Інструменти, прилади й моделі, технічні засоби навчання

Nbsp; М.В. Богданович М.В. Козак Я.А. Король МЕТОДИКА викладання МАТЕМАТИКИ в початкових класах Навчальний посібник 3-є видання, перероблене і доповнене   ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА – БОГДАН ББК 74.262.2ІЯ73 Б73 Охороняється законом про авторське право. Жодна частина цього видання не може бути використана чи відтворена дь-якому вигляді без дозволу автора чи видавництва.   Б73 Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах: Навч. пос. — 3-є вид., перероб. ідоп.—Тернопіль: Навчальна книга—Богдан, 2006.—336 с.     І8ВИ 966-7520-59-5     У пропонованому посібнику розглянуто основні питання методики викла­дання математики відповідно до Державного стандарту початкової загальної освіти та чинної програми початкових класів і програми методики викладання математи­ки в загальноосвітніх навчальних закладах. Посібник призначений для студентів факультетів підготовки вчителів почат­кових класів педагогічних університетів та інститутів. Його можуть використо­вувати й учні педагогічних училищ, учителі початкових класів та методисти почат­кової ланки освіти.                                                              ББК 74.262.21я73   І8ВИ 966-7520-59-5 ВСТУП Розбудова Української держави, ухвалення Конституції України, Закону України "Про загальну середню освіту", прийняття Державного стандарту Початкової загальної освіти, Національної доктрини розвитку освіти — це ті чинники, що докорінно змінюють ситуацію в системі освіти. Основними завданнями законодавства України про загальну середню освіту є: • забезпечення права громадян на доступність і безплатність здобуття повної загальної середньої освіти; • забезпечення необхідних умов функціонування і розвитку загальної середньої освіти; • забезпечення нормативно-правової бази щодо обов'язковості повної загальної середньої освіти; • визначення структури та змісту загальної середньої освіти; • визначення органів управління системою загальної середньої освіти та їх повноважень; • визначення прав та обов'язків учасників навчально-виховного процесу, встановлення відповідальності за порушення законодавства про загальну освіту. Підписання (13 травня 1999 року) Президентом України "Закону про загальну середню освіту" — важлива подія в житті нашої держави. Закон вміщує 11 розділів, 48 статей. Важливим для роботи вчителів і керівників шкіл є III розділ "Організація навчально-виховного процесу у загальноосвітніх навчальних закладах". Визначено новий термін здобуття загальної середньої освіти, а відповідно, і нову структуру школи. Вона охоплює: школу І ступеня (початкова школа) — 4 роки, II ступеня — 5 років, III ступеня — 3 роки. Загальна тривалість здобуття загальної середньої освіти — 12 років. Визначено, що наповнюваність класів загальноосвітніх навчальних закладів не має перевищувати 30 учнів. У сільських школах в окремих випадках кількість учнів може бути меншою, але має становити не менше 5 осіб. При меншій кількості учнів у класі заняття проводяться за індивідуальною формою навчання. Законодавчо визначено сутність і межі навчальних планів. Вихідним є базовий навчальний план, який визначає зміст середньої освіти через освітні галузі і структуру (інваріантна і варіантна складові). Точно визначено сумарне гранично допустиме навчальне навантаження учнів за роками навчання. Тривалість навчального року у школах І ступеня не може бути меншою за 175 робочих днів, а в загальноосвітніх навчальних закладах II—III ступенів — 190 робочих днів без урахування часу на складання перевідних та випускних іспитів, тривалість яких не може перевищувати трьох тижнів. Сумарне гранично допустиме навчальне навантаження учнів початкових класів на рік таке: І—II класи — 700 год. Ш-ІУ класи — 790 год. Вступ                                                                                                                                                   4 Тривалість уроків становить: у перших класах — 35 хв., у других-четвертих — 40 хв., у п'ятих-дванадцятих — 45 хв. Різниця в часі навчальних годин перших-четвертих класів обов'язково обліковується і компенсується проведенням додаткових, індивідуальних занять та консультацій з учнями. У Законі визначено цілі виховання учнів, наголошено на необхідності цілісного впливу виховного процесу, який здійснюється в урочній, позаурочній та позашкільній роботі, підтверджено заборону утворення і діяльності в школі політичних, релігійних і воєнізованих формувань. У Законі визначено, що тарифна ставка становить 18 навчальних годин для всіх учителів. За перевірку зошитів оплачується 10—20 відсотків від тарифної ставки. Атестація педагогічних працівників загальноосвітніх навчальних закладів є обов'язковою і здійснюється, як правило, один раз на п'ять років. За результатами атестації визначається відповідність педагогічного працівника займаній посаді, присвоюється кваліфікаційна категорія (спеціаліст, спеціаліст другої категорії, спеціаліст першої категорії, спеціаліст вищої категорії) та може бути присвоєно педагогічне звання (старший учитель, учитель-методист, вихователь-методист, педагог-організатор-методист). У розділі "Державний стандарт загальної середньої освіти" визначається, що таке державний стандарт, термін дії, структура та його додержання. Зміни "Державного стандарту загальної середньої освіти можливі не частіше, ніж один раз на 10 років. Державний стандарт загальної середньої освіти складається з державних стандартів початкової, базової і повної середньої освіти. Поточне та підсумкове оцінювання учнів та вибір їх форм, змісту та способу здійснює загальноосвітній навчальний заклад. Контроль за відповідністю освітнього рівня учнів, які закінчили загальноосвітній навчальний заклад І, II і III ступенів, здійснюється шляхом їх державної підсумкової атестації. Зміст, форми і порядок проведення державної підсумкової атестації визначаються Міністерством освіти і науки України. Порядок проведення атестації, поточного і підсумкового оцінювання знань учнів конкретизується у "Положенні про загальноосвітній навчальний заклад" та у "Типовому статуті загальноосвітнього навчального закладу". У Законі визначено завдання науково-методичного забезпечення системи загальної середньої освіти, зокрема: • розроблення і видання навчальних програм, навчально-методичних та навчально-наочних посібників; • організація підготовки, перепідготовки та підвищення кваліфікації педагогічних працівників; • вивчення рівня знань, умінь і навичок учнів; • висвітлення в засобах масової інформації досягнень педагогічної науки та педагогічного досвіду. Державний стандарт початкової загальної освіти затверджено Постановою Кабінету Міністрів України від 16.11.2001 р. № 1717. Його структуру складають: I. Базовий навчальний план початкової школи. II. Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів почат­кової школи.   Методика викладання математики в початкових класах                                5 Базовий навчальний план початкової школи складається з таких освітніх галузей: мова і література, математика, здоров'я і фізична культура, технології, мистецтво, людина і світ. Кожна освітня галузь побудована за змістовими лініями, які є наскрізними для всіх рівнів загальної середньої освіти. Зміст освітніх галузей реалізується через окремі навчальні предмети чи інтегровані курси. Початкова освіта спрямована на всебічний розвиток молодших школярів та оволодіння ними компонентами навчальної діяльності. В доборі змісту освіти враховано його наступність і неперервність, доступність і науковість, потенціальні можливості взаємозв'язку навчання, виховання і розвитку, реалізації принципів індивідуалізації, гуманізації навчально-виховного процесу. До Базового навчального плану входять інваріантна і варіативна складові частини змісту освіти. Інваріантна частина обов'язкова для всіх загально­освітніх закладів. її зміст подано через освітні галузі. Зміст освітньої галузі "Математика" забезпечує формування в учнів уявлень про натуральне число, засвоєння прийомів виконання арифметичних дій, ознайомлення з основними величинами, їх вимірюванням та окремими залежностями між ними, формування уявлень про окремі геометричні фігури, вироблення графічних умінь, оволодіння пропедевтичними відомостями з алгебри. Тижнева кількість годин на вивчення математики така: І —IV класи — по 4 год. Варіативна частина Базового навчального плану формується навчальним закладом самостійно з урахуванням особливостей навчального закладу та індивідуальних потреб учнів. У початкових класах варіативна частина вміщує години, які можна використовувати додатково на вивчення освітніх галузей, індивідуальні консультації та групові заняття з учнями. Для реалізації завдань варіативної частини в навчальному плані відводиться у першому і другому класах по 2 год. на тиждень, а у третьому і четвертому — по 3 год. Варіативна частина стосується всіх навчальних предметів. У державних вимогах до рівня загальноосвітньої підготовки учнів початкової школи визначено мету і завдання вивчення математики, змістові лінії у цій галузі. Початковий курс математики є складовою частиною в системі неперервної математичної освіти, узгоджується з дошкільною освітою та базовою освітою. Вивчення математики в початковій школі має забезпечити оволодіння учнями знаннями, уміннями та навичками, розвиток дітей, необхідний для подальшого вивчення предмета. Знання початкового курсу математики має практичну спрямованість і застосовується у повсякденному житті. Вивчення математики сприяє розвитку пізнавальних здібностей, логічного і творчого мислення, математичного мовлення. В процесі вивчення натуральних чисел і величин, розв'язування задач необхідно забезпечити формування початкових умінь доказово міркувати і пояснювати свої дії. В освітній галузі "Математика" виділено такі змістові лінії: властивості та відношення предметів, лічба предметів; числа і дії над ними; числові та буквені вирази; рівняння і нерівності; геометричні фігури, геометричні тіла; вимірювання геометричних величин; величини та одиниці вимірювання величин. Тематика змістових ліній така: Вступ                                                                                                                                                             6                                                                                                                    Властивості та відношення предметів, лічба предметів — властивості предметів, розміщення предметів у просторі, порівняння кількості предметів, лічба предметів. Числа і дії над ними — натуральні числа, число нуль, усна нумерація; письмова нумерація натуральних чисел; арифметичні дії з натуральними числами; дроби; зв'язок дій додавання і віднімання, множення і ділення; закони арифметичних дій; відношення "більше на", "менше на", "більше в", "менше в". Числові та буквені вирази — числові вирази, буквений вираз та його значення. Рівняння і нерівності — рівність, нерівність; рівняння з однією змінною (з одним невідомим); нерівність з однією змінною. Геометричні фігури, геометричні тіла — точка, пряма, відрізок, промінь, кут; трикутник і його елементи; чотирикутник, види чотирикутника; коло і круг; куля, куб, циліндр.                                           Вимірювання геометричних величин — довжина відрізка; многокутники, периметр і площа многокутника.                                     