Расчет величины рискового капитала
В данном разделе рассмотрена реализация разработанной модели АМА на примере расчета капитала на покрытие операционного риска одного из кредитных банков средней величины. Будем в дальнейшем называть его - Банк.
В качестве источников данных о потерях кредитных организаций,
связанных с операционными рисками, была использована база ORX Analytics (далее - ORX), и консолидированные данные агентства Fitch. ORX - международная база данных, консолидирующая анонимную информацию о потерях операционных рисков, более чем 200 кредитных страховых и инвестиционных компаний из более чем 11 стран мира (ORX 2010).
На основании данных ORX основными факторами операционного риска являются «Внешнее мошенничество» и «Внутреннее мошенничество» (более 75% убытков за последние 5 лет приходятся именно на них). Для демонстрации работы реализованного алгоритма АМА рассмотрена упрощенная модель симуляции убытков по трем следующим категориям риска:
· «Внешнее мошенничество» (1);
· «Внутреннее мошенничество» (2);
· «Прочие» (3).
Распределение величин убытков
Оценка параметров обобщенного распределения Парето при предположении о постоянном, нормальном и логистическом распределении порога значимости проводилась на основании алгоритма, описанного в главе 2 средствами MATLAB (Приложение №8 «Листинг MATLAB»).
Результат оценки параметров представлен в Приложении №4 «Оценка
вероятностных распределений убытков» (таблица 4.1).
|
|
Поскольку тесты Колмогорова-Смирнова и Андерсона-Дарлинга не могут быть использованы для распределений, превышающих установленный порог, выбор распределения порогового значения проводился на основе информационного критерия Акаике:
,
где L - значение функции максимального правдоподобия, q - число оцениваемых параметров распределения.
На основании полученных результатов (таблица 4.1), логистическое
распределение наилучшим образом описывает распределение порогового
значения и.
Таким образом, для моделирования величин убытков категорий 1-3
использована модель с логистическим распределением порога значимости и параметрами:
Распределение частоты наступления убытков
Оценка распределения частот наступления убытков по категориям 1-3
проводилась методом максимального правдоподобия в пакете MATLAB:
Для моделирования частот наступления убытков категорий 1-3 наилучшим образом подошли следующие вероятностные распределения:
Матрица корреляций Кендалла частот наступления убытков категорий 1-3 приведена в таблице 4.2 Приложения №4.
Расчет величины ожидаемых убытков и рискового капитала
Проведем дискретизацию полученного набора вероятностных распределений величины убытков методом взвешенного среднего. Шаг дискретизации h выбран равным 100 тыс. рублей, число точек дискретизации D выбрано равным 1048576 = , так чтобы максимально возможный убыток (100 млрд. рублей РФ) заведомо превышал 99.9% квантиль распределения величины убытков.
|
|
Расчет величины математического ожидания
для каждого шага h производился численно средствами MATLAB. Листинг модуля дискретизации приведен в Приложении №8 «Листинг MATLAB».
Оценка коэффициента корреляции частоты наступления событий проводилась по формуле (исходя из определения):
.
Матрица линейных корреляций была получена из
Матрицы корреляций и приведены в Приложении №4 «Оценка вероятностных распределений убытков» таблица 4.2.
Моделирование набора частот для распределений Пуассона , осуществлялось на основе копулы Гаусса и t-копул Стьюдента для 1-й, 3-х и 5-и степеней свободы (v=1,3,5). Число итераций М было выбрано равным 500тыс., 1 млн., 10 млн. В разделе 3.3 приведено исследование зависимостисходимости процесса Монте-Карло от числа итераций. Корреляционнаяструктура равномерно распределенных случайных величин в 2-х и 3-х мерномразрезе для различных копул приведена в Приложении №5 «Стохастическоемоделирование величины совокупного убытка». Листинг модуля генерацииматрицы Freq__Mtrx частот приведен в Приложение №8 «Листинг MATLAB»,(модуль Freq_Generation.m).
|
|
Первые три столбца матрицы содержат набор независимых частот наступления убытков; следующие три столбца содержат набор идеально зависимых частот наступления убытков, полученных при помощи копулы Гаусса с единичной корреляционной матрицей и используемых для сравнения с результатами методики LDA; следующие три столбца (7-9) содержат набор зависимых частот, полученных при помощи копулы Гаусса и корреляционной матрицы ; следующие 9 столбцов содержат набор частот, полученных при помощи t-копул Стьюдента с v = 1,3,5 степенями свободы и корреляционной матрицей соответственно.
