаменталистское и нефундаменталистское. Фунда менталистская философия математики подчиняет исследование мате­ матики одной целевой установке — выяснению проблемы сущности ма­ тематики, не зависящей от ее конкретных исторических состояний. Именно эта цель преследуется при различных попытках редукции одних теоретических разделов математики к другим разделам и нахождения фундаментальных математических структур. Именно таким образом ис­следуется природа математических объектов и их соотнесенность с ми­ ром природных объектов и объектов теоретического естествознания. Именно так осуществляется поиск единой сущности и непреходящих стандартов математического доказательства — стандартов, с которыми сравниваются реальные доказательства раздавших эпох.

Работы фундаменталистского направления претендуют на поста­новку и решение проблем выявления концепций развития математики, поиска схем этого развития. Если для фундаменталистского направления в философии математики основными являются проблемы ее сущности, а не функционирования (исследование математики в «статике», а не в «ди намике»), то нефундаменталистское направление считает возможным разобраться в законах реального функционирования древнейшей из наук, без окончательного решения проблем установления ее сущности.

Пионерской работой нефундаменталистской ориентации стала серия статей И. Лакатоса «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы», в которой он предпринял попытку вскрыть общую схему раз­вития математики на примере истории доказательства важного результа­ та топологии — теоремы Эйлера о многогранниках.

Важной вехой в развитии фундаменталистского направления явля­ется работа Р. Уайлдера «Математика как культурная система», в кото­рой математика рассматривается как подразделение культуры в целом. Указанное представление опирается на понятие «культурного элемен та», под которым автор понимает набор убеждений, инструментов, риту­алов (в широком смысле слова) и т.п., принадлежащих некоторым обра­ зом объединенной группе людей. На этой основе он строит типологию исторического взаимодействия различных частей математики, которая существенно отличается от привычного ее разделения на специальные теоретические дисциплины.

Значительным явлением в развитии нефундаменталистского направ­ ления стала также книга Ф. Китчера «Природа математического зна­ ния», в которой делается попытка построения целостной и развернутой эмпирической концепции сущности и развития математического зна­ ния как представленного в деятельности коллективного субъекта — на­ учного сообщества математиков.

В настоящее время можно выделить три различные ветви нефундаменталистского направления:

– историческая ветвь, полагающая развитие науки некумулятив­ ным. Она восходит к концепции научных революций Т. Куна и приме­ няет данную концепцию к математике. Идея исторического отбрасы­ вания устаревших математических теорий развивается в большом числе публикаций и, в частности, в известной книге «Революции в ма­тематике»;

– ветвь социальной детерминации, утверждающая зависимость со­держания науки от социальных взаимоотношений, от региональных и национальных особенностей. В философии математики так появились взгляды об «арийской математике», о «китайской матема­тике», о «буржуазной математике» в ее противопоставлении «пролетар­ской математике», о «европейской математике» и т.д. ;

– ветвь культурной детерминации, распадающаяся на течение ког нитивно-культурной детерминации, когда формальные структуры, трансформирующиеся в исходные математические структуры конкрет­ной исторической эпохи, считаются обусловленными формирующими­ся в данной культуре познавательными установками, и течение дея­тельности культурной детерминации, согласно которому сущность культуры составляют социальные эстафеты действия, обеспечивающие облик математики, приемлемые способы действия с математическими объектами и само понимание таких объектов как ролей соотношения обозначений, воспроизводящих себя в соответствии с принципами нормативных систем.

Отличительные черты нефундаменталистского (социокультурною) направления в философии математики в его отношении к фундамента­лизму сводятся в основном к следующим:

– главной является группа проблем функционирования математики (математики в ее динамике). Если при изучении сущности математики фундаментализмом вопросы ее функционирования оказываются оттеснен­ными на задний план, то в данном случае на задний план отодвигается вы­ явление неизменной сущности математики, независимой от ее развития;

– фундаменталистская философия математики смотрит на математи­ ку с более широких позиций, и поэтому она способна лучше адаптировать ся к тем бурным изменениям, которые претерпевает сегодня математика, ее отношения с другими науками, а также ее место и значение в культуре;

– нефундаменталистская философия математики ближе к современ­ ным исследованиям в математике и истории математики, что способствует ее плодотворному применению в обеих этих сферах.

Занимаясь мировоззренческими проблемами математики, философия математики, естественно, представляет собой специальный раздел фило­ софского знания. Внутренняя проблематика философии математики (причем первоначально именно в ее фундаменталистском варианте) была порождена философией, которая, исследуя вопросы сущности и существований абстрактных и идеальных объектов, достоверность логических умозаключений, не могла не отметить такой важный частный случай, как математические объекты (пифагорейская школа, Платон), и столь важ ный и эффективно разрабатываемый поколениями исследователей спо­ соб рассуждений, как математическое доказательство (доказательство от противного, часто связываемое с философией элеатов: доказательство по индукции и т.д.). Но специализация, неизбежно прогрессирующая во всех областях знания по мере их развития, не обошла стороной и философию. Из частного раздела философского знания философия математики посте­пенно превратилась в достаточно автономную область исследований; ис­конно философские вопросы (о природе субъективного и объективного и их взаимосвязи) применительно к математическим сущностям стали вну­ тренними вопросами философии математики, поддерживающими ее ав­тономное существование, требующими специализации и возбуждающи­ ми устойчивый интерес ученых.

Главными прикладными проблемами для философии математики стали вопросы, возникающие в математике и истории математики, при­ чем историко-математические проблемы важны, прежде всего, для не фундаменталистского направления. Спустя сто лет после открытия па­ радоксов теории множеств они по-прежнему остаются вызовом для всех работающих в области философии математики исследователей. Но не меньшую актуальность для философии математики сегодня приобрели и важнейшие открытые проблемы истории науки.

Вот их неполный перечень.

– В какой мере допустима модернизация исторического источника (например, можно ли применять современную математическую симво­ лику и достижения современной математики при изучении и изложении «Начал» Евклида, «Арифметики» Диофанта, исследований Ньютона, Лейбница и т.п.)?

– Каковы принципы влияния культурной среды на развитие матема­ тики, насколько направление развития математики зависит от ее внут­ ренних интенций и насколько — от внешних влияний (соотношение
внутренних и внешних факторов развития математики)?

– Каким образом развивалась математика как социальный институт?
Не оказывается ли нахождение исторической закономерности в действительности «опрокидыванием» в прошлое определенного виде­ния современной математики?

– Какие направления в математике были основными в те или иные исторические периоды? Существуют ли революции в математике?

Все эти вопросы объединяет связь с проблемой поиска исторических закономерностей развития математики. Стремление ответить на них в процессе поиска и обоснования исторических закономерностей разви­тия математики выступает как основа взаимопонимания современной истории науки и фундаменталистской философии математики.

Аналогичным образом можно описать прикладную функцию нефунда менталистской философии математики по отношению к запросам со сто­роны математики. Проблема выявления закономерностей и тенденций развития современной математики распадается здесь на ряд «подпроб лем», которые представляют интерес для любого серьезного специалиста:

– Какие разделы математики, новые идеи и методы наиболее пер спективны, как они взаимодействуют между собой?

– Каковы тенденции развития математического доказательства (мож но ли, например, использовать ЭВМ при доказательстве математичес­ ких теорем и каким образом)?

– Как строить обучение математике?

– Каковы симптомы возможности получения прикладного эффекта от исследований в конкретной области теоретической математики?

– Как в будущем будут соотноситься «прикладные» и «теоретические» исследования и в каком смысле можно говорить об их единстве?

Попытки ответить на эти и подобные вопросы постоянно предприни­ маются самими «работающими» математиками. Нетрудно видеть, что указ анные вопросы являются производными от одного, главного: каковы тен­ денции развития математики, каково ее будущее. Таким образом, нефунда менталистская философия математики пол давлением со стороны матема­ тики вынуждена искать способы ответа на этот вопрос. Предвидение будущего математики является одной из важных и актуальных проблем не фундаменталистской философии математики, в русле которой ведется ана­ лиз развития математики, выявления закономерностей этого развития.

Философские проблемы физики

Философские проблемы физики – это проблемы, погранич­ные между чисто физическими и чисто философскими проблемами. Конкретно эти проблемы, в конечном счете, сводятся к исследованию отношения фундаментальных физических понятий (лежащих в основании фундаменталь­ных физических теорий) к философским понятиям («кате­гориям» философии). Например, в качестве такого отно­шения может выступать отношение физических понятий о пространстве и времени к философским категориям «про­странство» и «время»; физического понятия энергии к фи­лософскому понятию движения; понятия физической са­моорганизации к философскому понятию развития; и т. п. При этом главное различие между фундаментальными фи­зическими понятиями и философскими категориями состоит в разной степени общности (универсальности): физи­ ческие понятия применимы только к объектам неоргани­ ческой природы; философские же — как к объектам нежи­ вой природы, так и объектам живой природы и в равной степени к социальным объектам( например, социальным учреждениям).