Величини та одиниці вимірювання величин — час, маса, грошові розрахунки; об'єм (у літрах); залежність між величинами. До кожної змістової лінії вказано результати навчання (перелік знань і умінь) щодо названих тем. У програмі з математики результати навчання подано окремо для кожного класу. У 2004—2005 навчальному році початкова школа завершила перехід на чотирирічний термін навчання, набувши нового змісту. Було внесено зміни до Державного стандарту початкової загальної освіти та доопрацьовано навчальні програми. Національна доктрина розвитку освіти затверджена Указом Президента України від 17 квітня 2002 р. № 347/2002. Вона визначає систему концептуальних ідей та поглядів на стратегію й основні напрями розвитку освіти у першій чверті XXI століття. Освіта — основа розвитку особистості, суспільства, нації та держави, запорука майбутнього України. Спрямування і завдання розвитку освіти, всеохоплюючий зміст роботи щодо їх реалізації достатньо чітко ілюструє система розділів Національної доктрини: І. Загальні положення. II. Мета і пріоритетні напрями розвитку освіти. III. Національний характер освіти і національне виховання. IV. Стратегія мовної освіти. V. Освіта — рушійна сила розвитку громадянського суспільства. VI. Освіта і фізичне виховання — основа для забезпечення здоров'я громадян. VII. Рівний доступ до здобуття якісної освіти. VIII. Безперервність освіти, навчання протягом життя. IX. Інформаційні технології в освіті. X. Управління освітою. XI. Економіка освіти. XII. Освіта і наука. XIII. Підготовка педагогічних і науково-педагогічних працівників. XIV. Соціальні гарантії навчального процесу. XV. Міжнародне співробітництво та інтеграція у галузі освіти. XVI. Очікувані результати. Положення Національної доктрини стосуються і безпосередньо навчально-виховної роботи в початкових класах, зокрема навчання і виховання молодших школярів на уроках математики. Методика викладання математики в початкових класах                                                    7 Вкажемо на ті важливі положення Національної доктрини, які має реалізувати вчитель початкових класів у навчально-виховному процесі: особистісна орієнтація освіти; формування національних і загальнолюдських цінностей; виховання особистості, яка усвідомлює свою належність до українського народу; виховання людини демократичного світогляду; розвиток творчих здібностей та обдарувань; пропаганда здорового способу життя, використання різноманітних форм рухової активності та інших засобів фізичного вдосконалення. Національне виховання — один з головних пріоритетів, складова освіти, воно має здійснюватися на всіх етапах навчання дітей та молоді. Головними складовими національного виховання є громадянське виховання та патріо­тичне виховання. Початкова школа має бути тим фундаментом, на якому зводиться національна освіта. У фаховій підготовці вчителя початкових класів вагоме місце відводиться методиці викладання математики. Методика викладання математики в початкових класах належить до циклу педагогічних дисциплін, і, як правило, її вивчають студенти педагогічних університетів та інститутів після того, як вони набули певної логічної, загальнодидактичної, психологічної і математичної підготовки.                   Курс методики викладання математики умовно можна поділити на дві частини: загальні питання навчання математики молодших школярів і питання спеціальної методики початкової математичної освіти. У першій частині висвітлені такі питання: методика навчання математики в початкових класах школи як наука; освітні, виховні та розвивальні завдання; навчання математики в початкових класах; зміст початкового курсу математики; аналіз програми з математики для початкових класів; наступність у навчанні математики між початковими і 5-6 класами; засоби навчання, математики; складові частини уроку математики: контроль, корекція таї закріплення знань учнів; методика опрацювання нового матеріалу; закріп­лення й узагальнення знань учнів; перевірка й оцінювання знань, умінь і, навичок учнів з математики. Друга частина присвячена розгляду таких питань: нумерація чисел і, додавання та віднімання в межах 10; нумерація чисел 11—20; табличне додавання і віднімання з переходом через десяток; нумерація чисел 21—100; арифметичні дії у межах 100; нумерація чисел 101-1000; усне та письмове додавання і віднімання у межах 1000; нумерація багатоцифрових чисел і'4 арифметичні дії в межах мільйона; методика вивчення величин; методика  ознайомлення з дробами, елементами алгебраїчної і геометричної пропедевтики; методика роботи над текстовими задачами; позакласна й виховна робота з математики; короткий історичний огляд розвитку методики викладання арифметики.                                                                                                     Посібник є результатом узагальнення експериментальної роботи в напрямку перебудови початкового навчання математики, вивчення ' передового досвіду вчителів, досліджень і практики викладачів методики і викладання математики Глухівського педагогічного інституту і Тернопільського національного педагогічного університету ім. В. Гнатюка. РОЗДІЛ І МЕТОДИКА ПОЧАТКОВОГО НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ ЯК ПЕДАГОГІЧНА НАУКА §1. Предмет і завдання методики початкового навчання математики Методика викладання математики — педагогічна наука про мету, зміст, методи, форми і засоби передачі учням математичних знань, про виховання в процесі навчання. Початкова школа — перша ланка середньої загальноосвітньої школи. Вимоги, що стоять перед школою загалом, визначають основні напрямки роботи її початкової ланки. Математика — один з обов'язкових предметів початкових класів. І це не випадково. Визнання математики обов'язковим навчальним предметом загальноосвітньої школи безпосередньо пов'язане з її роллю в науково-практичній діяльності людства. "Красунею" називали математику стародавні індуси, а стародавні греки проголосили її "гімнасти­кою розуму". В II ст. до н. є. римляни розробили систему навчальних предметів, в яку входили граматика, риторика, діалектика, арифметика, геометрія, астрономія та музика. Ці "сім вільних мистецтв" були основою навчальних планів і в часи середньовіччя. З розвитком науки, культури і техніки значення математики зростає як в науково-практичній діяльності людства, так і в навчанні та вихованні молоді. Математика повсюдно стає обов'язковим предметом загальноосвітніх шкіл. На значенні математики як науки і навчального предмета наголошували генії людства. "Ніякі людські дослідження не можна назвати справжньою наукою, якщо вони не пройшли через математичні доведення", — стверджував Леонардо да Вінчі (1452—1519). Роки не стерли з пам'яті цей вислів. Нині він став ще актуальнішим. Застосування математики вийшло за межі технічних наук, її методи проникли в біологію, медицину, суспільні науки. У крилатому вислові М.В. Ломоносова (1711 — 1765) "А математику ще й тому вивчати слід, що вона розуму надає ладу" чітко вказується на роль вивчення математики для розвитку мислення людини. Д.І. Писарєв (1840 — 1868) наголошував на виховному значенні вивчення математики: "Математика не тільки підготує учня до вивчення природничих Методика викладання математики в початкових класах                                9 наук; вона не тільки навчить його мислити правильно і послідовно; вона ще, крім того, виховає з нього безстрашного працівника, для якого праця і нудьга стають двома поняттями, що взаємно виключаються одне одним". Останнім часом математика здобула особливу популярність. Після створення електронно-обчислювальних машин, комп'ютеризації засобів інформації вже зрозуміло, які її можливості. Елементарні знання з математики, розуміння її можливостей стають так само необхідними елементами загальної культури, як знання власної історії і літератури. Розвитку математики і математичної освіти в нашій країні приділяється велика увага. У школі на вивчення математики відводиться 15 — 20% навчального часу. Мільйони молодших школярів вивчають початки математики під керівництвом класовода. І важко уявити, скільки дітей може не зрозуміти і незлюбити математику вже на початку свого життя, якщо випаде доля почати свої кроки з несумлінним учителем або з учителем, який не знає основних положень педагогіки математики. Методика викладання математики як окрема педагогічна наука зароджувалася в працях науковців. Ще Ян Амос Коменський (1592 — 1670) у праці "Велика дидактика", висвітлюючи загальні дидактичні вимоги та правила, багато уваги приділяв вивченню арифметики. Йоганн Генріх Песталоцці (1746 — 1827), швейцарський теоретик і практик педагогіки, основоположник дидактики початкового навчання, у своїх творах поряд із загальнопедагогічними проблемами розробляв питання методики початкового навчання дітей арифметики. К.Д. Ушинський (1824 — 1870) в "Керівництві до викладання за "Рідним словом" на кількох глибоких за змістом сторінках розглядає методику початкового навчання лічби. У ході розвитку педагогічних досліджень методику викладання арифметики стали розробляти як особливу науку. В її становленні велику роль відіграли праці П.С. Гур'єва (1807 — 1884). У кінці XIX століття з'являються праці методистів-математиків О.І. Гольденберга (1837 — 1902), В.О. Латишева (1850 - 1912), СІ. Шохор-Троцького (1858 - 1923). Педагогіка навчання — це насамперед наука про найбільш точну й досконалу форму розумової праці в процесі засвоєння знань, причому кожна з методик має свій предмет, свою специфіку. Предметом методики викладання математики в початкових класах є навчання математики молодших школярів учителем-класоводом в умовах класно-урочної системи. Основними поняттями методики навчання математики в початкових класах як науки є мета, зміст, методи, засоби та форми початкового навчання математики. Методика викладання математики визначає мету навчання молодших школярів математики. Розрізняють загальноосвітні, практичні та виховні цілі. їх необхідно розглядати з позиції єдиного шкільного курсу математики. Методика визначає зміст і структуру початкового курсу математики. Всебічне їх розкриття подається в програмі і шкільних підручниках. У програмі зазначається, який матеріал вивчається в початкових класах і в якій послідовності, на якому рівні узагальнення розглядається кожне питання. У підручнику зміст навчання конкретизується повідомленням теоретичного матеріалу та системою вправ і задач. Важливим завданням методики є створення та перевірка ефективності засобів навчання: підручників, зошитів з друкованою основою, карток з математичними завданнями, альбомів, таблиць, роздаткового матеріалу, діафільмів. їх застосовують за розробленою методикою. Специфічним завданням методики викладання математики є розкриття методів і прийомів вивчення кожного питання з кожного розділу: теоретичного матеріалу, формування умінь і навичок, методики роботи над задачами. У методиці розкриваються також питання організації навчальної діяльності дітей: в яких випадках доцільна фронтально-колективна, самостійно-індивідуальна чи групова форма роботи; як організувати ту чи іншу форму навчання; як забезпечити диференційований підхід до дітей у навчанні. Ці та подібні до них питання належать до компетенції методики викладання математики. Завданням методики також є дослідження процесу засвоєння знань учнями та визначення результативності навчання математики. Вчителя треба озброїти знаннями про те, які можливості у навчанні дітей різних вікових груп, які відмінності в засвоєнні математичних знань учнів однієї вікової трупи. Потрібно розробити систему контролю рівня знань учнів та стану їх математичного розвитку. Методика викладання математики розробляє поради щодо розумового розвитку учнів; виховання в дітей патріотизму, інтересу до вивчення математики, позитивних рис характеру. Отже, завданням методики викладання математики в початкових класах є: обгрунтування мети початкового вивчення математики — для чого треба вчити математику; визначення змісту навчання математики — чого вчити; розробка засобів навчання (підручники, дидактичний матеріал, наочні посібники, технічні засоби) — за допомогою чого вчити; визначення й розробка методів і прийомів вивчення кожного питання розділів програми — як вчити; організація навчання (проведення уроку і позаурочних форм навчання) — як організувати пізнавальну діяльність учнів; дослідження процесу засвоєння математичних знань учнями — як вчаться діти; вивчення результатів засвоєння математичних знань учнями — чого навчилися діти, як вони розвинулися; виявлення можливостей виховного й розвивального впливу на молодших школярів у процесі вивчення математики та розробка методів і засобів реалізації такого впливу — що і як розвивати у дітей на уроках математики, як здійснювати виховний процес під час вивчення математики. §2. Методика початкового навчання математики та інші науки - Методика початкового навчання математики належить до педагогічних наук: вона враховує закони і правила логіки, закономірності психології, положення дидактики, рекомендації загальної методики математики. Методика