Численный расчет корреляционного поля полученных зависимых процессов матрицы Freq_Mtrx эмпирически подтверждает разработанный алгоритм стохастического моделирования генерирования случайных процессов с предопределенной структурой зависимостей:
;
Средневзвешенное квадратичное отклонение составляет менее 4%, что обусловлено исключительно числом произведенных итераций:
Дискретизация вероятностного распределения совокупной величины убытков для каждой итерации t вычислялась при помощи модуля FFT.m (Приложение №8 «Листинг MATLAB»). При реализации функции FFT.m были использованы алгоритмы быстрого прямого и обратного преобразования Фурье.
|
|
Входными параметрами модуля FFT.m являются:
· - t-вектор матрицы случайных частот наступления убытков по каждой их трех категорий риска и в разрезе 6 структур различных зависимостей ;
· - матрица дискретных распределений величин убытков по трем категориям риска.
На рисунках 5.1, 5.2 Приложения №5 «Стохастическое моделирование
величины совокупного убытка» приведены 100 случайно выбранных траекторий совокупных значений величин убытков по каждой из трех категорий риска для случая независимых убытков и структуры зависимостей, определенной при помощи t-копулы Стьюдента (v=1).
Оценка величины рискового капитала. Подходы LDA иАМА.
Модель LDA
В соответствии с упрощениями, предложенными Базельским Комитетом (Базель II) при реализации подхода LDA, использовано предположение о наличии идеальной корреляции между убытками, что позволяет получать величину совокупного рискового капитала К суммированием величин для каждой категории убытков :
при (3.1)
При помощи аппроксимации (3.1) были получены оценки величин VaR в разбивке по категории риска и по кредитной организации в целом:
• 250.2 млн. рублей для уровня значимости 99.9%;
• 74 млн. рублей для уровня значимости 99.5%.
Проверка адекватности полученных на основе аппроксимации (3.1) величин VaR для рассмотренного примера проводилась при помощи численного моделирования зависимых случайных процессов наступления убытков (с коэффициентом корреляции 1) и расчета величины рискового капитала на их покрытие на основе разработанного программного инструментария. Столбцы 4-6 матрицы , полученной в предыдущем разделе, содержат сгенерированный набор зависимых частот , моделирующих наличие идеальной корреляции между убытками.
Расчет величины VaR дискретного вектора вероятностного распределения реализован в модуле CaR_Calculation.m (Приложение №8 «Листинг MATLAB»).
В качестве аргументов в функцию CaR_Calculation.m последовательно передавались строки матрицы для каждой категории риска и трех векторов частот наступления убытков .
Данный алгоритм был проделан в цикле миллион раз для каждого шага t смоделированных частот, затем полученные денежные эквиваленты квантилей по всем траекториям были сгруппированы по категориям риска, сложены и усреднены по числу итераций.
Полученные результаты (Приложение №6 «Сравнение расчетных значений рискового капитала») свидетельствую о том, что при уровне достоверности близком к единице аппроксимация (3.1) может быть использована для оценки квантиля многомерной свертки независимых распределений (относительная погрешность составляет 8.2 %). При относительная погрешность составляет более 20 % и ее использование не приемлемо.
Модель АМА
Расчет величины VaR в рамках подхода АМА также производился при помощи модуля CaR _ Calculation.m .
В качестве аргументов в функцию CaR_Calculation.m последовательно передавались строки матрицы для каждой категории риска и различных типов частот наступления убытков , сгенерированных при помощи копулы Гаусса и t-копулы Стыодента для v = 1,3,5 степеней свободы, моделирующие различные структуры зависимостей.
Алгоритм cтохастической модели Монте-Карло аппроксимации случайной суммы, был проделан в цикле миллион раз для каждого шага t смоделированных частот, затем полученные денежные эквиваленты квантилей по всем траекториям были сгруппированы по категориям риска, сложены и усреднены по числу итераций.
В таблице 2 представлено сравнение величин рискового капитала в разрезе по категориям риска, полученные для случая независимых распределений частот и для случая коррелированных убытков, моделирование которых осуществлялось при помощи копулы Гаусса и t-копул Стьюдента с v = 1,2,3 степенями свободы.
Помимо расчета величины VaR, в модуле CaR _Calculation.m также реализован расчет показателя ES на основе меры риска Expected ShortFall, удовлетворяющей аксиомам когерентности. Детализированные результаты сравнения полученных расчетов приведены в Приложении №6 «Сравнение расчетных значений рискового капитала».
Таблица 2.
Сравнение расчётных значений капитала на покрытие операционного риска (млн. рублей).
В соответствии с результатами полученных расчетов величина
принимает наибольшее значение при предположении об идеальной зависимости убытков (модель LDA, уровень значимости: 99.9%): 243,9 млн. рублей. Наименьшее значение величина принимает при предположении о независимости убытков (208.1 млн. рублей). При моделировании зависимостей убытков с использованием копулы Гаусса величина составляет 213.2 млн. рублей. Использование t-копул Стьюдента приводит к более высоким расчетным значениям величины CaR: 241.5, 238.6, 231.6 млн. рублей для - tl, t3, t5 соответственно.
Данный результат наглядно демонстрирует искомый эффект экономии рискового капитала за счет учета диверсификации рисков и полностью согласуется с теорией копул, выявляющей усиление структур зависимостей копул в последовательности:
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 202; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!