Все философские проблемы современной физики мо­гут быть подразделены на две большие группы: 1) онто­логические; и 2) гносеологические. Первые связаны с вопросом, какова физическая реальность каковы ее ат­ рибуты; вторые — с вопросом о том, как мы познаем эту реальность и эти атрибуты. Между этими проблемами существует тесная связь и взаимодействие. Однако было бы серьезной ошибкой на основании этого обстоятель­ ства отождествлять эти проблемы (или смешивать их в некое неопределенное целое). Как ясно из сказанного, онтологические проблемы физики имеют, как часто говорят, «содержательный» характер, поскольку они касаются объективной реальности, как она существует до человека и независимо от него. Гносеологические же проблемы обладают в известном смысле «формальным» характером, поскольку касаются только познавательных процедур, отвлекаясь от объективного содержания ре­ зультатов этих процедур.

Онтологические проблемы современной физики, в свою очередь, могут быть подразделены на три секции:

1) проблемы физики мегамира (мира очень больших масштабов);

2) проблемы физики микромира (мира очень малых масштабов);

3) проблемы физики макромира (мира средних мас­ штабов).

Опять-таки между этими подпроблемами есть взаи­мосвязь и взаимодействие. Но и здесь это обстоятель­ство не может оправдать их смешение.

Хотя физика каждого из этих миров приводит к по­становке множества философских проблем, тем не ме­ нее, все они группируются вокруг некоторой централь­ ной проблемы. В случае мегамира, такой ключевой (объединяющей, интегрирующей) проблемой является проблема сингулярности; в случае микромира — про­ блема дополнительности; в случае макромира — про­блема самоорганизации. К первой проблеме приводит методологический анализ теории относительности; ко второй — квантовой механики; к третьей — термоди­ намики открытых систем. Каждая из этих проблем со­держит в себе целый «веер» разнообразных онтологи­ ческих проблем: природа физической реальности; ее эле­ ментов и структуры (хаоса и порядка); устойчивости (покоя и равновесия) и изменчивости (движения и раз­вития); пространства и времени; детерминизма (динами­ческие и вероятностные закономерности), причинности и взаимодействия (внутреннего и внешнего) и др.

Однако акцент в каждой из указанных глобальных проблем делается на разных категориях этого «веера». Так, в случае сингулярности — это взаимоотношение пространства и времени: в случае дополнительности — детерминизма и причинности; в случае самоорганиза­ ции — хаоса и порядка.

Таким образом, говоря о философских проблемах со­ временной физики мы должны различать глобальную проблему и комплекс ассоциированных с ней локальных проблем.

Гносеологические проблемы современной физики тоже могут быть подразделены на три главных секции:

1) природа физической теории;

2) закономерности формирования физической теории;

3) взаимоотношение физики и философии (влияние физики на философию и философии на физику).

Каждая из этих глобальных проблем тоже имеет ком­плекс ассоциированных с ней локальных проблем (тео­рия и модель, теория и язык, теория и эксперимент и т. п.), причем в этом комплексе тоже можно выделить фило­ софские понятия, на которых делается акцент. В случае вопроса о природе физической теории это проблема вза­имоотношения эмпирического и умозрительного знания; в случае закономерностей формирования теории — это проблема основных стадий в формировании теории; в случае взаимоотношения физики и философии — это проблема эвристической роли философии в формирова­ нии новой теории.

Философия физики имеет ту положительную сторо­ ну, что в ней философская проблема может быть сфор­ мулирована достаточно ясно и точно в виде совершен­ но конкретного вопроса, на который может быть дан ясный и недвусмысленный конкретный ответ. Однако когда мы говорим о поиске «решения» философской проблемы в физике,мы всегда должны учитывать одно немаловажное обстоятельство. Дело в том, что поста­ новка философской проблемы в физике (формулировка вопроса) и «решение» этой проблемы (однозначный от­вет на вопрос) зависят от того философского мировоз­зрения,которым руководствуется физик. Проблема, ос­ мысленная с точки зрения одного мировоззрения, мо­ жет быть, совершенно бессмысленной (оказаться псевдопроблемой) с точки зрения другого. Однако сре­ ди множества возможных мировоззрений имеется и та­ кое, критерий истины у которого совпадает с критери­ ем истины в науке. Такое мировоззрение принято назы­ вать научным. Ввиду указанного обстоятельства оно имеет в определенном отношении привилегированное положение при анализе философских проблем в науке. Это мировоззрение сформировалось в эпоху Возрожде­ ния и Просвещения ( XVI - XVIII в. в). В основание этого мировоззрения, говоря современным языком, были по­ложены следующие принципы:

1. объективности (признание существования до, вне и независимо как от индивидуального, так и от коллек­ тивного человеческого сознания некоторой объективной реальности);

2. наблюдаемости (составленность этой объективной реальности непринципиально наблюдаемых – прямо или косвенно, актуально или потенциально — объектов);

3. детерминизма (подчинение всех проявлений объек­ тивной реальности каким-то закономерностям):

4. познаваемости (возможность адекватного отраже­ ния любых явлений и любых законов в соответствую­ щих субъективных образах наглядных представлениях или абстрактных понятиях):

5. рациональности (оперирование любыми понятия­ ми в границах их применимости с соблюдением законов логики); рациональность приводит к системности знания;

6. эмпирической проверяемости (наличие у любых теорий, относящихся к объективной реальности, пред­ сказаний, допускающих прямую или косвенную практи­ ческую проверку);

7. осмысленности человеческого существования (за кономерный характер происхождения и развития чело­ века и человечества в результате самоорганизации объективной реальности, существовавшей до человека
и человечества).

Эти принципы, вообще говоря, подвержены развитию и обобщению. Но модификацию любого из этих принципов не следует смешивать с отказом от соответствующего прин­ ципа вообще. Например, отказ от лапласовского детерми­низма не означает отказа от детерминизма вообще, а отказ от аристотелевской логики отказом от логики вообще.

Поэтому под «решением» соответствующей философ­ской проблемы в физике мы будем в дальнейшем подра­зумевать ее решение (ответ на вопрос) с точки зрения на­ учного мировоззрения, т. е. с соблюдением основных принципов этого мировоззрения. Особенность философ­ской проблемы в физике и заключается в том, чтобы най­ ти ответ на возникший вопрос в рамках научного мировоззрения (без отказа от принципов этого мировоззрения). Как показывает история физики, найти «ответ» на подоб­ ные вопросы в рамках ненаучною мировоззрения, т. е. отказываясь, например, от принципа детерминизма или принципа рациональности, очень просто. В самом деле, можно «объяснить» происхождение любого сколь угод­ но загадочного объекта, ссылаясь на то, что он порож­ ден неизвестно кем. неизвестно каким способом и неиз­ вестно из чего. Но такое «решение» проблемы происхож­ дения будет иллюзорным. Все ответы на возникающие в физике философские вопросы, даваемые с позиции не­ научного мировоззрения, оказываются иллюзорными (мнимыми) или в силу их неопределенности, или противоречивости или фактической абсурдности.

Ярким примером тех противоречий, в которых запу­тывается естествоиспытатель, пытающийся решать фи­лософские проблемы физики на основе ненаучного ми­ ровоззрения, является попытка некоторых физиков объяснить возникновение всего наблюдаемого физического мира «из ничего». С одной стороны, утверждается, что наблюдаемый материальный мир родился «из ничего», С другой стороны, это «ничто» определяется как физический «вакуум», т.е. некоторое физическое поле. Предполагается, что это поле существует до, вне и независимо от сознания познающих его физиков и в принципе (прямо или косвенно) может воздействовать через специальные приборы на их органы чувств. Но это значит, что подобное поле есть особая объективная реальность, которая принципиально наблюдаема, и, следовательно, «матери­ альна» (в обобщенном смысле понятия «материя»). Про­ тиворечивость подобных рассуждений очевидна.

Таким образом, если в ходе анализа философских проблем некоторой физической теории мы приходим или к отрицанию объективного (т.е. независимого от познающего субъекта) существования предмета иссле­дования (солипсизм) или к отождествлению этого пред­ мета либо с абсолютно непознаваемой «вещью в себе» (явный агностицизм) либо со «сверхъестественным» объектом, который не подчиняется никаким закономер­ностям и может быть «познан» (по определению) толь­ко с помощью иррациональных эмоций (тайный агнос­ тицизм), то это значит, что в наших исходных рассуж­ дениях допущена какая-то ошибка. Тогда надо вернуться к исходному пункту анализа и посмотреть, что требует­ся изменить в исходных посылках, чтобы избежать на­ рушения тех пли иных принципов научного мировоззре­ ния. Те или иные нарушения принципов научного ми­ровоззрения при анализе философских проблем физики можно уподобить красным бакенам, предостерегающим «корабль познания» от угрожающих ему мелей и рифов и указывающих, тем самым, правильный фарватер.

Философские проблемы астрономии и космологии

Астрономия — это наука о Вселенной, изучающая расположение, строение, происхождение и развитие небесных тел и образованных ими систем (astron по-гречески означает звезда, nomos — закон).