і логіка. Логіка визначає правила міркувань: як людина має мислити, щоб від правильних засновків дійти правильних висновків. Закони і правила логіки методика використовує в процесі аналізу та структурування навчального матеріалу, формулювання означень математичних понять, встановлення зв'язків між поняттями, відшукування шляхів розв'язування^ задач. Методика також визначає, які логічні знання й уміння потрібні учням для свідомого засвоєння математичних знань. Розвиток логічного мислення учнів є одним із завдань викладання математики в школі. Сам учитель повинен знати, що таке поняття, означення, доведення, класифікація; які існують види означень, методи доведення, правила класифікації. А все це — логічні категорії. Можна сказати, що без логіки немає і навчання. Однак вирішальним у навчанні є вплив психолого-педагогічних чинників. Без них логіка не навчає, тобто не проникає в свідомість учнів. Методика і психологія. Психологія навчання вивчає закономірності психіки дитини, а також вікові та індивідуальні особливості дітей, які проявляються в процесі засвоєння знань. Діяльність учителя на заняттях з учнями так чи інакше містить вплив на їхню психіку: на відчуття, сприймання, пам'ять, мислення, емоції, почуття і волю; на характер, здібності і на особистість загалом. Отже, вчитель має знати особливості розвитку психічних процесів молодших школярів і вміти створювати в учнів оптимальний психічний стан для конкретного виду навчальної діяльності. У навчанні насамперед треба активізувати мислення учнів. Саме психолог аналізує, як мислить учень. Вивчаючи мислительні операції, які здійснюють учні в процесі навчання, психологи розчленовують багато з тих понять і операцій, які методисти розглядають як цілісні. Це допомагає в розкритті процесу мислення учнів, вивченні його сильних і слабких сторін. У навчально-виховній роботі велике значення мають закономірності випереджального відображення. Учень повинен передбачати результати своїх вчинків і дій. Слід сказати, що методисти-математики не тільки використовують дані, здобуті психологією навчання, а й самостійно вивчають процес засвоєння математичних знань учнями та його результати. Методика і дидактика. Дидактика розробляє принципи навчання, форми організації навчальної роботи, методи навчання. Методика математики враховує дані дидактики, але в їх використанні відображає особливості своєї науки. Принципи навчання діють на всіх ступенях навчання з усіх предметів. Проте в межах навчального предмета деякі з них набувають специфічності. Це стосується, зокрема, принципу наочності, зв'язку теорії з практикою.   Розділ І. Методика початкового навчання математики як педагогічна наука                 12 Методика математики "вибирає" з дидактики потрібні методи, аналізує доцільність їх застосування і розробляє зразки застосування. Великої конкретності набуває урок в розробках методистів-математиків. У кожному з компонентів уроку математики відчутні загальні положення дидактики. Водночас дидактика збагачується педагогічними фактами, які виявляють вчителі чи методисти-дослідники в процесі навчання молодших школярів математики. Методика початкового навчання математики і загальна методика математики. Загальна методика математики розглядає такі питання: шляхи формування математичних понять; використання дедукції та індукції у викладанні математики, аналізу і синтезу в процесі розв'язування задач; методи навчання математики; особливості уроку математики; наочність у навчанні математики. Закономірності, встановлені загальною методикою математики, застосовуються методикою початкового навчання математики з урахуванням, по-перше, вікових особливостей молодших школярів, по-друге, специфіки програмного матеріалу, що опрацьовується в тому чи іншому класі. Зауважимо, що методика викладання математики в початкових класах має багато спільного з методикою рідної мови, трудового навчання, природознавства. Вчителю це важливо враховувати, щоб правильно ^здійснювати міжпредметні зв'язки. Методика і математика. Основою курсу математики початкових класів є лічба, нумерація і чотири арифметичні дії над цілими невід'ємними числами. Одна з особливостей арифметики полягає в тому, що багато з її положень хоч і важкі для доведення, але легко відкриваються спостереженням числових виразів. Вони відмінні від спостережень тих об'єктів, що безпосередньо впливають на органи чуття. Отже, виникає завдання розвивати в дітей спостережливість в галузі арифметики, а також уміння використо­вувати такі спостереження для індуктивних висновків. Зміст арифметики містить також багато матеріалів для дедуктивних міркувань. Це, зокрема, стосується застосування властивостей арифметичних дій для обґрунтування прийомів обчислень, врахування залежностей між. величинами під час розв'язування задач. На методику викладання впливає не тільки зміст математики як навчального предмета, а. й теоретичні положення математичної науки, що стосуються основ математики, її методології. Методика математики в своєму розвитку спирається, як і математика, на теорію пізнання. Для правильного вирішення методичних проблем потрібно певною мірою враховувати ті етапи, які пройшла в своєму історичному розвитку математика як наука. Основні математичні положення здобуті з дійсного світу за допомогою абстракції. У науці вони дістають самостійний логічний розвиток, а потім знову знаходять застосування в трудовій діяльності людей. Цей процес певною, мірою відображається і в методиці викладання математики. Учням треба показувати застосування математики в житті, в трудовій діяльності людини;, тренувати в застосуванні математичних знань для виконання обчислю­вальних, розрахункових, графічних і вимірювальних робіт. Цим підвищується Методика викладання математики в початкових класах                                                      13 інтерес школярів до вивчення математики, закладаються основи правиль­ного розуміння значення математики в житті людей. §3. Методи наукового дослідження, що застосовуються в процесі розробки методики викладання початкового курсу математики Проблемами удосконалення методики навчання займаються працівники й аспіранти відповідних науково-дослідних інститутів, викладачі педагогічних ВНЗ, а також вчителі-новатори. Загалом дослідження проходять ряд етапів. Перший етап передбачає виконання трьох завдань. Перше з них полягає в тому, щоб у процесі аналізу стану в теорії і практиці відшукати найбільш актуальну методичну проблему. Друге — зібрати попередній матеріал, щоб конкретизувати можливі причини виникнення проблеми. Третє — розробити гіпотезу, тобто припущення, про можливі шляхи вирішення цієї проблеми. З урахуванням гіпотези визначаються конкретні завдання дослідження і складається методика дослідження. Другий етап — це конкретизація і реалізація методики дослідження. Він здебільшого передбачає розробку певної навчальної системи (наприклад, системи вправ чи задач) і проведення формуючого експерименту, тобто навчання в кількох класах чи навіть в окремих районах за розробленою системою. Проведення формуючого експерименту передбачає застосування різних методів, зокрема і таких, що дають змогу здобути числові показники результатів навчання. Третій етап — статистична обробка й інтерпретація даних дослідження. Кількісні показники підтверджують або відхиляють робочу гіпотезу. Четвертий етап — висновки і пропозиції, що грунтуються на матеріалах дослідження. В методичних дослідженнях висновки, як правило, допов­нюються конкретними методичними рекомендаціями щодо їх реалізації у масовій школі. В дослідженнях з проблем методики початкової математики вико­ристовують як загальнонаукові, так і конкретно-наукові методи (тобто методи, характерні для педагогічних досліджень). Загальнонаукові методи поділяються на емпірико-теоретичні, теоретичні й емпіричні. Розглянемо основні методи кожної групи. Емпірико-теоретичні загальнонаукові методи Аналіз і синтез. Ці два методи взаємопов'язані і доповнюють один одного як дві нерозривні сторони діалектично єдиного процесу пізнання. Сутність аналізу полягає у зведенні складних понять до більш загальних і простих. Типовим зразком аналізу є класифікація. За допомогою синтезу отримують нове знання про об'єкт на основі з'ясування відношень, властивостей, взаємодії і зв'язків між його частинами. Індукція і дедукція. Сутність індукції полягає в тому, що зі знання про частину предметів якої-небудь їх сукупності роблять висновок про всю сукупність. Індуктивний умовисновок завжди має вірогідний характер.     Розділ І. Методика початкового навчання математики як педагогічна наука           14 Застосування методу дедукції полягає у використанні загальних наукових положень для дослідження конкретних явищ. Моделювання. Існують три основні форми створення моделі: матеріальна, знакова та концептуальна (мислительна). Сутність моделювання полягає в заміні об'єкта моделлю, що містить потрібні з точки зору мети дослідження риси, властивості, відношення чи зв'язки об'єкта. Модель дає змогу значно розширювати можливості експерименту. Результати експерименту на моделі поширюють на оригінал. Теоретичні загальнонаукові методи Узагальнення. Сутність узагальнення як загальнонаукового методу полягає в переході від одиничного до загального (виявленням загальних ознак) і поширенні здобутого знання на часткове, одиничне. Метод узагальнення є засобом розробки нових наукових понять, законів і теорій. Абстрагування. Метод абстрагування заснований на формуванні ідеального образу реального об'єкта в результаті мисленого виділення ряду ознак, властивостей, зв'язків чи відношень, що цікавлять дослідника. Інші властивості і сторони об'єкта при цьому не враховуються. Сутність абстрагування полягає в тому, що додають до частини відомих об'єкту ознак нову інформацію, що з них випливає. Абстрагування в процесі наукового пізнання тісно пов'язане з в конкретизацією. Конкретне розуміють як таку категорію, що виявляє єдність, цілісність об'єкта в усій багатогранності його зв'язків і відношень. Згідно із загальним законом розвитку людського пізнання перехід від абстрактного до конкретного є одним з принципів дидактичної логіки. Емпіричні загальнонаукові методи До емпіричних загальнонаукових методів належать: спостереження, порівняння й експеримент. Спостереження. Сутність спостереження як методу пізнання полягає в систематичному і цілеспрямованому сприйманні об'єкта, що передбачає: постановку мети, розробку певної системи спостережень, описування його результатів, формування висновків. Результати спостережень оформлюють у вигляді таблиць, схем, діаграм, графіків, протоколів, фотодокументів. Учителі використовують спостереження для вивчення праці учнів на уроках, процесу засвоєння ними математичних знань. Спостереження процесу навчання математики проводяться переважно на уроках. Спостерігається урок загалом чи окремі його частини, наприклад, спостереження за самостійною роботою учнів у процесі розв'язування задач. Порівняння як метод дослідження застосовується для виявлення кількісної і якісної характеристик об'єктів, класифікації, впорядкування, оцінювання тих чи інших явищ. Як пізнавальна операція порівняння служить за основу для міркування про схожість чи відмінність об'єктів. Експеримент. У методологічному аспекті експеримент — це перехід дослідника від пасивного до активного способу діяльності. Експеримент дає змогу спостерігати за ходом явища, що вивчається, активно впливати на Методика викладання математики в початкових класах                                                        15 його зміни; відтворювати це явище в адекватних умовах. Експеримент служить за основу для перевірки гіпотези чи передбачення теорії. До конкретно-наукових методів належать: метод педагогічних спосте­режень, метод вивчення документальних джерел, метод опитування і контрольних робіт, експертний метод, метод педагогічного експерименту. Метод педагогічних спостережень є активною формою наукового пізнання об'єктів (предметів, явищ) з метою одержання початкових або уточнення існуючих уявлень про них на основі накопичення фактів. Він ефективний за умов конкретності постановки мети, визначення об'єкта й предмета дослідження, чіткості плану дослідження, мінімальності досліджуваних ознак і