Дискретні випадкові величини - ДВВ. Закони розподілу ймовірностей для ДВВ. дії над ДВВ
Випадкові події. Класифікація подій. Класичне значення поняття "ймовірність".Відносна частота (частість).Статистичне означення поняття "ймовірність" Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою . Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V.Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, … Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій W: P(A)= m /n. Відношення m до n називається відносною частотою елементарної події е в даній серії з n випробувань. Відносна частота елементарної події е характеризує середню можливість її відбування у кожному з n випробувань. Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n.
Класичне означення імовірності події. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї
Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій W: P(A)= m /n.
|
|
Властивості: Ймовірність повинна бути невід’ємна; ймовірність вірогідної події дорівнює 1; ймовірність попарно несумісних подій дорувнює сумі ймовірностей цих подій; ймовірність події, протилежної данній дорівнює різниці 1 та ймовірності цієї події; ймовірність номожнивої події дорівнює нулю; ймовірність суми двох довільний подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добітку; ймовірність події А, яка спричинює подію В, не більша за ймовірність події В і ймовірність різниці В-А дорівнює різниці ймовірностей В та А; ймовірність будь-якої події може набувати значень від 0 до 1. Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді: а) якщо події В і С незалежні, то P(A)=P(BC)=P(B)*P(C); б) якщо події В і С залежні, то P(A)=P(BC)=P(B)*P(C/B).
Довести теорему суми імовірностей та 3 наслідки з неї
Теорема: Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі іморвіностей цих подій, тобто
Р(А+В) = Р(А)+Р(В) Сумою подій А і В називає подія С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробування або подій А, або події В, або обох разом. Суми 2-ох подій позначають С=А+В, або С=АВ. Доведення: Нехай в результатів деякого випробування відбувається n елементарних подій. Зобразимо ці події n точками: Нехай з усіх n подій подія А сприяють m подій, а події В – h подій. Тоді імовірність події А є Р(А). Оскільки події А і В несумісні, то немає подій. Які б одночасно сприяли обом подіям А і В. Очевидно, що події А +В сприяють m+Р подій. Тому Р(А+В) . Підставляючи значення Р(А), Р(В), Р(А+В) у рівність (1), дістанемо тотожність, що і доводить теорему. Р(А1+А2+...+Аn) = Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn) З теореми додавання випливають два наслідки. Сума імовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, = 1. Дві події називаються протилежними, якщо одна і лише одна з них обов’язково здійсниться в даному випробуванні.
|
|
Сума імовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто Р(А) + Р(В)=1
Довести теореми (формула повної ймовірності та формули Байеса)
Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою
де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А. Наведена залежність називається формулою повної ймовірності. Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:
|
|
Дискретні випадкові величини - ДВВ. Закони розподілу ймовірностей для ДВВ. дії над ДВВ
Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій W. Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір W дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.
Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.
Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.
|
|
Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістанемо многокутник розподілу ймовірностей).
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 325; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!