Космологию иногда рассматривают как часть астрономии. Но это вряд ли верно: хотя обе науки и близки, но у каждой своя область задачи, кроме того, они используют разную методологию исследований. Астрономия — это главным образом наблюдательная научная дисциплина. А в космологии методологически преобладает роль теоретических гипотез и обобщений о структуре и эволюции Вселенной. Отсюда следует большое философское и мировоззренческое значение космологии. Вместе с тем, развитие космологии нередко приводит к радикальному пересмотру существующей научной парадигмы.

Несо­мненно огромное влияние астрономии и космологии (изучающей Все­ленную как целое) на все известные типы мировоззрения. Между тем часто мировоззренческое значение астрономии недооценивается.

Астрономия занимается исследованием Вселенной, ее прошлого и будущего. Различают два основных понятия Вселенной, смыслы которых были исторически изменчивы: а) наблюдаемую Вселенную: б) Вселен­ную как целое, которая является объектом космологии. Существуют разные точки зрения на отношения астрономии и космологии. Космо­ логия считается либо разделом астрономии, все более интенсивно взаи­модействующим с другими ее разделами, в первую очередь с астрофизи­ кой и внегалактической астрономией, либо самостоятельной наукой, в силу специфики ее объекта. Объем каждого из понятий Вселенной расширялся по мере прогресса науки коррелятивно изменениям в по­знавательной деятельности, ее средствах и методах.

Вселенная как целое — объект космологии — в отличие от наблюдае мой Вселенной эмпирически не выделена, в системе знаний она задает­ ся экстраполяцией физических теорий. Обоснованный ответ на вопрос, что соответствует той или иной модели Вселенной в реальном мире, мо­жет быть получен лишь на основе эмпирической интерпретации модели, сравнении ее с наблюдаемой Вселенной. Такие интерпретации неизбеж­ но направляются эпистемологическими соображениями, часто они вызывают острые философские дискуссии.

Научный, физический образ мира как целого, т.е. физической Вселенной, возник лишь в астрономии классической эпохи. В системе Ньютона он формировался на уровне научной картины мира. Физическая космоло­ гия как теоретическая дисциплина рождена научной революцией XX в.

При традиционном подходе к интерпретации смысла понятия «Все­ленная как целое» она рассматривается в качестве всеобъемлющей, не­ ограниченной и принципиально единственной физической системы. Отождествление Вселенной долгое время с нашей Метагалактикой, порождало многочисленные философские недоразумения, например, интерпретация начального момента расширения Метагалактики как «сотворение мира».

Вместе с тем, нет никаких оснований интерпрети­ ровать философскую идею мира как целого в смысле всеобъемлющей физической системы. И в самой космологии термином «Вселенная как целое» не всегда обозначается один и тот же физический объект. В раз­личных космологических теориях это могут быть системы разного масштаба и порядка космической иерархии. Иными словами, Вселенная как объект космологии — это «все существующее» лишь с точки зрения дан­ной теории или модели Вселенной. Появление новых теорий в физике и космологии должно расширять объем понятия «физическая Вселенная». Коррелятивность понятия «Вселенная» существующей системе знания подчеркивали И. Пригожий, И.Л. Розенталь и др. Такая интерпретация смысла понятия «Вселенная как целое» доказала свою эвристичность по­ сле появления инфляционной космологии — теории раздувающейся Вселенной. Эта теория рисует образ непредставимо огромной по своим масштабам суперсистемы — Метавселенной (Большой Вселенной), в пределах которой возникает множество минивселенных, подобных на­шей Метагалактике. Конечно, и Метавселенная. и другие минивселен ные являются объектами сугубо теоретическими. Неизвестно, представ­ ляют ли они собой физическую реальность или же только изощренную игру ума. В научную картину мира они входят пока на правах гипотез. Ситуация осложняется тем, что другие все­ ленные — объекты, принципиально не наблюдаемые. Разрабатываются представления о «кротовых норах», связывающих разные вселенные.

Принцип единообразия Вселенной посту­лирует неизменность констант физических взаимодействий в разных точках Вселенной на протяжении большей части ее эволюции, тождественность всех точек пространства (однородность Вселенной) и всех направлений (пространственная изотропия).

Вместе с тем, в эпистемологических основаниях науки о Вселенной, особенно в XX в., проявляется принцип, дополнительный принципу единообразия Вселенной, — принцип ее потенциально бесконечного многообразия. Бесконечность материального мира и есть его бесконечное многообра­зие, реализующееся в пространстве и во времени. Существенными являются многообразия физических структур, пространственно-времен­ных масштабов, огромное различие типов эволюционных изменений. Но особенно рельефно феномен многообразия проявляется в Метавселенной.

Еще один ключевой принцип, который лежит в основаниях современ­ной астрономии и космологии, — это эволюционный принцип. Он связывает в единое саморазвивающееся целое все бесчисленное многообразие состояний, наблюдаемых (и ненаблюдаемых тоже) объектов в нашей расширяющей­ ся Вселенной. Возникают контуры грандиозного синтеза, в котором свя­зи астрономии, космологии и других наук становятся все более тесными.

Одна из важнейших эпистемологических проблем изучения Вселен­ ной состоит в осмыслении идеалов и норм построения теории в астрофи­ зике и космологии. Огромную роль в этих процессах играет выведение разного рода эмпирических зависимостей, носящих статистический ха­рактер (например, диаграмма Гершнпрунга—Рессела, пропорциональн ость красного смещения в спектрах галактик их расстояниям и др.). Роль этих зависимостей в изучении Вселенной очень велика, причем их харак­ тер не зависит от какой-либо теории, наоборот, любая теория должна эти зависимости учитывать. Но высказывавшаяся многими астрономами на­ дежда, что эмпирические зависимости смогут стать основанием для пря­мого вывода из них теоретического объяснения наблюдаемых явлений, не оправдалась. В современной астрономии утвердился тот же идеал постро­ ения теории, который характерен для всей сферы физико-математическо­го познании; гипотетико-дедуктивная модель. Эта модель рассматривает научное знание как иерархию дедуктивно связанных между собой гипо­тез, выводимых из одной или нескольких основных и обосновываемых путем дедукции из них эмпирически проверяемых следствий. Конечно, действительное развертывание гипотезы не является строгой дедукцией, оно включает ряд модельных построений и разного рода интерпретаций, индуктивные моменты. Гипотезы низшего уровня, подтвержденные эм пирическими данными, делают более вероятными и основные гипотезы. Таким образом, была, например, построена современная теория звездной эволюции. В ряде случаев гипотетико-дедуктивное развертывание теории в астрономии целенаправляется социокультурными факторами. Большую роль в современной космологии играют математические гипотезы. Суть этого метода, согласно С.И. Вавилову, состоит в видоиз­менении уравнений и форм, подтвержденных в определенной области, создание тем самым новых математических форм, применяемых как средства теоретического описания и анализа. Так, например, теория от­носительности была экстраполирована А. Эйнштейном в 1917 г. на Все­ленную как целое. Уравнения обшей теории относительности (ОТО) не давали статического решения, тогда как имевшиеся эмпирические дан­ные говорили в пользу статичности Вселенной. Эйнштейн видоизменил свои уравнения, введя в них знаменитый Х-член, уравновешивающий силу тяготения. Долгие годы Эйнштейн выражал сожаление по поводу этой своей математической гипотезы, находя ее ненужной. Но Х-член не только сохранился в космологии, но и стал основой фундаментальных представлений о вакуумной Вселенной. Он получил физическую интер­претацию в контексте идеи давления вакуума, на нем основывается объ­яснение недавно открытого ускоренного расширения Вселенной. Таким образом, теоретический объект получил свою самостоятельную жизнь, исходящую из новой физической интерпретации. Математической ги­ потезой является также идея раздувания Вселенной, направленная на решение ряда парадоксов релятивистской космологии.

Идеалы и нормы доказательности и обоснованности знания в исследо­ваниях Вселенной состоят в согласии теории с наблюдениями, предусмат­риваемом корреспонденткой теорией истины. Как известно, индуктивное обоснование научных теорий, включая астрономические и космологичес­ кие, не может быть завершенным. Это обстоятельство подчеркивал, на­ пример, К. Поппер. Тем не менее, хорошо известно, что значительная часть теорий достигает уровня доказательности, при котором они принимаются научным сообществом. Это происходит не по причине конвенционально сти знания и не только в силу аргументов логического плана (что имел в виду Поппер). В исследовании Вселенной, как и в других науках, выбор теорий во многом определяется еще до их эмпирического подтверждения, причинами психологическими (интуиция) и социокультурными.

Один из самых неожиданных сюрпризов преподнесло науке о Вселен­ ной обнаружение так называемого парадокса массы. Выяснилось, что массы галактик и их скоплений, определяемые разными методами, резко различаются между собой. По современным оценкам, совокупная масса наблюдаемых во Вселенной объектов (барионного вещества) составляет примерно 2—5% массы Метагалактики или даже еще значительно мень­ ше. Остальное — «скрытая масса», природа которой пока неизвестна. Это одна из самых больших «туч», нависших над наукой о Вселенной, и вме­сте с тем самых перспективных проблем, с которыми она сталкивается.

Тема 2. Философские концепции математики. Философия и проблема обоснования математики.