однозначності критеріїв їх оцінювання, типовості та природних умов спостережень, можливості відтворення спостережень, обгрунтованості частоти і тривалості спостережень, можливості передбачення, попередження й уникнення помилок. Як правило, спостереження здійснюються в поєднанні з іншими методами. Метод вивчення документальних джерел. До педагогічних документів належать: класні журнали, щоденники учнів, робочі плани вчителів, звіти класних керівників, керівників гуртків, протоколи педагогічних рад, навчальні плани, програми, протоколи зборів, зошити учнів, контрольні роботи, саморобні наочні посібники. Аналіз письмових робіт учнів дає змогу зробити висновки як про процес їх виконання, так і про результати. Істотне значення має аналіз помилок учнів. На його основі виявляють типові ускладнення й індивідуальні особливості в засвоєнні математичних знань учнів. Метод опитування та контрольних робіт. Метод опитування спирається на цілеспрямоване одержання інформації способом усного опитування (бесіда, інтерв'ю, анкетування) за наперед складеною програмою, що містить прямі і непрямі запитання. Метод усного опитування часто поєднується з проведенням контрольних робіт, виконанням практичних завдань. Бажано забезпечити планомірний характер запитань, їх лаконічність, конкретність, однозначність, послідовність, постановку запитань від простих до складних; оперативність і зручність фіксації відповіді; можливість одержання кількісної інформації. Експертний метод. Експертні методи педагогічних досліджень спираються на думку спеціалістів, які дають апріорні кількісні або рангові оцінки явищ, що вивчаються. Метод педагогічного експерименту. За своєю сутністю метод педагогічного експерименту є методом комплексного характеру, бо він передбачає спільне використання методів спостережень, бесід, інтерв'ю, анкетування, створення спеціальних ситуацій та ін. Залежно від мети і змісту експерименту визначається його тривалість: протягом кількох уроків, під час вивчення певної теми, протягом навчальної чверті або всього навчального року. Дослідник розробляє плани чи конспекти уроків з включенням до них засобів або методичних прийомів, які будуть перевірятися. За цими планами вчитель чи сам дослідник проводить уроки. Розділ І. Методика початкового навчання математики як педагогічна наука                 16 Хід уроку фіксується в протоколах, ведуться спостереження за процесом засвоєння знань учнів, проводяться спеціальні роботи (усні й письмові) щодо обліку знань учнів. Для порівняння визначають контрольні класи. За рівнем знань учні цих класів однакові з учнями експериментальних класів. У контрольних та експериментальних класах викладання проводиться однаково, за винятком використання тих посібників чи методів, що застосовуються в експериментальних класах. Облік знань, проведений в експериментальних класах і контрольних класах, покаже вплив досліджу­ваного чинника на якість знань учнів. Підсумовуючи сказане про шляхи дослідження проблем методики викладання математики, зазначимо, що історично вони були узагальненням передового досвіду вчителів. Це джерело не відкидається й нині, але застосовують і нові методики навчання математики, що є результатом наукових досліджень. При цьому враховуються нові напрямки в самій науці математики, дані психолого-педагогічних досліджень, рекомендації науково-методичних семінарів, конференцій. Результати наукових досліджень спочатку перевіряються на практиці роботи окремих учителів і шкіл, а потім ефективні методи запроваджуються в масову практику.   РОЗДІЛ II ПОЧАТКОВИЙ КУРС МАТЕМАТИКИ ЯК НАВЧАЛЬНИЙ ПРЕДМЕТ У системі навчальних предметів початкової школи завдання і зміст вивчення математики є порівняно найбільш стабільними, проте і вони з часом зазнають деяких змін. Тому питання освітніх, виховних і розвивальних завдань навчання математики в початкових класах розкриємо з урахуванням сучасної концепції початкового курсу математики. Загалом висвітлення питань розділу спирається на програму і підручники початкової школи, програму дитячого садка, програму і посібники з методики математики для 5—6 класів.                  ! §4. Освітні, виховні й розвивальні завдання навчання математики в початкових класах Більшість питань математичної освіти має бути засвоєна в початкових класах на такому рівні, щоб стати надбанням учнів на все життя. Решта питань програми з математики для початкових класів опрацювується з метою підготовки до ґрунтовного вивчення відповідного матеріалу в наступних класах. Математика в початкових класах має як практичне, так і духовне значення. Насамперед курс математики початкових класів забезпечує подальше вивчення математики в середніх класах. Математичні знання, набуті в початкових класах, потрібні в повсякденному житті, під час вивчення інших дисциплін, для розуміння повідомлень засобів масової інформації. Молодші школярі отримують початкові уявлення про ті принципи і закони, що є основою для математичних чинників, які вивчаються. Це насамперед стосується десяткової системи числення та властивостей арифметичних дій. Істотним на початковому етапі є оволодіння обчислювальними вміннями і навичками. Духовне призначення вивчення математики проявляється у формуванні національних і загальнолюдських цінностей, у внеску в розумовий розвиток, у становлення і розвиток моральних рис, в естетичне виховання людини. Розгляд математичних понять, розв'язування задач включає в процес пізнання різні прийоми і методи людського мислення. Важливим завданням математики в початкових класах є розвиток пізнавальних здібностей у дітей. Необхідно розвинути у них уміння спостерігати й порівнювати, виділяти риси схожості та відмінності у   Розділ II. Початковий курс математики як навчальний предмет              18 порівнюваних об'єктах, виконувати такі мислительні операції, як аналіз, синтез, узагальнення, абстрагування, конкретизація. Провідна роль математики полягає у розвитку логічного мислення, формуванні алгоритмічного мислення, вихованні навичок розумової праці (планування, пошук раціональних шляхів, критичність). Формування в дітей уміння логічно мислити нерозривно пов'язане з розвитком у них правильної, точної, лаконічної математичної мови. Заняття математикою мають бути школою виховання характеру і почуттів. Навчання математики має фор­мувати такі риси особистості, як працьовитість, охайність; сприяти розвитку волі, уваги, уяви учнів; стимулювати розвиток інтересу до математики; виробляти вміння вчитися і навички самостійної роботи. Вивчення математики має сприяти реалізації завдань виховання патріотизму, гуманності, чесності. Характерною рисою вихованості має стати готовність школяра долати труднощі, боротися зі злом. Методика викладання математики в початкових класах                                                     19 §5. Зміст початкового курсу математики. Аналіз програми з математики для початкових класів Практична й духовна значущість математики в навчанні, розвитку та вихованні молодших школярів визначає такі основні компоненти початкової математичної освіти: знання про натуральні числа і дії над ними, вміння використовувати ці знання в повсякденному житті; початкові алгебраїчні й геометричні уявлення; математичний розвиток, що охоплює здатність до узагальнень, здогадку, вміння помітити спільне в різному, відрізняти головне від другорядного, спостерігати, порівнювати, аналізувати, робити висновки та перевіряти їх. Відповідно до Державного стандарту початкової загальної освіти освітньої галузі "Математика" фундаментом курсу математики початкових класів є вивчення чисел. До змісту цього курсу входять: лічба, нумерація і чотири арифметичні дії над цілими невід'ємними числами; початкові знання властивостей натурального ряду чисел і арифметичних дій; початкові знання про дроби. Вивчення чисел супроводжується постійним використанням різноманітних задач, у ході розв'язування яких учні мають справу з деякими видами практичної діяльності, так або інакше пов'язаної з підрахунками і вимірюваннями. Учні ознайомлюються з основними одиницями величин, вчаться переходити від одних до інших. Ознайомлення з нулем та дробовими числами готує учнів до сприймання ідеї розширення поняття числа. Вивчення чисел — перший крок в ознайомленні з ідеєю математичної абстракції. Наступним кроком стає перехід від числа до буквеного числення. У початкових класах учні ознайомлюються з виразом, що містить буквений компонент, вчаться знаходити числові значення таких виразів, застосовують буквені вирази для запису властивостей арифметичних дій. Алгебраїчна пропедевтика передбачає також ознайомлення з поняттям рівняння та нерівності. Учні розглядають рівняння на одну операцію і розв'язують їх на основі правил знаходження невідомого компонента. Поняття буквеного виразу і рівняння застосовуються під час розв'язування задач. Розв'язуючи задачі, пов'язані з прямо і обернено пропорційними залежностями, молодші школярі ознайомлюються з одним з видів функціо­нальної залежності. У геометричній пропедевтиці головними об'єктами на площині є точка, пряма, відрізок, многокутник (трикутник, чотирикутник, прямокутник і квадрат), коло і круг; у просторі (в порядку ознайомлення) — призма, піраміда, циліндр, конус, куля. Учні засвоюють назви фігур та їхніх елементів, вчаться їх розпізнавати. Значна увага приділяється побудові і вимірюванню відрізків, побудові деяких плоских фігур. Зміст початкового курсу математики може бути викладений і засвоєний на різних ступенях глибини і деталізації. Для початкової ланки шкільної освіти достатньо передбачити два ступені. Перший ступінь — це рівень обов'язкової математичної підготовки, що має бути досягнутий всіма учнями;   Розділ II. Початковий курс математики як навчальний предмет                                          20 другий — учнями, які проявляють схильність та інтерес до математики (їм створюються умови для досягнення вищих результатів). Для забезпечення другого рівня матеріал діючих підручників з математики доповнюється системою змістовно-логічних ігор, системою нестандартних задач і завдань розвивального характеру, арифметичними й логічними задачами вищого ступеня складності (в підручниках такі задачі позначені зірочками). Перейдемо безпосередньо до аналізу програми початкового курсу математики. Такий аналіз передбачає розкриття особливостей змісту і побудови початкового курсу математики; з'ясування зв'язків у вивченні програмового матеріалу (зокрема, арифметичного, алгебраїчного й геометричного), у вивченні теорії й формуванні вмінь і навичок практичної спрямованості курсу. Аналіз програми передбачає характеристику визначальних методичних спрямувань у вивченні кожної з її основних тем. Розподіл програмового матеріалу має подаватися за роками навчання. Структура програмового матеріалу. Опрацювання понять про натуральне число і арифметичні дії проводиться протягом усього навчання в початкових класах. Ставляться завдання сформувати в учнів уявлення про натуральні числа; домогтися усвідомлення математичних понять і арифметичних дій, знання таблиць кожної дії та прийомів усного й письмового виконання дій; виробити міцні обчислювальні навички. На основі правил порядку виконання дій та властивостей арифметичних дій учні повинні вміти знаходити значення числових виразів, у тому числі виразів з дужками на три-чотири операції. Елементи алгебри та геометрії не становлять окремих розділів курсу математики початкових класів, вони пов'язані з арифметичним матеріалом. У початкових класах на конкретній основі розкриваються такі поняття, як рівність, нерівність, змінна, рівняння. Розв'язування рівнянь проводиться шляхом добору потрібних чисел, а також на основі зв'язку між ком­понентами і результатами арифметичних дій. У вивченні геометричного матеріалу основна увага спрямовується на ознайомлення з геометричними фігурами, розвиток просторових уявлень школярів, вимірювання довжини відрізків, периметра і площі прямокутників. Робота над нумерацією та арифметичними діями будується в початковому курсі концентрично. Програмою намічена система поступового розширення області чисел, що розглядаються: перший десяток, другий десяток, сотня, тисяча, багатоцифрові числа (в межах мільйона). У межах першого і другого десятків розглядаються лише дії