Теорема сложения вероятностей совместных событий
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Р(А)+Р(В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
Вероятность появления хотя бы одного события
Вероятность появления события А заключающееся в наступлении хотя бы одного из независимых совокупностей событий .А1,А2…Аn равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных событий А1,А2…Аn
Р(А)=1-q1*q2*…*qn
Пр.: Два стрелка одновременно выстреливают в мишень. Вер-ть попадания для 1-го =0,6; для 2-го 0,8.; Найти: А)Вер-ть того что в мишени будет 1 пробоина. В)будет хотя бы одна пробоина. Реш.: В мишени будет 1 пробоина т.ит.т.к. 1-ый попал и 2-ой промахнулся, 1-ый промахнулся и 2-ой попал.
А=(В1`В2+`В1В2)=Р(В1`В2)+Р(`В1В2).
Используем терему для независ. вер-тей.
Р(В1)=0,6; Р(`В1)=1-0,6=0,4; Р(В2)=0,8; Р(`В2)=0,2.; Р(А)=0,6×0,2+0,4×0,8=0,44.
ХОТЯБЫ 1 => Р(с)=Р(А+D) {D-2-е попадание} P(D)=P(B1×B2)=P(B1)P(B2)=
=0,6×0,8=0,48.; P(c)=0,92.
15. Что называют разницей событий. Примеры.Разностью событий A и B называется событие A-B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит A и не происходит B.
16. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместимых событий.Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.
|
|
|
Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно,
Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.
Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р (В), окончательно получим
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Р е ш е н и е. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.
Вероятность появления красного шара (событие А)
Р (А) = 10 / 30 = 1 / 3.
Вероятность появления синего шара (событие В)
Р (В) = 5 / 30 = 1 / 6.
События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность
P (A + B) = P (A) + P (B) = l / 3 + l / 6 = l / 2.
Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.
Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления.
p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)
Доказательство:
A+B=AB+AB+AB (сумма несовместных пар)
Тогда p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)
Событие A=AB+AB,
Событие B=AB+AB
p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)
Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.
|
|
|
p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B), где A и B - независимые;
p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A),
где A и B - зависимые;
Какие события называют независимыми. Дайте определение независимых в совокуности событий.
события А и В называются независимыми, если P(AB)=P(A)P(B)
Свойства независимых событий:
1.если P(B)>0, то независимость А и В эквивалентна требованию : PB(A)=P(A)
2.если события А и В независимы, то и события 
и В также независимы
3.пусть события А и В1 независимы, А и В2 независимы, В1В2=Ø, то есть В1 и В2 несовместны. Тогда события А и В1+В2 независимы.
4.если события А и В являются независимыми с положительными вероятностями, то они являются несовместными.
Следствие.Если события А и В несовместны и P(A)>0, P(B)>0, то А и В обязательно зависимы.
События А1, А2,…, Аnназываются независимыми в совокупности, если для любого k(2≤k≤n) имеет место
P(Ai1, Ai2,…, Aik)= 
(1)
Если формула (1) имеет место только при k=2, то события А1,А2,…,Аn называются попарно независимыми.
Из попарной независимости событий не следует независимость событий в совокупности.
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 462; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!