Философские концепции математики различаются тем, как они тракту­ют природу математических понятий и принципов, логику их происхож­ дения и их связь с представлениями опытных наук. Вопрос о происхождении математических понятий является наиболее важным, поскольку он определяет представления о природе и методе математического мышления. Его решение тесно связано с глубокими и еще не вполне понятыми антите­зами обшей теории познания и прежде всего с традиционным противо­ стоянием эмпиризма и рационализма в понимании норм мышления. Мы проведем здесь краткое описание основных воззрений на математику, имевших место в истории философии и методологии математики.

Первой ясно выраженной философией математики был пифагореизм. Пифагорейцы отделяли мир чувственных предметов и явлений, в которых царит случайность, от космоса как идеальной основы мира, ко­торая может быть понята только умозрительно, посредством самого ра­зума. Все, высказываемое о чувственном мире, недостоверно, является только мнением, и лишь утверждения математики, относящиеся к кос­мосу, выступают подлинным знанием, обладающим истинностью и не­опровержимостью. Пифагорейцы, таким образом, отделяли математику от других наук по предмету, а также и по методу: математические утверж­ дения опираются не на показания чувств, а на умозрение, т.е. на разум, который способен, как они полагали, непосредственно (без опоры на чувственный опыт) отражать глубинные законы мироздания.

Математика определяла и общее пифагорейское понимание реально­сти, которое выражалось в положении «Все есть число». Это положение выражало веру пифагорейцев в то, что всякая вещь содержит некоторую присущую ей меру, определенное гармоническое соединение частей, благодаря которому она и существует. Они были убеждены также в том, что вещь может быть познана в своей сущности только через раскрытие ее числа, ее внутренней пропорциональности. В соответствии с такой установкой они пытались соединить наиболее значимые для них вещи с числами, которые раскрывали бы их природу. Известно, что богатство и благо они соотносили с числом пять, согласие и дружбу — с числом че­тыре, вселенную — с числом десять и т.д. Положение «Все есть число» имело у пифагорейцев и другой, менее понятный для нас смысл. Как это видно из сочинений Аристотеля, они понимали число не только в каче­стве внутренней структуры вещей, но и в качестве их причины, т.е. они мыслили числа как некоторого рода идеальную основу мира, как особо­го рода субстанцию, определяющую само их возникновение. Можно сказать, что Пифагор него последователи возводили числа в начало всех вещей, ставили их на место природных стихий, из которых исходили первые греческие философы.

Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в антич­ной философии. Здесь мы наблюдаем первые, еще очень наивные попытки использовать математические объекты для описания реальности, для выражения ее сущностных связей. Первый удар по пифагорейской философии математики был нанесен развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримых геометрических величин. Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между арифметикой и геометрией, которая для пи­ фагорейцев была само собой разумеющейся, а также пифагорейскую идеологию в целом. Необходимо было признать в силу самой строгой ло­ гики, что при любом выборе единицы измерения найдутся величины не­измеримые и непредставимые отношением натуральных чисел, которые, таким образом, уже не могут быть поняты как соответствующие опреде­ ленному числу. Но если число является недостаточным уже для описания геометрических величин, то его универсальность для выражения других, более сложных вещей становится в высшей степени сомнительной.

Другая причина постепенного ослабления пифагорейской филосо­ фии математики состояла в развитии философии, в появлении более обоснованного и убедительного объяснения природы математических объектов. Огромная роль принадлежит здесь Аристотелю, в сочинениях которого дана широкая и в определенном смысле исчерпывающая кри­ тика пифагореизма. Хотя Аристотель — непосредственный ученик Платона, его мировоззрение отличается от платоновского радикальным об­разом. Аристотель скорее исследователь природы, чем умозрительный философ, он ценит факт и логику больше, чем мифологические построения. Отношение Аристотеля к пифагорейцам отрицательное и даже пренебрежительное. Пифагорейская философия ложна прежде всего потому, что она не раскрывает причин вещей. «На каком основании — спрашивает Аристотель, — числа суть причины? Есть семь гласных, гармонию дают семь звуков, семи лет животные меняют зубы, было семь вашей против Фив. Так разве потому, что число таково по природе, вождей оказалось семь или Плеяды состоят из семи звезд? А может быть, вождей было семь потому, что было семь ворот...» Пифагорейские сопо­ ставления для Аристотеля — простая игра с числами, основанная на случайных совпадениях и не имеющая значения для истинного объяснения явлений.

В философии Аристотеля появилось новое понимание математичес­кого мышления, которое известно сегодня под названием математичес­кого эмпиризма. В основе этой концепции лежит убежденность в первично­сти опытного знания. По мнению Аристотеля, математические предметы не являются чем-то существующим отдельно от вещей: они связаны с ве­ щами и возникают как таковые из способности отвлечения. Математика, по Аристотелю, является наиболее абстракт­ ной наукой. Математик строит особый идеальный мир, основанный на отвлечениях. Этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берется как независимый лишь условно, для яс­ности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств. Вещи пер­вичны перед математикой и определяют ее содержание.

Аристотель высказал также ряд других идей, заслуживающих рассмотре­ ния. Он выдвинул положение о том, что строгость математического рассуж­ дения объясняется простотой ее предмета. Под простотой здесь имеется в виду ее легкость усвоения математики, и специфическая абстрактность ее предмета, отсутствие разнородности качеств, которые присутствуют в фи­зике и других, более конкретных науках. Им высказана также идея о глу­ бинной связи математики с понятием прекрасного. Важнейшие виды пре­ красного, считал Аристотель, - это слаженность, соразмерность и определенность, но именно эта стороны вещей и выявляет математика.

Аристотелевская концепция математики является, конечно, более обоснованной иболее соответствующей логике научного мышления. Значительное число ученых и в настоящее время придерживаются в сво­ ей сути аристотелевского воззрения на математику: они считают, что ма­ тематика вторична перед физикой, что исходные математические объек­ ты есть лишь абстрактные схемы реального бытия вещей. С этой точки зрения математика — абстрактная физика, отвлеченная от анализа сил и движений, одна из наук о природе, и именно по этой причине она с ус­пехом прилагается к описанию природы.

Эмпирическое воззрение на математику встретилось, однако, с боль­шими трудностями.Уже давно было замечено, что математические ут­верждения (теоремы) не подвергаются опровержению. Доказанное в ма­ тематике — доказано навсегда, в то время как в физике нет ни одного утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и кор­ ректировки. Мы замечаем также, что математика в обосновании своих положений не использует никаких показаний опыта. Исследуя прост­ранство, геометрия не обращается к опытному анализу пространствен­ных отношений. Наконец, многие объекты, исследуемые в математике, в принципе не могут быть поняты в качестве абстракций из опыта. За­труднения возникают уже с отрицательными числами. Нельзя доказать положение: (-5)·(-5) = +25. Апеллируя к какому-либо опыту или к спо­собности абстрагирования. Еще более проблематичны в этом отноше­нии иррациональные и комплексные числа. Развитие математического анализа ввело в математику понятие бесконечности, которое не имеет коррелята в чувственном опыте. Развитие математики в Новое время выдвигало все новые и новые контряоволы об отношении аристотелевс­кой концепции математики и все настоятельнее ставило задачу ее пони­ мания на некоторой принципиально новой основе.

Концепция математики, которая в какой-то степени решает эту задачу, сформировалась в XVII — XVIII вв. и получила наименование априо­ ризма. Априоризм в определенной степени является возвращением к пифагорейскому делению знания на чувственное и умопостигаемое, ибо математика объявляется принципиально внечувственным знанием. Декарт разделил все истины на вечные, данные в аподик­тической очевидности, и чувственные, постигаемые на основе опыта. Математика снова стала пониматься как знание, радикально отличное от истины (математические и логические. И у Декарта, и у Лейбница возникновение исходных понятий математики не связывает­ся с опытом; эти истины рассматриваются как истины самого разума, покоящиеся на очевидности, имеющей внеопытную природу.

Учение об априорности математики получило дальнейшее развитие в философии И. Канта. Кант отказался от воззрения Лейбница на аналитич­ность необходимых истин. Аналитичностью, с его точки зрения, обладает только логика, остальные же виды априорных истин являются синтетиче скими. Синтетичность математики обусловлена наличием в нашем созна­ нии чистой чувственности, чувственного, но неэмпирического созер­ цания, которое позволяет сформулировать положения априорные (независимые от опыта) и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям типа А = А. Исходные положения геометрии опираются, со­ гласно Канту, на чистое представление о пространстве, а истины арифме­тики - на чистое представление о времени. Чистые представления прост­ранства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов (аксиом) математики, так и логику математического мышления. Любое математическое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе очевидного синтеза.

К важнейшим положениям кантовской философии математики нуж­но отнести также его положение о конструктивном характере математи­ ческих объектов. Математика, по мнению Канта, содержит два типа объектов: объекты, непосредственно данные в чистом созерцании, и объекты, данные только своим правилом конструирования. Мы не мо­ жем созерцать тысячеугольник, говорит Кант, но мы имеем самоочевид­ную схему построения этой фигуры, и данное обстоятельство позволяет нам высказывать о ней истинные суждения, несмотря на отсутствие не­посредственного зрительного образа этой фигуры.