додавання і віднімання (табличні випадки та випадки, пов'язані з нумерацією чисел), а в межах решти концентрів — усі арифметичні дії. Принцип "концентричності" переважно стосується нумерації і арифметичних дій. Інші питання програми вивчаються за лінійним принципом. Тому точніше буде сказати, що програмовий матеріал вивчається за концентрично-лінійним принципом. Навчання починається з невеликих чисел. Числова область поступово розширюється, і вводяться нові поняття. Така побудова курсу забезпечує систематичне повторення і пог­либлення знань і вмінь, відповідає психологічному розвитку учнів. Особливо вона корисна для формування пбняття про систему числення. Поняття Методика викладання математики в початкових класах                                                  21 розряду, розрядної одиниці, розрядного числа, а також класу і одиниці класу знаходять свій розвиток від концентра до концентра. Методичне спрямування вивчення основних тем визначається як самою програмою, так і системою вправ і задач, що реалізуються в стабільних підручниках з математики для початкових класів. Розглянемо їх відповідно до підручників, що діють у загальноосвітніх школах України. Підготовчий (дочисловий) період. У програмі І класу окремим розділом виділяється дочисловий період. Основні його питання такі: властивості і відношення між предметами; орієнтування дітей в основних просторових напрямках; взаємне розміщення предметів у просторі; лічба предметів і порівняння чисельності предметних множин безпосереднім встановленням взаємно однозначної відповідності (накладання, прикладання); підготовка до написання цифр. У методичному плані завдання підготовчого періоду розглядаються на основі практичних вправ з окремими предметами чи множинами предметів (дій з роздатковим матеріалом); безпосереднього показу чи інсценування певних ознак, подій, явищ; застосування різних ігрових ситуацій та ігор; моделювання деяких явищ або зображення їх малюнками. Виконання практичних вправ часто супроводжується вимовлянням відповідних термінів, математичних виразів. Слід мати на увазі, що питання підготовчого періоду є предметом постійного вивчення подальших розділів. Велика увага в підготовчий період приділяється формуванню у дітей навичок правильної поведінки на уроці. Вчитель розповідає, демонструє або ілюструє малюнками правила поводження, мотивує і контролює їх виконання. Вивчення чисел першого десятка. Вивчення нумерації чисел першого десятка будується на наочно-предметній основі. На ознайомлення з кожним числом в середньому відводиться два-три уроки. На першому уроці учні ознайомлюються з утворенням нового числа і цифрою, а на другому і третьому — порівнюють числа та розглядають склад числа з двох менших чисел. Уроки на ознайомлення з кожним числом проводяться в єдиному плані, що передбачає опрацювання завдань такого виду: лічба предметів множин, чисельність яких характеризується числом, що розглядається; утворення даного числа з попереднього і одиниці; співвідношення кількості предметів з числом і числа з відповідною кількістю предметів; порівняння даного числа з одиницею; вибіркова лічба; розгляд і написання цифри числа. Вправи варіюються на різному дидактичному матеріалі, але зміст і будова сторінок підручника на вивчення нумерації чисел схожі. Це дає змогу поступово посилювати пізнавальну активність учнів. У вивченні дій додавання і віднімання в межах десяти виділено такі теми: дії додавання і віднімання, зв'язок додавання і віднімання, додавання і віднімання нуля, складання і читання прикладів на основі предметних ситуацій і малюнків; таблиці додавання і віднімання в межах десяти; прийоми додавання і віднімання по одиниці і групами (в порядку ознайомлення), переставна властивість додавання. Розв'язування прикладів на додавання і віднімання без опори на предметні ситуації запроваджується тільки в ході вивчення таблиць. Таблиці додавання   Розділ 11. Початковий курс математики як навчальний предмет                                             22 і віднімання складають за допомогою відповідних малюнків предметних мно­жин. У засвоєнні таблиць велике значення мають систематичне їх повторення та варіативність завдань. Вивчення чисел другого десятка. За межами першого десятка розрізняють усну і письмову нумерацію чисел. У ході вивчення усної нумерації чисел другого десятка відбувається поступовий перехід від утворення нового числа приєднанням одиниці (до попереднього) до утворення числа з десятка і кількох одиниць. Утворення чисел проводиться на основі безпосередніх дій учнів з пучком-десятком та окремими паличками. Вивчення письмової нумерації розпочинається не із запису чисел, а з читання двоцифрових чисел. У підручнику подається словесний запис назв чисел. Початкове пояснення письмової нумерації проводиться на основі предметних абаків та нумераційних таблиць, що наочно розкривають сутність позиційного принципу. Випадки додавання і віднімання, пов'язані з нумерацією, пояснюються на основі предметних дій з пучками-десятками та окремими паличками. У межах 20 учні вивчають табличні випадки додавання і віднімання з переходом через десяток. Засвоєння таблиць має бути доведене до автоматизму. Опрацювання таблиць проводиться у послідовності від найменшого другого доданка і відповідно від'ємника. Основним обчислювальним прийомом виступає прийом додавання і віднімання числа частинами. Вивчення чисел першої сотні. У процесі вивчення усної нумерації послідовно розглядаються всі числа від 21 до 100, а потім уже з цієї множини виділяються круглі числа. Спочатку учні утворюють нові числа приєднуванням одиниці до попереднього числа. Під час розгляду чисел третього десятка відбувається перехід до утворення числа з десятків і одиниць. Числа вводяться трьома групами: 21-39, 40-89, 90-100. Такий поділ полегшує дітям засвоєння назв двоцифрових чисел. Під час вивчення письмової нумерації учні спочатку вчаться читати числа, записані в нумераційну таблицю, потім — записувати числа в дану нумераційну таблицю і, нарешті, записувати числа під диктовку без нумераційної таблиці. Випадки додавання і віднімання в межах 100 групуються за їх відношенням до поняття "перехід через десяток". Спочатку учні ознайомлюються з прийомами усного додавання і віднімання без переходу через десяток. Далі вводяться письмові прийоми виконання дій (без переходу і з переходом через десяток). Останніми розглядаються випадки усного до­давання і віднімання з переходом через десяток. У межах кожної групи дії опрацьовуються не одночасно, а послідовно —додавання, а потім віднімання. У межах однієї дії, крім віднімання двоцифрових чисел з переходом через десяток, розглядається спочатку загальний випадок, наприклад 34 + 52, а потім окремі випадки цієї групи (54 + 3, 2 + 32, 54 + 30, 20 + 41). При такому підході закріплюється загальний алгоритм виконання дій. Табличне множення і ділення вивчають у 2-3 класах: у 2-му — множення чисел 2, 3, 4 і 5 та ділення на 2, 3, 4 і 5; у 3-му — решту випадків табличного Методика викладання математики в початкових класах                                                  23 множення і ділення. Таблиці множення складають на основі відповідних випадків додавання однакових доданків, а таблиці ділення — на основі зв'язку дій множення і ділення, тобто з таблиць множення. Всі таблиці мають бути засвоєні дітьми напам'ять. Для опрацювання таблиць множення кожного з чисел в середньому відводиться 4-6 уроків, стільки ж часу — на одну таблицю ділення. Опрацювання матеріалу проводиться в такій послідовності: озна­йомлення з дією множення, складання і заучування таблиці множення числа 2, ознайомлення з дією ділення, зв'язок дій множення і ділення; складання і заучування таблиці ділення на 2; складання і заучування таблиць множення числа 3 і ділення на 3 і т. д. Вивчення чисел першої тисячі. За програмою позатабличне множення і ділення розглядаються одночасно в межах 100 і 1000. Тому нумерація трицифрових чисел вивчається одразу після табличного множення і ділення. Послідовність опрацювання теми така: лічба чисел в межах 199; утворення числа 200 та інших розрядних чисел; утворення трицифрових чисел із сотень, десятків і одиниць; читання чисел, записаних у нумераційній таблиці; запис чисел у нумераційній таблиці; запис і читання трицифрових чисел; визначення числа сотень і десятків у трицифрових числах. У межах 1000 належна увага приділяється як усним, так і письмовим способам додавання і віднімання. У вивченні усних прийомів розглядаються випадки дій, що зводяться до дій у межах 100. Основним засобом унаочнення прийомів усного додавання та віднімання є відповідні форми структурних записів. У ході вивчення усного множення і ділення розглядаються: випадки множення і ділення, пов'язані з числами 1 і 0, 10 і 100; традиційні випадки позатабличного множення і ділення в межах 100 (24 • 3, 72 : 6, 64 : 16); нескладні випадки дій з трицифровими числами. З'ясування прийомів обчислень, пов'язаних з числами 1 і 0, 10 і 100, здійснюється шляхом ілюстративного пояснення з елементами індуктивних доведень. Висновки подаються у вигляді правил, але ці правила діти не заучують. Інші випадки позатабличного множення і ділення розглядаються на основі відповідних теоретичних положень (правил). Проте в початкових класах методика опрацювання того чи іншого правила спрямована не стільки на доведення, скільки на ілюстрування його як іншого способу обчислення виразу з дужками. Правомірність нового способу підтверджується тільки однаковою відповіддю. Письмове множення і ділення вивчається в такій послідовності: множення двоцифрових і трицифрових чисел на одноцифрове; ділення трицифрових чисел на одноцифрове; множення і ділення на двоцифрове число. Множення і ділення на двоцифрове число вводиться на початку повторення матеріалу в 4 класі. Це дає змогу практикувати ці випадки ділення протягом усього навчального року. Основний метод пояснення алгоритмів дій другого ступеня — зв'язний виклад, коментоване розв'язування прикладів самим учителем. Вивчення багатоцифрових чисел. У ході вивчення нумерації багатоцифрових чисел потрібно сформувати в учнів уявлення про тисячу як нову лічильну одиницю, про групування розрядів у класи. Важливо підвести дітей до розуміння того, що для безпомилкового читання чисел, більших за тисячу, треба добре вміти читати трицифрові числа і знати назви класів. Розділ 11. Початковий курс математики як навчальний предмет                                             24 Розширення меж натуральних чисел здійснюється поступово: спочатку учні вчаться читати й записувати чотирицифрові числа, потім п'ятицифрові, а тоді шестицифрові. Така послідовність забезпечує краще усвідомлення учнями сутності групування розрядів у класи і створює умови для формування міцних умінь читати й записувати багатоцифрові числа, оскільки методичний підхід вивчення нумерації в межах кожного розряду однаковий. У вивченні додавання і віднімання можна вичленити дії з натуральними числами та дії з іменованими числами. Оскільки діти вже ознайомлені з додаванням і відніманням трицифрових чисел, то ознайомлення з діями багатоцифрових чисел здійснюється прямим перенесенням. У формуванні навичок виконання дій варто певну увагу приділити перевірці правильності обчислень способом застосування оберненої дії. Додавання і віднімання іменованих чисел супроводжується розглядом вправ на перетворення іменованих чисел. Множення і ділення багатоцифрових чисел вивчається в такій послі­довності: множення на одноцифрове число; ділення на одноцифрове число; множення чисел, що закінчуються нулями; ділення на числа, що закінчуються нулями; множення на двоцифрове і трицифрове числа; ділення на двоцифрове число. Пояснення письмового алгоритму дій другого сту­пеня займає чимало часу. Щоб дітям не доводилося тривалий час бути тільки спостерігачами та слухачами, варто варіювати методи пояснення нового матеріалу, зокрема застосовувати самостійне ознайомлення зі знаходженням значення виразу за поясненнями, поданими в підручнику. Тут подано аналіз програми з питань вивчення нумерації натуральних чисел та арифметичних дій над ними. Аналіз інших питань програми (величини, задачі, початкові уявлення про дроби, пропедевтика алгебри, геометрії) подано у відповідних розділах навчального