Признание неевклидовых геометрий в XIX в. существенно поколеба­ло истинность кантовского априоризма. Эти геометрии показывали воз­можность существования математических теорий, не обладающих апри­ орной и самоочевидной основой. Аксиоматика геометрии Лобачевского и других неевклидовых геометрий не является очевидной, она обладает лишь логической определенностью. Анализ математических понятий показывал также, что многие из них не обладают и конструктивностью в кантонском смысле. Это свидетадьствовало о том, что априористское воззрение на математику ограниченно и не определяет ее истинного предмета и метода.

В конце XIX в. в связи с осмыслением статуса неевклидовых геомет­ рий и теории множеств стала оформляться новая концепция математики, получившая название формалистской философии математики. Основ­ ные ее установки могут быть выражены в виде следующих положений:

• математика не является наукой, последующей аспекты реальности, она представляет собой лишь метод логической трансляции опытного знания и состоит из совокупности структур, пригодных для этой пели;

• основным требованием к аксиомам математической теории являет-
ся не их очевидность и не их связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для се приложения к опытным наукам;

• к математике неприменимо понятие истинности в смысле опытно­го подтверждения. Математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соединения ее понятий с понятиями опытных наук;

• если обоснование содержательной науки состоит в установлении ее истинности, то обоснование математической теории заключается толь­ко в доказательстве логической непротиворечивости ее аксиом.

Эти принципы оформились в конце XIX — начале XX в. в работах Г. Кантора, А. Пуанкаре и Д. Гильберта. Ясно, что принимая этот взгляд на сущность математической теории, мы уходим от трудностей эмпирической априористской философии математики. От математи­ческой теории не требуется больше ни наглядности, ни рациональной очевидности принципов, не требуется опытного происхождении и кон­структивности понятий. Для математической теории объявляется суще­ственным только одно требование, а именно требование ее непротиво­ речивости. Проблема обоснования математической теории понимается с этой точки зрения как строгое доказательство ее непротиворечивости. Философия математики XX в, развивалась в основном в русле этих принципиально новых идей, которые, безусловно, представляют собой более высокий этап в понимании природы математического мышле­ ния. Определенная трудность этой концепции состоит в том, что она рассматривает все математические теории как онтологически равно­ценные и не выделяет традиционных теорий как обладающих особым онтологическим статусом.

На протяжении XX в. появились новые воззрения на природу матема­тики. Мы видим прежде всего некоторое возрождение эмпиризма. В этом плане получила известность концепция Ж. Пиаже, который в 50-х гг. прошлого века сформулировал операциональный подход к пониманию природы исходных математических понятий. По мнению Пиаже, необ­ходимо различать два вида опыта: физический и логико-математичес­ кий. Когда ребенок рассматривает камешки и сравнивает их по цвету, он находится в сфере физического опыта и физических абстракций, когда же он начинает считать эти камешки, то он отвлекается от всех их физи­ ческих качеств и обращает внимание только на операции, необходимые для того, чтобы переложить их из одной кучки в другую. Исходные ма­ тематические понятия, по мнению Пиаже, сформировались в опыте, но не в сфере физического, а в сфере логико-математического или опера­ционального опыта, т.е. через наблюдение операциональной активнос­ ти. Ошибка традиционного эмпиризма состояла в том, что он ставил своей задачей вывести исходные представления математики из физиче­ ского опыта. Математика в своей сути — это наука о реальных и мыслен ных операциях, и, таким образом, она имеет предмет, определенный структурой операционального опыта.

Другой вариант эмпирического понимания математического мышле­ния был предложен И. Лакатосом в его известной работе «Доказательст­ ва и опровержения», а также в ряде статей, посвященных философии математики. Эмпиризм Лакатоса можно назвать методологическим, ибо он направлен прежде всего на критику традиционных представлений о строгости математического доказательства и проектов логического обос­нования математических теорий. Лакатос выдвинул положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Самое убедите льное доказательство, по его мнению, содержит в себе систему скрытых ощущений, неявных предпосылок, которые могут оказаться ошибочны­ми или противоречивыми. Полное выявление такого рода допущений, считает он, ни в одном конкретном случае не может быть достигнуто. Да­же если бы некоторое доказательство действительно оказалось полностью свободным от скрытых допущений, то мы все равно не могли бы доказать этого факта, т.е. его законченности. Лакатос убежден в том, что мы счита­ем доказательства строгими в соответствии с принятыми для данного вре­мени критериями строгости, которые не являются неизменными. Абсо­лютно строгих доказательств, с этой точки зрения, не существует, ибо доказательство, удовлетворяющее критериям строгости одной эпохи, мо­ жет оказаться нестрогим сточки зрения критериев другой эпохи.

К математическому эмпиризму можно отнести также и концепцию математики Ф. Китчера, основанную на психологической теории позна­ ния. Одна из основных целей Китчера состоит в критике априоризма. По его мнению, всякая интуиция, в конечном итоге, есть продукт опы­ та, и не существует никакой особой интуиции, которая могла бы гаран­ тировать полную надежность математического рассуждения.

В последнее время появились также воззрения на математику, которые можно назвать неоаприоризмом, поскольку они настаивают на априорно­ сти исходных принципов арифметики и евклидовой геометрии, трактуя остальные математические теории вдухе формалистской концепции. Ма­тематика с этой точки зрения разбивается на две части: первичная, апри­ орная математика, принципы которой обладают самоочевидностью и вто­ ричная, формальная математика, созданная для внешних (прикладных) задач, удовлетворяющая только требованию непротиворечивости. Некото­ рые попытки восстановления математического априоризма мы видим в работах Я. Хинтикки и ряда других философов. Неоаприористское воз­ зрение на природу математики представляется достаточно перспектив ным. Несомненно, что исходные математические теории, такие, как ариф­ метика, геометрия и логика, имеют прямую связь с универсальной онтологией, они тесно связаны с категориальным видением мира и имеют значение для мышления вне их прикладной ценности. Безусловно, Кант был прав, связывая исходные математические представления с общей ло­ гикой человеческого мышления.

Краткий обзор основных воззрений на природу математики убежда­ ет нас в том, что наряду со сдвигами в развитии самой математики про­ исходит постоянное совершенствование философии математики. Мы видим здесь смену воззрений и возрождение старых точек зрения. В философии математики мы не достигаем последних пределов, как и в развитии самой математики.

Философия и проблема обоснования математики

Проблема обоснования математического знания сводится к решению двух вопросов, а именно к обоснованию строгости (законченности) математических доказательств и к обоснованию непротиворечивости ма­тематических теорий, составляющих фундамент математической науки, прежде всего таких теорий, как арифметика и теория множеств.

Эти вопросы были в центре внимания логиков и философов на протяжении всего последнего столетия. Хотя окончательное решение проблемы обоснования до сих пор не достигнуто, несомненно, имеется существенное продвижение в смысле более глубокого ее понима­ния и разработки средств, которые могут быть использованы для решения.

На вопрос о том, являются ли математические доказательствастрогими, должен быть дан отрицательный ответ, если мы имеем в виду теории на стадии их становления, т.е. на стадии формирования понятий и логи­ ки рассуждения. Этот вопрос, однако, становится более трудным, если мы имеем в виду хорошо развитые математические теории, в которых выявлена система необходимых посылок и нет сомнений в характере ис­пользуемых логических средств. Математик, конечно, не сомневается в том, что основные доказательства алгебры и элементарной геометрии безупречны. Их трудно поставить под сомнение хотя бы потому, что они образуют логически связанную систему положений и сомнение в надежности одного из них ставит под вопрос существование теории в целом. Но можем ли мы все-таки обосновать полную надежность какого-либо конкретного доказательства? Трудность положительного ответа на этот вопрос заключается в том, что рассуждение, доказывающее строгость какого-либо доказательства, само должно быть обосновано в своей строгости и т.д. Это значит, что мы должны получить заключение о стро­гости доказательства не на основе математического доказательства, а из некоторых содержательных соображений, обладающих полной надеж­ностью. Но могут ли существовать содержательные и одновременно бе­зусловно строгие рассуждения? Подавляющее число логиков и филосо­фов сомневаются в совместимости этих требовании.

Длительная неопределенность в положительном решении вопроса по­ будила многих философов защищать противоположную идею, а именно настаивать на принципиальной нестрогости любого математического доказательства. Именно в этом плане И. Лакатос защищал положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Очевидно, что Лакатос исходит из эмпирического взгляда на формирование матема­тических понятий. Никакое понятие, по его мнению, не свободно от интуиции опыта, которые несовершенны и могут проявить себя в виде скрытых лемм или парадоксов на некотором этапе развития математической тео­рии. Сточки зрения априористской теории познания эти заключения, ко­нечно, не будут законными. Исходные понятия математики, данные в апо­диктической очевидности, не могут содержать дефектов, и математическое доказательство, сведенное к системе аподиктически очевидных шагов, должно быть признано в качестве абсолютнонадежного.Необходимо сде­лать выбор между этими двумя подходами. Это значит, что проблема стро­гости математических доказательств может быть решена только при прояс­ нении природы элементарных очевидиостей. лежащих в его основе. Она сводится, таким образом, к необходимости выбора между эмпиризмом и априоризмом как общими философскими воззрениями на природу мате­матических понятий. Надо признать, что в настоящее время мы пока не имеем аргументации,позволяющей сделать здесь однозначный выбор или некоторым образом примиритьдиаметрально противоположные подходы.