посібника. §6. Математична підготовка дітей в дитячому садку Подаємо огляд програми з математики дитячих садків. У програмі виділяються такі групи понять: оцінка величин, числові поняття, поняття про форму, вимірювання, поділ цілого на частини, орієнтація в часі. Кількісна оцінка величин: більший, менший, однаковий за величиною; вищий, нижчий, однаковий за висотою; довший, коротший, однаковий за довжиною; ширший, вужчий, однаковий за шириною; товщий, тонший, однаковий за товщиною; важчий, легший. Діти навчаються результати порівняння предметів за величиною називати відповідними словами, будувати ряди предметів за їх величиною в зростаючому та спадному порядках. У формуванні кількісних характеристик множин і величин значна увага приділяється поняттям "більше", "менше", "порівну" і вмінню встановлю­вати взаємно однозначну відповідність між елементами (предметами) порівнюваних множин. Спочатку це роблять способом накладання і прикладання, а вже потім дітей навчають числом визначати більшу, меншу Методика викладання математики в початкових класах                                                  25 або рівну сукупність. Навчають з нерівності об'єктів утворювати їх рівність, і навпаки. Діти вчаться лічити предмети, називати числа у зворотному порядку, розуміти кількісне й порядкове значення числа, на основі відповідних груп предметів називати склад числа з двох менших. Програмою передбачено навчання дітей складати і розв'язувати задачі, виділяти структурні частини задачі — умову і запитання. У дітей формують знання про такі геометричні фігури, як: круг, трикутник, квадрат, чотирикутник, брус, піраміда, куб, куля, циліндр. У дитячому садку діти отримують перші уявлення про вимірювання, про поняття "міра" (умовна міра довжини, сипких і рідинних речовин). У дітей формується знання про те, що ціле може бути поділене на частини, які можуть бути між собою і нерівні. Діти ознайомлюються з природними одиницями часу (рік і пори року, місяць, тиждень, доба) та з циферблатом годинника. Відповідно до розглянутої програми, а також вікових особливостей дітей та досвіду виховання їх у сім'ї можна сформулювати таку характеристику щодо знань дітей 5—6-ти років. На п'ятому році життя дитина повинна вміти лічити в межах 5—7; порівнювати дві групи предметів за кількістю; порівнювати предмети за величиною "на око" чи способом прикладання, порівнювати предмети за допомогою умовної мірки; розкладати їх у зростаючому чи спадному порядку за довжиною, шириною, висотою чи товщиною; розрізняти круглу, трикутну й квадратну форми предметів. Важливо також навчити дитину орієнтувати­ся в просторі, визначати положення предмета відносно себе; вміти рухатися в заданому напрямі; орієнтуватися в поняттях "швидко", "повільно"; уміти користуватися словами: сьогодні, завтра, вчора, довго — недовго, часто — рідко. У дітей шостого року життя бажано сформувати уявлення про числа першого десятка; навчити лічити в межах 10, порівнювати суміжні числа, називати і розрізняти цифри, розпізнавати нові геометричні фігури. Діти мають знати, що результат лічби (чисельність множин) не залежить від кольору чи розміщення предметів. Бажано, щоб діти знали послідовність днів тижня. І в сім'ї, і в дитячому садку для дитини, як правило, створюються необхідні умови, але від неї не вимагають ніякого звіту. Останнє і є однією з причин, що діти приходять у перший клас з дуже різною підготовкою. Тому цілком правомірна практика прийому дітей у школу з 6 — 7-ми років з урахуванням реального стану готовності до навчання. Однак треба зважати на те, що в соціальній сфері критеріями готовності до навчання є мотиваційна та емоційно-вольова готовність, готовність до спілкування з однокласниками і вчителями, готовність виконувати правила для учнів. §7. Наступність у навчанні математики між початковими і 5—6 класами Вивчення математики в 5-6 класах базується на тій математичній підготовці, яку учні отримали в початковій школі. Загалом вона визначена тими вимогами, які вказані в програмі для учнів на кінець четвертого року навчання. Розділ 11. Початковий курс математики як навчальний предмет                                             26 Мета засвоєння курсу математики 5—6 класів — систематизація знань про розвиток поняття числа та вироблення вмінь виконувати усно і письмово арифметичні дії над числами, перекладати практичні задачі мовою математики, підготовка учнів до вивчення систематичних курсів алгебри й геометрії. Курс базується на індуктивній основі із залученням елементів дедуктивних міркувань. Теоретичний матеріал викладається на наочно-інтуїтивному рівні, математичні методи і закони формулюються у вигляді правил. Програмою передбачено поглиблене вивчення натуральних чисел і нуля, що передбачає читання і запис натуральних чисел, їх порівняння, виконання арифметичних дій. Учні набувають навичок обчислень з натуральними числами, вчаться використовувати букви для запису виразів і властивостей, складати за умовою текстової задачі нескладні лінійні рівняння, продовжують ознайомлюватися з новими геометричними фігурами. Відповідно до цього програма з математики для учнів 5—6 класів охоплює три розділи: арифметика, елементи алгебри, елементи геометрії. Розділ арифметики можна назвати основним, а останніх два — пропедевтичними. Вивчення арифметики не обмежується натуральними числами (включаючи такі питання, як: подільність чисел, ознаки подільності, розкладання числа на прості множники, знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного). Учні грунтовно ознайомлюються зі звичай­ними та десятковими дробами, вчаться їх записувати і порівнювати, виконувати дії над ними. Вони ознайомлюються з від'ємними числами, цілими і раціональними числами, засвоюють початкові відомості про калькулятор. У вивченні елементів алгебри велика увага приділяється буквеним виразам, простішим перетворенням виразів, зокрема розкриттю дужок та зведенню подібних членів. Учні ознайомлюються з пропорцією, розв'язуванням лінійних рівнянь, прямокутною системою координат. Елементи геометрії представлені як плоскими фігурами, так і геометрич­ними тілами. Школярі ознайомлюються з перпендикуляром до прямої, паралельними прямими, градусною мірою кута, масштабом. Приділяється велика увага вимірюванню величин (довжини, площі, об'єму, кутів) та побудові геометричних фігур. Серед геометричних тіл розглядаються куб, прямокутний паралелепіпед, куля. Учні ознайомлюються з формулами для знаходження довжини кола і площі круга. Вчителі початкових класів повинні враховувати перспективи навчання в 5—6 класах. З огляду на це треба знати не лише основні напрямки розгортання матеріалу, а й враховувати межі їх розвитку, тобто завершеність певної ідеї та очікувані результати. Провідними ідеями вивчення арифметики й елементів алгебри у 5—6 класах є розширення поняття числа, формування поняття про вираз і перетворення виразів, систематичне вивчення рівнянь і нерівностей та застосування їх для розв'язування задач. Поняття числа, розвиваючись, проходить кілька етапів, що забезпечує уявлення про різні множини чисел і зв'язки між ними. РОЗДІЛ III   ЗАСОБИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ В ПОЧАТКОВИХ КЛАСАХ   Методично правильно побудоване навчання математики має починатися з конкретного і поступово переходити до абстрактних висновків. Переходу від сприймання конкретного до абстрактного і від абстрактного до конкретного сприяють засоби навчання. Засоби навчання математики розуміють як сукупність об'єктів будь-якої природи, кожний з яких повністю або частково замінює поняття, яке вивчається, дає нову інформацію про нього. У початкових класах використовуються різні засоби навчання: під­ручники, навчальні посібники для учнів (картки з математичними завданнями, зошити з друкованою основою, довідники тощо), спеціальні наочні посібники (предмети або їх зображення, розрізні цифри, знаки дій і порівняння, моделі геометричних фігур та ін.), інструменти і прилади (лінійка, циркуль, кутник, палетка), технічні засоби навчання. Засоби навчання поділяються на фронтальні (демонстраційні) та індивідуальні. Починаючи вивчати те чи інше питання, вчитель повинен мати на увазі, чи є в уяві учнів потрібні наочні образи. Щоб учні уявляли собі життєву ситуацію, відображену в задачі, краще простежували залежності між величинами, необхідно застосовувати предметне моделювання. Потім можна переходити до більш узагальненого (умовно-предметного) і графічного моделювання, до застосування готових опорних схем і таблиць. Використання наочних посібників дає змогу: активізувати роботу учнів; зекономити час на уроці; збільшити обсяг роботи на уроці; підвищити ефективність процесу оволодіння знаннями, вміннями і навичками. Проте наочне навчання не має бути вирішальним. Буде неправомірно, навіть шкідливо, довго захоплюватися наочністю. Без своєчасного розвитку абстрактного мислення неможливе повноцінне засвоєння математичних знань.   Розділ III. Засоби навчання математики в початкових клас                                                    28 §8. Підручник — основний засіб навчання математики в початкових класах Підручник з математики для початкових класів — книжка, в якій на осно системи теоретичних повідомлень, вправ і задач розкриваються знанн відповідно до мети навчання, визначеної програмою. У ньому конкре тизуються зміст програми відповідного класу і визначаються основа методичні підходи до опрацювання навчального матеріалу. Підручник з математики адресується як учню, так і вчителю. Отже, рівен абстрагування, мова, зміст текстів, добір прикладів і задач у ньому розрахован на учня певної вікової групи. Вчителю матеріали підручника розкривают методичні задуми автора і допомагають в організації навчального процесу. Зразки прикладів на прийоми обчислень та розв'язування задач ; поєднанні з бесідою забезпечують умови для активного осмислення новогс матеріалу. Підручник є зразком правильної математичної мови, він міститі достатню кількість різноманітних вправ і задач. Запитання і вправі/ репродуктивного характеру забезпечують не тільки міцні підвалини для формування знань і вмінь застосовувати їх в різних ситуаціях, а й основу для успішного виконання творчих завдань. Зміст шкільного підручника з математики для початкових класів значною мірою спирається на найближче оточення учнів, знайоме їм з власного досвіду. Він відображає внутрішньопредметні і міжпредметні зв'язки та забезпечує наступність вивчення математики в середніх класах. Структура і методичний апарат підручника з математики такі, що його можна ефективно використовувати як: складовий елемент пояснення нового матеріалу; основний засіб організації навчальної діяльності учнів у процесі осмислення й закріплення нових знань та формування вмінь розв'язувати задачі; засіб обміну інформацією між учителем і учнем в умовах класно-урочної системи навчання. Як важливий засіб виховання і розвитку учнів підручник своїм змістом, методичним апаратом і сюжетом задач забезпечує можливість реалізації на уроках завдань патріотичного, морального, трудового й естетичного виховання; ознайомлює дітей з деякими відомостями політехнічного характеру; впливає на розвиток мислення й пам'ять учнів, на виховання інтересу до математики, на вироблення навчальних умінь, у тому числі вміння самостійно працювати з підручником. §9. Предметне й табличне унаочнення. Використання и         структурних схем і малюнків. Дидактичні матеріали До предметного унаочнення, яке використовується на уроках матема­тики, належать як предмети навколишньої дійсності, так і їх зображення, а також цифри, знаки дій; відношень (<, >, =). У вчителя мають бути зображення різноманітних реальних предметів: картинки із зображенням посуду, одягу, взуття, спортивних речей, інструментів, сільськогосподарських машин і знаряддя, транспорту тощо. Методика викладання математики в початкових класах                                                  29 Операції об'єднання множин, вилучення з даної множини певної підмножини, поділ множини на підмножини є теоретичною основою арифметичних дій додавання, віднімання і ділення натуральних чисел. їх учні виконують разом з учителем, використовуючи лічильний матеріал. Наприклад, ілюструючи задачі, вчитель на набірному полотні виставляє послідовно 3 і 1 картинку із зображенням автомобілів, 3 і 1 картинку із зображенням хлібин (мал. 1), а учні — відповідно лічильний матеріал. Щоб операції над множинами стали основою формування математичних понять і закономірностей, треба, щоб операції над множинами виконувались постійно і кожним учнем. У такому разі, по-перше, якість засвоєння учнями математичних понять і закономірностей значно зростає, оскільки до роботи залучаються всі аналізатори: зорові, слухові, моторні й мовленнєві; по-друге, учні навчаються самостійно користуватись наочними посібниками, що дуже важливо під час проведення самостійних робіт. Мал. 1 Важливим засобом наочності в процесі вивчення математики є таблиці. За метою застосування вони різноманітні: таблиці для формування математичних понять і закономірностей (навчальні таблиці); таблиці-інструкції; таблиці, що служать засобом відшукання способу розв'язування задачі; таблиці для усних обчислень; таблиці-довідники. Окремі з них мають не одну, а кілька цілей. Наведемо приклади. Таблиця І Множник   Добуток 6 • 3 = 18 Що отримаємо, коли добуток поділимо на один з множників? 