Обоснование математики в плане обоснования непротиворечивости математических теорий имеет аналогичные трудности. Эта проблема, как известно, была поставлена под влиянием парадоксов, обнаружившихся в теории множеств и математической логике в начале XX в. Парадоксы по­ ставили перед математиками две задачи. Первая из них состояла в том, чтобы найти общие причины этого явлении и указать минимальные огра­ничения для логики математических рассуждений, которые были бы до­статочными для устранения парадоксов. Вторая, более широкая задача состояла в том, чтобы сформулировать общие требования к математичес­кой теории, гарантирующие ее непротиворечивость. Первую задачу мож­но считать решенной. Уже в самом начале обсуждения проблемы Б. Рас­ сел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы. Метод, предло­женный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области опре­деления логических функций. Но являются ли эти ограничения достаточными для устранения любых парадоксов, в том числе и тех, которые могут появиться в будущем. Проведенные исследования пока не позволяют утвердительно ответить на этот вопрос, и есть основания считать, что при такой общей постановке проблема является неразрешимой.

В начале XX в. были намечены три программы обоснования математи­ки: логицизм, интуиционизм и формализм. Программа логицизма была сформулирована немецким математиком и философом Г. Фреге еще до по­ явления парадоксов. Суть этой программы состояла в том, чтобы свести понятия математики к понятиям логики и представить принципы матема­тических теорий в качестве общезначимых логических истин. Поскольку классическая логика базируется на простой и предельно ясной системе по­нятий, то, согласно Фреге, мы имеем основания предполагать ее абсолют­ную непротиворечивость. При принятии этого допущения редукция математической теории к логике может рассматриваться как строгое доказательство ее абсолютной непротиворечивости. А. Уайтхед и Б. Рассел в своем фундамен­тальном труде « Principia Mathematical » предприняли попытку систематического анализа основных математических теорий в плане их редукции к логике. Общий вывод состоял в том, что при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности такая редукция может быть осуществлена для всех основных математических теорий. Однако К. Гедель в своей знаменитой статье «О неразрешимых предложени­ях «Principia Mathematica» и родственных систем» (1931) показал, что поч­ти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при неко­торой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории. Отсюда следует, что использованные Уайтхедом и Расселом элементарные логические исчисления, поскольку они удовлетворяют требованию семан­тической полноты, в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий как систем, не обладающих свойством полноты. В настоящее время признано, что иссле­дования Геделя показали бесперспективность логицизма как программы обоснования математики.

Программа интуиционизма, родоначальником которой является Л. Брауэр, ставила задачу редукции математики к исходным представлени­ям арифметики, рассматривая последние в качестве необходимых и далее неразложимых интуиции сознания. При этом Брауэр существенно ограничил обычную логику математического рассуждения, изъян из нее закон ис­ключенного третьего и ряд других употребимых схем вывода. В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения, которые связывалилюбое утвердительное суждение об объ­екте с его предъявлением в качестве конструкции. Понятие актуального бесконечного множества полностью исключаюсь из математики как про­тиворечивое по своей сущности. Все допустимые математические объек­ты, по мысли Брауэра, должны быть построены на основе натуральных чи­сел и интуитивно ясных операций с ними. В пределах возможностей такою рода конструктивной перестройки математики она, считал Брауэр, является абсолютно гарантированной от противоречий.

Многие математики были согласны с Брауэром в том, что конструктив­ная математика сама по себе не может содержать противоречий и что если бы Брауэру удалось свести к арифметике достаточно широкую область ма­тематики, то вопрос о ее обосновании был бы решен положительно. Это­го, однако, не удалось сделать. Сам Брауэр вскоре увидел, что основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению. Последователи Брауэра построили интуиционистский анализи интуиционистскую тео­рию множеств, но эта деятельность, будучи интересной и продуктивной в математическом плане, очевидно, не решала проблемы обоснования клас­сической математики, которая является наиболее значимой для приложений. Интуиционистская программа обоснования математики оказалась, таким образом, несостоятельной вследствие своей узости.

Наиболее обоснованной теоретически была формалистская програм­ма, предложенная Д. Гильбертом. Мы можем понять сущность програм­мы Гильберта из его отношения к исследованиям Рассела и Браузра. Гильберт считал, что обоснование математики, предложенное Расселом, не является строгим, поскольку оно опирается на утверждения типа аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности, которые могут быть поняты только как некоторого рола гипотезы. Он был категорически не со­ гласен с подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики. Вместе с тем он соглашался с Фреге и Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута толь­ ко через уточнение ее языка и через прояснение логической структуры теории. Гильберт, как это признано, взял у логистов понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории. Отрицая ин­туиционизм как способ обоснования математики, он соглашался с Брауэром в том, что закон исключенного третьего неприменим к математическим утверждениям, связанным с бесконечностью. Как и Брауэр, он считал, что истинность математического суждения относительно бесконечного множества предметов не может быть проверена а вследствие этого строгая альтернатива, выражаемая законом исключенного третье­ го, не может быть применена к нему в качестве безусловной истины.

Исходя из этого положения, Гильберт сформулирует принцип фини-тизма, согласно которому оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только через конечное. Финитизм Гильберта, однако, не столь радикален, как финитизм Брауэра: если Брауэр хотел устранить актуальную бесконечность из математики вообще как понятие, не име­ющее смысла, то Гильберт считал возможным сохранить его в тех преде­лах, в которых оно допускает финитное обоснование.

Процедура обоснования математики, согласованная с этими общими установками, предполагает полную формализацию теории, заключаю­щуюся в представлении ее аксиом в виде не имеющих содержания стро­чек символов. Математическая теория тем самым превращается в объ­ект, подчиненный чисто внешним (формальным) манипуляциям, основанным исключительно на структуре ее формул. В плане классифи­кации очевидностей можно сказать, что формализация представляет со­бой редукцию всех типов математической очевидности к предметной и логической очевидности.

Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования (принцип индукции и т.п.), допустимые для действий в рамках формализованной теории.

Целью формалистского анализа, как и всякого другого обосновательного рассуждения, являются, конечно, реальные математические теории, различающиеся по своему содержанию и методу. Специфика формалистского полкола состоит в том, что заключение о непротиворечивости ре­альной математической теории предполагается вывести из непротиворечивости ее формализованного аналога. Формалистское обоснование покоится на допущении, что непротиворечивость формализма, будучи доказанной, гарантирует полную надежность содержательной теории.

Успех формалистского обоснования обеспечивается, очевидно, на­дежностью метатеоретического доказательства. Гильберт формулирует ряд требований к метатеории, которые известны как принципы гильбертовского финитизма. Они могут быть сведены к положениям, согласно которым метатеория является:

1) синтаксической в том смысле, что она имеет дело только со знаковой структурой теории и с преобразованиями, допустимыми в этой структуре. Строгое метатеоретическое обоснование непротиворечивос­ти теории — это обоснование, апеллирующее только к синтаксису теории и не использующее никаких допущений о содержании ее понятий;

2) содержательной, поскольку она относится к конкретному формальному предмету;

3) финитной, ибо она не имеет дела с операциями с бесконечными
множествами и с математическими принципами, связанными с допуще­нием актуальной бесконечности;

4) конструктивной в том смысле, что всякое утверждение о существовании объекта в ее рамках должно быть подтверждено процедурой его построения.

Легко видеть, что все эти требования являются необходимыми для метатеории с точки зрения понятия строгости, сформировавшегося в начале века под влиянием логицистского и интуиционистского анализа проблемы.

Гильберт также считал, что метатеория должна включать в себя только математически определенные понятия. Речь идет здесь о требовании, которое пол учило в дальнейшем название принципа отделения оснований от философии. Это положение означает, что выделение принципов метатео­рии должно совершаться только на основе математических критериев. Гильберт отожде­ствляет априорность с финитностью и формулирует требование финитности в качестве основного критерия для метатеории. Мотив этой замены ясен: требование финитности является математическим и предположительно бо­лее определенным, чем философское понятие априорности. Гильберт не допускает в рамках метатеории принципов и терминов философского ха­рактера, не имеюших адекватного математического представления.

Программа Гильберта была поставлена пол сомнение теоремой Гёделя о непротиворечивости. Согласно этой теореме, если некоторая теория не­ противоречива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории. Иными словами, мы не можем доказать непротиворечивость арифмети­ки, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики. Ясно, что это противоречит исходному замыслу Гильберта, который надеялся обосновать сложные математические теории некоторыми достаточно простыми средствами, включенными в метатеорию.