18:6 = 3 18:3 = 6 Табл. 1 служить для розкриття взаємозалежності між результатом і ком­понентами дії множення. Учням пропонують: розглянути запис і прочитати, Розділ III. Засоби навчання математики в початкових клас                                                    30 як називаються числа при множенні; дати відповідь на поставлене запитання; навести власні приклади; з кожного прикладу на множення скласти і записати два приклади на ділення. Ознайомлення з властивістю множення суми на число можна провести за табл. 2. У кожному рядку 4 білих і 2 чорних трикутники. Скільки всього трикутників на малюнку? (У кожному рядку 6 трикутників, а таких рядків 3. 6 помножити на 3, буде 18). Як по-іншому можна дізнатися, скільки трикутників на малюнку? (Спочатку дізнаємося, скільки білих трикутників на малюнку. В кожному рядку 4 білих трикутники, а таких рядів 3. 4 пом­ножити на 3, буде 12. Потім дізнаємося, скільки чорних трикутників. У кожному рядку 2 чорних трикутники, а таких рядків 3. 2 помножити на З, буде 6. 12 і 6, буде 18). Як можна помножити суму на число? Таблиці-інструкції — це здебільшого алгоритми виконання арифметичних дій, пам'ятки розв'язування текстових задач. Таблиця 2   Багато таблиць використовується для ілюстрації змісту задач за допомогою (мал. 2).     Мал. 2 Методика викладання математики в початкових класах                                                  31 Табл. З і 4 призначені для усних обчислень. Таблиця З Таблиця 4       До таблиць-довідників належать таблиці, в яких відображені середні маси фруктів, овочів, тривалість життя рослин і тварин, швидкості різних видів транспорту, середня норма витрат пального для деяких автомобілів на 100 км шляху, продуктивність праці машин і механізмів та ін. (табл. 5, 6). У таких таблицях можуть бути зображені або названі предмети з числовими характеристиками. Дані цих таблиць учні використовують для складання текстових задач. Значну допомогу в роботі вчителя надають комплекти таблиць для кожного класу. Вони мають назви: "Альбом завдань з математики для 1 класу", "Альбом завдань з математики для 2 класу" і т. д. Кожний альбом містить 50 і більше таблиць. У наборі таблиць наведено близько 200 завдань. Це завдання на вивчення нового матеріалу, на закріплення та для самостійної роботи учнів з усіх тем даного класу. Матеріали кожної таблиці зорієнтовані     Розділ III. Засоби навчання математики в початкових клас                                                    32 на два послідовних уроки, але їх можна неодноразово використовувати під час повторення як для фронтальної, так і самостійної роботи. У методичних вказівках детально розглядається методика використання кожної таблиці. Таблиця 5 100 км/год 1000 км/год Методика викладання математики в початкових класах                                                  33 Таблиця 6   Таблиці альбому зручні для зберігання. їх не треба прикріплювати ДО планок. Подамо як зразок одну з таблиць альбому для 1 класу. Таблиця. Додавання і віднімання нуля. Ознайомлення з поняттям і терміном "задача". Приклади на додавання і віднімання одиниці. Таблиця 7   Завдання 1. Розглянути малюнки тарілок. На другій тарілці 3 яблука. На першій тарілці яблук нема. Кажуть, що нуль яблук. За цими даними складемо приклад: 0 + 3. Скільки яблук на двох тарілках? (Три). Отже, разом 3 яблука. Запишемо у відповіді число 3. Розділ III. Засоби навчання математики в початкових клас                                                    34 Завдання 2. Число нуль можна додавати і віднімати. Прочитати приклади на дії з нулем (5 - 0, 4 + 0, 3 - 3). Прочитати третій приклад. Чому дорівнює різниця 3-3? Завдання 3. Бесіда про задачі. Складемо задачу про кольорові олівці. На малюнку зліва коробка з олівцями. Всього у коробці 6 олівців. Розглянемо малюнок справа. Коробка закрита, але 2 олівці поставлено у склянку. Отже, маємо таку задачу: "У коробці було 6 олівців. 2 олівці поставили у склянку. Скільки олівців залишилось у коробці?". Повторимо умову задачі. Повторимо запитання. Якщо з коробки взяли два олівці, то в коробці олівців стало більше чи менше? Якою дією можна розв'язати задачу? Запишемо: 6-2. | Знайти відповідь і повідомити її. І Завдання 4. Розв'язати приклади на додавання і віднімання одиниці. і Ця таблиця може бути використана як при опрацюванні нового матеріалу, так і при його закріпленні. До дійових засобів наочного навчання в початкових класах належать записи і малюнки, виконані вчителем на дошці. Вчитель повинен бути вимогливим до своїх записів на дошці, їх точності, стислості і чіткості, користуватися лише загальноприйнятими математичними символами, записувати їх правильно і у потрібних місцях, щоб за ними можна було учневі відновити весь хід міркування вчителя. Кожну цифру і букву пишуть у сітці класної дошки похило: цифру і малі букви — висотою в 1 клітинку в 1 - 2 класах, а в 3-4 класах — 2/3 клітинки. Великі букви в усіх класах пишуть висотою в півтори клітинки. У виразах з дужками для написання дужки відводять одну клітинку. Форма подання структурних схем обчислювальних прийомів може бути різна — залежно від етапу роботи над цим прийомом, мети тощо. Вчитель під час пояснення, наприклад множення двоцифрового числа на одноцифрове, подає на дошці такий зразок обчислення: 18-4 = / \ 10 8     10-4-40 8 • 4 = 32 40 + 32 = 72 Якщо вчитель на дошці, а учні в зошитах виконуватимуть розгорнутий запис обчислювальних прийомів, то хід міркування учня під час обчислень буде більш усвідомленим. 63 + 28 =60 + 3 + 20 +8= 60 +20 +3 + 8 = 80 + 11 = 91. Наочна інтерпретація має велике значення для розв'язування задач. Вона набуває вигляду короткого запису, таблиці, схеми чи малюнка. При цьому кожний вид наочності може мати різні варіанти. Вибір того чи іншого виду наочності зумовлений передусім дидактичною метою роботи над задачами: розв'язати задачу окремими діями з письмовим поясненням чи без нього; скласти вираз із письмовим поясненням чи записати (назвати) відразу вираз; Методика викладання математики в початкових класах                                                 35 розв'язати задачу різними способами і встановити, який з них раціональний; розглянути тільки залежність між величинами задачі та ін. Скорочений запис текстової задачі можна подати по-різному (див. розділ XI). Таблична форма запису задачі більш абстрактна, ніж малюнок або схема. Тому під час первинного ознайомлення, наприклад, із задачею: "В чотирьох однакових ящиках 48 кг яблук. Скільки кілограмів яблук у семи таких ящиках?" — доцільно змоделювати її у вигляді схеми (мал. 3) або,графічної ілюстрації (мал. 4), які вчитель може виконати на дошці: Або, наприклад, задачу: "Турист їхав 2 год поїздом зі швидкістю 50 км/год Після цього йому залишилося їхати в 3 рази більше від того, що він проїхав. Скільки кілометрів турист має проїхати?" — можна подати у вигляді коротко­го запису за допомогою опорних слів (мал. 5, 6) або у вигляді таблиці чи графічної ілюстрації:     Розділ III. Засоби навчання математики в початкових клас                                                    36 Мал. 6 Поширеним дидактичним матеріалом у сучасній початковій школі є зошити з друкованою основою та картки з математичними завданнями. У зошитах з друкованою основою подаються не тільки завдання, а й відводиться вільне місце для їх виконання. Це дає змогу звільнити учня від непродуктивної праці: переписування завдань, що пропонуються для розв'язування. Зошити з друкованою основою призначені для організації самостійної роботи учнів переважно на етапах закріплення й повторення вивченого матеріалу, для підготовки учнів до ознайомлення з новим матеріалом, для домашньої роботи. Завдання однієї сторінки зошита складаються з розрахунку на 2-3 послідовних уроки. Проте використовувати ці завдання можна не на кожному уроці, а через один-два уроки. Необов'язково, щоб учні розв'язали всі завдання зошита. Вибірку доцільних чи потрібних завдань визначає вчитель, враховуючи можливості своїх учнів. Наведемо одну сторінку зошита для 2 класу. Ця сторінка присвячена закріпленню усного додавання і віднімання без переходу через десяток, ознайомленню з письмовим додаванням, розв'язуванню задач на одну і дві дії. (134.) Обчисли і запиши відповіді.                                                               4 =     40 =       44 =                                                                                                                                                                        53+   5 =     50 =     55   =         68- (135.) Знайди суму чисел.   (136.) Фермер продав 24 вівці. У нього ще залишилося 13 овець. Скільки овець було у фермера спочатку?                 Розв'язання:          Відповідь. У фермера було овець. Методика викладання математики в початкових класах                                                  37 (137.) Яка маса барана? (Мал. 7). 23 кг 16 кг ?, на 20 кг більша                                                   за масу 2 овець разом     Розв'язання                   1)                 2)   Відповідь. Маса барана ___ кг. Зошити з друкованою основою слід використовувати в поєднанні з підручником, іншими посібниками і робочими зошитами учнів. Під час підготовки до кожного уроку вчитель має ознайомитись із завданнями, вміщеними в них до даного уроку. Відповідно до мети уроку він визначає, на якому етапі буде проводитись робота із зошитом. Щоб учні змогли са­мостійно виконувати завдання в зошитах, треба проводити спеціальну підготовчу роботу. Картки з математичними завданнями використовують: під час проведення навчальних самостійних робіт, а також письмових контрольних робіт; як ! додаткові завдання для окремих учнів; для роботи з учнями, які мають прогалини в знаннях; під час організації самостійної роботи невеликої групи учнів на фоні фронтальної роботи з класом. Наприклад, їх можна використати при опитуванні, коли 1—2 учні біля дошки готуються до відповіді, виконуючи індивідуальні завдання за картками, а вчитель в цей час працює з класом. їх можна застосовувати вибірково, з урахуванням реальних умов роботи в класі. Важливо, щоб учні зрозуміли, як працювати за карткою. Наведемо приклади двох карток. Картка 1 (другий клас) 1. Запиши цифрами числа: сорок, двадцять, вісім, вісімдесят два, чотири, сорок чотири, нуль, сто, вісімдесят. 2. Знайди значення виразів, а потім — суму всіх відповідей. Якщо дії виконано правильно, то ця сума дорівнює 100. 19-9    83-70   7+16    82-75 5 + 6      70-52   62-54   10 + 0   Розділ III. Засоби навчання математики в початкових клас                                                    38   Картка 2 (четвертий клас) 1. Прочитай, як знайшли першу цифру частки, запиши початок розв'язання й закінчи ділення. 33 680 180 ! 4... Пояснення. Перше неповне ділене 336 сотень. Отже, частка буде трицифрова. Знайду першу цифру частки: 336 : 10 : 8, буде 4 (сотні). Запишу цифру 4 в частці на місце сотень. Знайду, скільки сотень залишилося: 80 • 4 = 320, 336 - 320 = 16 (сотень). 2. Посіяли 8 кг ячменю, а зібрали 56 кг. У скільки разів більше кілограмів ячменю зібрали, ніж посіяли? Робота з картками здебільшого оцінюється.