Провал программ обоснования математики привел к устойчивому скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще. Многие современные математики и философы склонны считать, что убеждение в непротиворечивости математических теорий базируется исключительно на практике их использования, которая подтверждает их достаточную надежность в различных областях науки и техники. В этом случае мы должны признать, что математика, как и другие науки, обосно­вывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности. Существуют, однако, и другие, более оптимистичные концепции обоснования, предполагающие возмож­ность новых подходов к обоснованию непротиворечивости математичес­ких теорий, которые не связаны с трудностями классических программ.

Один из возможных подходов состоит в гносеологической реабилита­ции логических средств, запрещенных в рассмотренных программах обос­нования математики. В гильбертовской программе обоснования, как мы это видим, все зависит от дедуктивных возможностей метатеории, которая ограничена определенной системой требований. Но в какой мере являют­ся оправданными эти требования? Современные исследования все с боль­шей определенностью приводят нас к выводу, что эти требования могут быть существенно смягчены без ущерба для строгости метатеоретического рассуждения. Одним из требований к мета теоретическому рассуждению является требование конструктивности, которое сводится к недопущению в системе логических норм закона исключенного третьего и классическо­го (нефинитного) истолкования квантора общности. Логические исследо­вания, проведенные в течение последнего столетия, свидетельствуют, од­нако, о полной надежности классической логики. Здесь достаточно напомнить об исследованиях А. Н. Колмогорова, которые показывают, что теории, использующие закон исключенного третьего, могут быть переве­дены в систему рассуждений, не опирающуюся на этот закон. Об этом же говорит и теорема Гёделя, согласно которой классическая арифметика яв­ляется столь же непротиворечивой, как и арифметика интуиционистская. С точки зрения этих и многих других результатов представляется право­мерным вывод о полной надежности классической логики и о неправо­мерности брауэровскрой критики закона исключенного третьего. Но если верно, что закон исключенного третьего не имеет тех дефектов, которые приписывает ему интуиционистская критика, то мы можем отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Можно настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности мета­языка, которые представляются действительно существенными. Анализ показывает, что такая либерализация метатеории, будучи теоретически оп­равданной, привела бы к строгому обоснованию арифметики, математиче­ского анализа и существенной части теории множеств.

Аналогичная критика представляется справедливой и в отношении не­которых других требований к метатеорий. Современный анализ логики ма­тематического мышления позволяет утверждать, что семантические средст­ва должны быть признаны в качестве законного элемента об основательных рассуждений, несмотря на то, что они не могут быть включены в метатео­рию в ее гильбертовском понимании. Сторонники строгого гильбертовско­го подхода ставят здесь неоправданные запреты. Э. Мендельсон пишет о непротиворечивости принятого им варианта формализованной арифмети­ки (системы S): «Если мы признаем стандартную интерпретацию моделью теории S, тогда мы должны признать и факт непротиворечивости этой сис­темы, однако семантические методы, включающие в себя, как правило, известную долю теоретико-множественных рассуждений, по мнению не­которых математиков, являются слишком ненадежной основой для доказа­тельства непротиворечивости». Если философский и методологический анализ математического рассуждения позволяет обосновать надежность се­мантических средств, по крайней мере в известных пределах, то все доказа­тельства не противоречивости, опирающиеся на такого рода качественную семантику; должны быть признаны законными, обладающими абсолютной достоверностью. Представляется, что разделение доказательств на семан­тические и синтаксические, безразличное для обычной математической практики, должно быть признано безразличным и для сферы рассуждений. В настоящее время уже имеются убедительные с ма­тематической точки зрения доказательства непротиворечивости математи­ческих теорий с использованием семантических соображений. Здесь можно укатать на доказательство непротиворечивости арифметики, данное Н.М. Нагорным, которое исходит из понятия реализуемости.

Гносеологический анализ показьвает, что слишком сильным и не впол­не оправданным является также общее требование Гильберта к структуре метатеории, предусматривающее полное исключение из нее определений, не относящихся к математике. Несомненно, что метатеоретическое рас­суждение может прибегать к очевидным (интуитивно яс­ным) представлениям, не имеющим строгого математического определе­ния. Мы можем, к примеру, принимать некоторые логические и общие математические принципы как априори истинные, без математического уточнения понятия априорности. Разумеется, что эта стратегия должна быть обоснована в рамках гносеологического анализа априорности.

Современный логический и гносеологический анализ свидетельству­ет, что мы можем отказаться не только от ограничений на логику мета­теории, но в определенной мере и от требования финитности. Этот по­следний шаг, будучи обоснован, обеспечил бы принятие известных доказательств непротиворечивости арифметики.

Из сказанного можно сделать следующий вывод: проблема обоснова­ния математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле и есть все основания пола­гать, что возможности ее положительного решения не так ограничены, как это представляют себе скептики, опирающиеся исключительно на факт провала традиционных программ обоснования. У нас нет абсолют­ных запретов на появление других более успешных программ, которые бу­дут- исходить из более адекватных представлений о природе математичес­кого мышления и об условиях его строгости. Мы должны хорошо осознавать то обстоятельство, что наше продвижение к строгому обосно­ванию математики зависит от нашего понимания природы математичес­кого мышления, которое находится в процессе постоянного совершенства.

Тема 3. Философско-методологические и исторические проблемы математизации знания. Физика, математика и компьютерные науки.

Логическая автономность математики не означает автономности функ­циональной: математика развивается не для самой себя, а в ориентации на запросы научного знания. Особенности развития математического знания могут быть в полной мере поняты только с учетом этой внешней связи. Развитие математики в Новое время, конечно, не было автоном­ ным, оно было продиктовано развитием техники, промышленности итеоретического естествознания. Развитие математического анализа, как известно, самым тесным образом связано с проблемами механики и те­оретической физики в целом. Расширяющееся приложение математики к нематематическим наукам составляет суть пронесся, который мы на­ зываем математизацией знания.

Общая схема математизации знания предельно проста и сводится в ко­нечном итоге к интерпретации математической теории через понятия тео­рии содержательной или, если идти со стороны содержания, к выявлению математических связей и отношений, отражающих определенные аспекты реальности, зафиксированные в содержательной теории. Классическим примером эффективной математизации является применение математики к проблемам механики. Это применение основано на структурном тожде­ стве .математических и содержательных законов. Мы замечаем, что если дана формула, выражающая зависимость пройденного пути от времени, то производная от этого выражения по времени будет соответствовать вели­ чине скорости движения, а вторая производная — величине ускорения. Это замечательное соответствие математических и физических понятий позволяет все понятая и связи механики записать в виде математических функций и установить между этими функциями четкие, чисто математиче­ ские связи. Проблемы механики переводятся таким образом в чисто мате­матическую плоскость, точно таким же образом, как. проблемы геометрии были в свое время преобразованы Декартом в проблемы алгебры благода­ря выявлению соответствия между геометрическими и алгебраическими понятиями. В процессе математизации, однако, математическая теория интерпретируется не в понятиях другой математической теории, а в поня­тиях теории содержательной.

Важно заметить, что процесс математизации зависит как от развития математики, так и от зрелости содержательной науки. Математизация механики не состоялась бы, если бы не была разработана в достаточной мере теория дифференциального исчисления, но, с другой стороны, она не состоялась бы без ясного определения таких понятий, как масса, ус­корение, количество движения и т.д. Без этих понятий мы не сформули­ ровали бы в ясной форме законов механики и не смогли бы выявить их c обственно формальную или математическую структуру. Математика применяется к тем областям знания, которые достигли достаточно вы­ сокой степени структуризации своего объекта. Практика показывает, что далеко не все науки способны к ясной структуризации предмета, обеспечивающей использование математического метода.

Пример механики позволяет нам ввести важное понятие классичес­ кой или полной математизации. Мы будем называть математизацию те­ ории полной, если:

• качественные характеристики объектов теории допускают адекватную меру;

• все основные понятия и принципы теории поддаются выражению в математических понятиях;

• математическая теория позволяет осуществить достаточно точные предсказания в области действия (приложения) этой теории.

Очевидно, что классическая механика уже в XVIII в. достигла степени полной математизации. Не только исходные понятия теории, какими явля­ ются сила, масса и ускорение, определены через строгие формальные отно­ шения к другим понятиям, но и все производные понятия выведены на ос­ нове исходных. То же самое относится и к единицам измерения. Исходные величины, а именно величины массы, длины и времени определены через общезначимые эталоны, производные же величины — через исходные на основе теоретических связей между ними. Полная математизация имеет место также и в других физических теориях, таких, как термодинамика, электродинамика, квантовая механика и теория поля. Принципы этих тео­рий имеют адекватное математическое представление, все их внутренние величины определены через исходные, и эти теории обладают высокой адекватностью отражения реальности в том смысле, что они способны да­ вать точные предсказания и описания процессов, протекающих в природе и в различного рода технических устройствах.

Для математизации научной теории принципиально важным являет­ ся допустимый в ней способ измерения величин. Мы должны различать адекватные и неадекватные меры. Меру величины можно назвать адек­ватной, если мы убеждены, что большей величине соответствует боль­ шая мера, равным величинам — равные меры и при увеличении величи­ны в некоторое число раз ее мера увеличивается в то же самое число раз. Адекватная мера предполагает наличие способа измерения, прежде все­ го, единиц измерения, зафиксированных в виде устойчивых эталонов. Все физические величины обладают в этом смысле адекватной мерой, поскольку они выражаются в конечном итоге через меры длины, массы и времени, которые фиксируются с предельной определенностью.

Основной недостаток теорий за пределами физики заключается в от­сутствии адекватных мер. и поэтому приходится прибегать, как правило, к условным мерам, которые мало пригодны для точного выражения функциональных связей. У нас нет адекватной меры для определения величи­ны грамотности общества, и мы вынуждены пользоваться для выражения се такими условными характеристиками, как среднее число лет, которое затрачивается в данной стране на обучение ребенка, уровень финансиро­ вания системы образования и т.д. Конечно, мы имеем качественные при­знаки, позволяющие отличить развитую экономику от менее развитой, но не существует единого показателя, позволяющего дать точное количест­венное выражение качества экономической системы. Условность измере­ния ведет к условности устанавливаемых функциональных связей и к ограничению теоретического анализа в смысле точности предсказаний.

Существенное отличие современной математизации от классической состоит в том, что она не является полной. Она фрагментарна в том смыс­ле, что математическому моделированию поддаются лишь некоторые ча­стные процессы, исследуемые теорией, но не теория в целом. Мы строим здесь модель для некоторого процесса, не имея математического представ­ ления об основных понятиях и принципах теории. Примером такой час­тичной математизации является математическая модель сосуществования хищников и жертв в биоценозе, предложенная В. Вольтерра. Интуитивно ясно, что увеличение числа зайцев в лесу как потенциальных жертв ведет к увеличению числа волков как особей, потребляющих зайцев в пищу, и что слишком бурное размножение волков должно привести к уменьшению числа зайцев и, в конце концов, к сокращению числа волков. Намечается, таким образом, некоторое взаимодействие двух линий развития вовремени. Известно, что математическое моделирование процессов в биоценозе даст неплохие результаты в прогнозах вылова pa з личных пород рыб по сезонам в замкнутых водных бассейнах.

Этот пример показывает особенности не классической (фрагментар­ ной) математизации. Такая математизация не захватывает принципов на уки в целом, она относится исключительно к некоторым выделенным, изолированным фрагментам. Важно также то, что такого рода математиза­ ция не опирается на адекватные меры и не обеспечивает точного предска­зания. Математизация знания за пределами физики является фрагментарной и неточной из-за отсутствия адекватно измеряемых величин. Имеются серьезные доводы в пользу того, что математизация за пределами физики не имеет шансов стать полной и адекватной математизацией в определен­ ном выше смысле. Ни одна гуманитарная наука, конечно, не может до­стичь такой законченной аксиоматической структуры изложения, кото­ рую приобрела механика уже на ранней стадии своего развития. Опыт науки последних десятилетий показывает, однако, что несмотря на указан­ ные недостатки фрагментарной математизации, она завоевывает все но­ вые и новые области, демонстрируя таким образом свою полезность. Все говорит о том, что гуманитарные науки по мере своего развития будут тре­бовать все более широкого использования математических методов.

В философском плане основная проблема математизации состоит в прояснении ее онтологической основы, ее обусловленности сложностью предмета науки. История науки ясно показывает, что математической об­работке поддаются только те теории, в которых могут быть выявлены мо­дели, пригодные для количественной обработки и для определения в точ­ ных понятиях. Математизация знания зависит, таким образом, в первую очередь от внутренних особенностей самого этого знания, от его способ­ности к внутренней определенности, от наличия в нем достаточно опре­ деленных и вместе с тем достаточно содержательных схем. Научные тео­ рии сильно различаются по своей способности к строгому определению понятий и в разной степени способны к представлению своих законов в математических понятиях. Проблема состоит в уяснении условий, обус­ ловливающих возможность математизации знания, в установлении тре­ бований, позволяющих понять возможную сферу эффективности матема­тического метода. В настоящее время мы не имеем здесь сколько-нибудь ясных представлений, и можно сказать, что существующая теория мате­ матизации знания ограничивается пока лишь анализом ее истории и срав­ нением типов задач и используемого математического аппарата.

Современная математизация знания отличается от классической и о том смысле, что она тесно связана с развитием вычислительной техники и в этом плане может быть квалифицирована так же, как его компьюте­ ризация. Это обстоятельство объясняется прежде всего тем, что модель­ный и приближенный характер современной математизации требует со­ вершенствования (подгонки) модели к условиям реальности. Такого рода совершенствование модели не может быть достигнуто средствами тради­ ционного теоретического анализа, но во многих случаях легко достигает­ся на основе вычислительною эксперимента. Можно сказать, что вычис­ лительный эксперимент позволяет преодолеть самый существенный недостаток фрагментарной математизации — отсутствие адекватных мер и точности предсказания. Известно, что достаточно точные модели пове­дения объектов могут быть построены и в тех случаях, где еще не достиг­нуто адекватного теоретического описания и даже нет ясного понимания процесса. Продвижение математических методов в психологию и гума­нитарные науки было бы невозможным, если бы мы должны были опи­раться здесь только на достигнутое теоретическое понимание процессов и на строгую дедукцию из принципов. Современная математизация об­ ладает, таким образом, некоторой независимосгью от теории, что являет ся одним из ее преимуществ перед математизацией классической.

Для понимания математизации знания и общего механизма соотно­ шения математики и опыта в процессе развития науки важно также по­яснить такие относящиеся к ней явления, как математическое предвос­ хищение и математическая гипотеза. Явление математического предвосхищения состоит в применении к описанию реальности матема­ тических понятий и теорий, созданных первоначально исключительно из теоретических соображений, без прямой связи с опытом. Так. мате­ матическая теория групп, созданная Лежандром, Абелем и Галуа, нашла в прошлом столетни использование в квантовой механике и теории эле­ ментарных частиц, а неевклидовы геометрии - в теории относительно­сти. Аналогичным образом обнаружилась тесная связь с опытом абст­ рактных топологических пространств и даже закономерностей распределения простых чисел, которые открывались, конечно, без вся­кой связи с запросами теоретического естествознания. А. Эйнштейн в статье о Кеплере высказывав восхищение загадочной гармонией приро­ды и мысли, благодаря которой геометрические фигуры, придуманные древними, а именно эллипс и гипербола, нашли в Новое время реализа­ цию в орбитах небесных тел. Н. Бурбаки также усматривает проблему в том, что некоторые аспекты экспериментальной действительности «как будто в результате предопределенности» укладываются в некоторые из существующих математических форм. Конечно, здесь не следует усма­ тривать какой-либо мистики. Эти факты показывают, однако, наличие глубинных связей между развитием математики и опытных наук, кото­ рые не сводятся к простому взаимовлиянию структур и которые нам предстоит еще понять в процессе методологического анализа.

Явление математической гипотезы состоит в том, что чисто формаль­ ные, иногда даже непреднамеренные изменения математических урав­нений, описывающих определенные стороны реальности, приводят к закономерностям описывающим другие стороны реальности или существенно расширяющим поле использования первоначальной теории. Впе­чатляющим примером такой формальной вариации является уравнение Шрёдингера, полученное в результате модификации классического волно­вого уравнения. Этот путь привел в конечном итоге к прояснению принци­ пов квантовой механики и широкого поля ее приложений. Особенностью этого пути является то, что математический аппарат теории появляется раньше его адекватной содержательной интерпретации. Некоторые иссле­дователи методологии науки видят в этом новую форму взаимодействия между математикой и научной теорией, появившуюся в XX в., которая ха­ рактеризуется тем, что математика начинает играть ведущую и решающую роль в становлении физической (содержательной) теории.

Математическая гипотеза родственна математическому предвосхище­нию, так как в том и другом случае речь идет об активной и опережающей роли математики в развитии содержательной теории. Но тут есть и сущест­ венное различие: говоря о математическом предвосхищении, мы фиксиру­ем некоторого рода исторически реализующуюся тенденцию, способность математики готовить форму для новых физических теорий, в то время как в случае с математической гипотезой мы говорим о сознательном исполь­зовании этой особенности развития математики, т.е. о некотором метоле, основанном на этом свойстве математической теории. Можно сказать, что математическая гипотеза является методологической реализацией, пред­восхищающей способности математического мышления.

Современная математизация знания в методологическом плане пред ставляет собой сложное, противоречивое и во многих отношениях еще не вполне понятое явление. Мы ясно видим, что, хотя усложнение объекта исследования создает почти непреодолимые затруднения для математиче­ ского представления теории, спрос на математику со стороны науки, в том числе и наук за пределами физики, постоянно растет. Вопрос о пер­ спективах математизации знания, таким образом, остается открытым. Для понимания этих перспектив необходимо иметь более определенные знания об условиях применения математики к таким объектам, как объ­екты биологии, психологии и социальной науки. Достаточно полной ме­ тодологической теории, отвечающей на эти вопросы, мы пока не имеем.

---

Дата добавления: 2018-06-27; просмотров: 1402; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!