Інструменти, прилади й моделі, технічні засоби навчання

Вивчення чисел і величин ґрунтується на практичній діяльності учнів, пов'язаній з оволодінням уміннями і навичками вимірювання довжини відрізка, площі фігури, маси тіла, місткості посудини, часу. Вимірювати ці величини можна за допомогою інструментів. Вони поділяються на демонстраційні та індивідуальні. Деколи замість самих інструментів використовують їх моделі (моделі циферблата годинника, терезів, малки тощо).

Класна рахівниця (мал. 8) служить необхідним наочним посібником для вивчення нумерації чисел в межах 1 000 000. Нею користуються з І класу, поступово збільшуючи кількість дротинок. На рахівниці під час вивчення чисел у межах 10 можна ознайомити учнів з тим, як отримати наступне і попереднє числа, як порівнювати числа (кількість кісточок на двох дротинках); демонструвати склад числа; проводити лічбу, додавати і віднімати числа; розкривати поняття "збільшити (зменшити) на кілька одиниць"; складати таблиці додавання і віднімання.                  

Мал. 8

Методика викладання математики в початкових класах                                                  39

Для ознайомлення з письмовою нумерацією чисел можна використати рахівниці з вертикальними дротинками (мал. 9), предметний абак (мал. 10).

Для вивчення нумерації чисел та окремих випадків додавання і віднімання застосовуються різноманітні демонстраційні абаки (мал. 11, 12). Індивідуальні абаки (мал. 13) побудовані так само, як демонстраційні (мал. 12).

 

 

Велике значення в навчанні математики мають моделі і набори геометричних фігур. Значну частину задач геометричного змісту можна відтворити на посібнику, який являє собою дошку (фанеру) із вбитими в неї гвіздками на відстані 5 см один від одного (гвіздки над поверхнею дошки виступають на 1—2 см) (мал. 14).

Для роботи з посібником використовують кольорові гумки. За допомогою такого посібника можна швидко відтворювати, змінювати геометричні фігури, розв'язувати як прості, так і складені задачі геометричного змісту.

До технічних засобів навчання математики належать кінопроектори, діапроектори, епідіаскопи, кодоскопи. Вони допомагають у багатьох випадках замінити записи на класній дошці під час пояснення вчителем нового матеріалу.

Найпоширенішими серед різних екранних засобів навчання є діафільми. Вони розраховані на вивчення учнями нового матеріалу і служать ілюстрацією до пояснення. Окремі фрагменти можуть бути використані на етапах закріплення, повторення й узагальнення знань та з метою контролю знань, умінь і навичок.

Діапозитиви — це своєрідні окремі кадри діафільму. Проте вони можуть бути виготовлені самим учителем. На плівку наносяться потрібні записи чи малюнки. Діапозитиви демонструють за допомогою епідіаскопа.

Кодоскоп поєднує в собі можливості класної дошки і діапроектора. Матеріал для кодоскопа, як і для епідіаскопа (епікадри і епістрічки), за змістом і художнім оформленням може добирати і виготовляти сам учитель.

 

Розділ III. Засоби навчання математики в початкових клас                                                    40

У 3—4 класах учням варто показати застосування комп'ютера для розв'язування задач.

Під час підготовки до уроку з використанням технічних засобів навчання слід визначити місце і час демонстрації екранного посібника; зазначити місце зупинок для проведення бесіди, самостійної або інших видів роботи, а також місця, коли треба дати додаткові пояснення під час демонстрації екранного посібника; продумати зміст цих пояснень.

§11. Засоби зворотного зв'язку

Виконуючи завдання з усних обчислень, учні піднімають руку і з дозволу вчителя усно повідомляють відповідь. Нерідко вчителі пропонують дітям показати відповіді за допомогою розрізних цифр. Це допомагає залучати до роботи всіх учнів, а вчитель бачить, як діти впорались із завданням. Зас­тосування розрізних цифр зручне для випадку дій у межах 10. За межами десятка повідомлення відповідей за допомогою розрізних цифр дещо ускладнюється. Тому в практиці розроблені й інші засоби зворотного зв'язку. Розглянемо деякі з них.

Віяло (мал. 15). Розрізні цифри скріплені у вигляді віяла.

 

Числовий абак (мал. 16). Цей пристрій складається з двох стрічок, на кожній з яких записані одноцифрові числа. Вони можуть рухатись у картонній рамці. У рамці зроблені віконця для чисел. Для повідомлення відповіді, наприклад 47, учень має розмістити стрічки так, щоб це число з'явилося в рамочці.

Методика викладання математики в початкових класах                                                  41

Таблиця чисел першої сотні. Числа першої сотні записують на подвійному аркуші з учнівського зошита: у першому рядку числа 1—10, у другому — 11—20 і т. д. Висота цифри 17 мм. На зворотному боці всі числа можна записати висотою в одну клітинку. Малі цифри записують навпроти відповідних великих.

Повідомляючи відповідь, учень піднімає аркуш і паличкою (олівцем, ручкою) показує потрібне число.

Таблиця 8

 

Кодування відповіді. Для швидкого оцінювання правильності відповіді достатньо, якщо учень повідомить не саму відповідь, а стовпчик, в якому є шукане число. У такому разі учневі достатньо мати тільки розрізні цифри.

Для кодування відповіді можна також використати таблицю чисел першої сотні (табл. 8). Ця таблиця доповнена верхнім рядком (цифровим кодом) і нижнім рядком (для знаків арифметичних дій і знаків порівняння). Числа в таблиці записані "змійкою".

Нехай учні 2-го класу виконали такі завдання:

57+14 = 71(9)                 51-17 = 34(6)

З • 7 = 21 (0)                      36 : 4 = 9 (8)

Учні записують відповідь, а поряд у дужках кодовані відповіді. На прохання вчителя вони показують кодовані відповіді цифрами. Цифра 9 означає, що шукана відповідь (71) знаходиться у дев'ятому стовпчику.

 

 

РОЗДІЛ IV

СКЛАДОВІ ЧАСТИНИ УРОКУ МАТЕМАТИКИ. МЕТОДИ ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

Урок математики — основна форма організації навчальної діяльності молодших школярів. В уроці реалізується освітня, виховна та розвивальна мета навчання математики.

Освітня мета полягає в засвоєнні учнями математичних понять та у формуванні в них специфічних для математики вмінь і навичок. У початковій школі учні засвоюють елементарні математичні поняття про число і дії, задачу, величини і вимірювання, про геометричні фігури. Крім математичних, формуються також загальнотрудові знання, вміння і навички. До них належать: організаційні (опанування способів організації свого навчання, зокрема вміння планувати роботу і користуватися підручником); загальнопізнавальні (вміння спостерігати, міркувати, запам'ятовувати і відтворювати матеріал); загальномовленнєві (основні елементи культури слухання і мовлення); контрольно-оцінні (засвоєння способів перевірки та самоперевірки, оцінювання здобутих результатів).

Виховна мета передбачає формування в учнів уявлення про світ загалом, місце людини в ньому і способи його пізнання; вказує загальні орієнтири засвоєння нагромадженого людством соціального досвіду, магістральні шляхи перетворення дійсності.

У процесі навчання математики виховуються вольові якості людини: наполегливість у доведенні справи до кінця, охайність, самостійність, кмітливість, ініціативність.

Розвивальна мета полягає в тому, щоб добитися розвитку в учнів пізнавальних здібностей (сприймання, пам'яті, уяви, мови), мотивів і потреб навчання, творчих можливостей, емоційної сфери.

У педагогіці визначено такі вимоги до уроку: його чітка цілеспрямованість, теоретична й практична повноцінність змісту; правильне застосування та поєднання різних форм організації пізнавальної діяльності учнів (класної, групової, індивідуальної); виразне формулювання основних висновків; достатнє закріплення і повторення нового матеріалу; оперативне з'ясування лупеня оволодіння знаннями.

Для ефективного уроку математики характерні такі особливості: широке застосування фронтальних форм перевірки знань, надання опитуванню навчального спрямування, поєднання функцій контролю і закріплення;

Методика викладання математики в початкових класах                                                  43

проведення на уроці самостійної роботи, спрямованої на оволодіння новим матеріалом; посилення ролі первинного закріплення, збільшення обсягу практичних робіт і тренувальних вправ.

На кожному уроці передбачені встановлення свідомої трудової дисципліни, живе спілкування з учнями, емоційне мотивування навчальної діяльності школярів.

За основною дидактичною метою виділяють такі типи уроків: 1)урок засвоєння нових знань; 2) урок засвоєння навичок і вмінь; 3)урок застосування знань, навичок і вмінь; 4) урок узагальнення і систематизації знань; 5) урок перевірки, оцінювання і корекції знань, умінь і навичок; 6) комбінований урок.

У початкових класах немає уроків, повністю присвячених вивченню нового матеріалу. Новий матеріал невеликими частинами розглядають майже на кожному уроці. Тому найпоширенішими в початкових класах є комбіновані уроки.

Комбінований урок містить такі компоненти: 1) перевірка домашнього завдання; 2) опитування учнів; 3) усні обчислення; 4) підготовка до вивчення нового матеріалу і повідомлення теми заняття; 5) опрацювання нового матеріалу; 6) первинне закріплення; 7) закріплення й повторення; 8) до­машнє завдання та підбиття підсумків уроку.

У структурі комбінованого уроку його компоненти можна об'єднати в такі три частини:

1. Контроль, корекція та закріплення знань учнів (перевірка домашнього завдання, опитування учнів та усні обчислення).

2. Опрацювання нового матеріалу (підготовка до вивчення нового матеріалу, його вивчення та первинне закріплення).

3. Закріплення та узагальнення знань учнів (закріплення і повторення матеріалу, завдання додому, підбиття підсумків уроку). Цю частину часто називають "розвиток математичних знань учнів".

Розгляд окремих частин і компонентів комбінованого уроку подаємо в наступних трьох параграфах. У решті параграфів цього розділу розглянемо інші різновиди уроків, форми навчальної діяльності учнів і нормативи оцінювання їхніх знань.

 §12. Контроль, корекція та закріплення знань учнів

Компоненти першої частини уроку — перевірка домашньої роботи, опитування учнів і усні обчислення — взаємопов'язані. Ці компоненти уроку використовують як для контролю, так і для закріплення знань. Нерідко їх важко розрізнити, визначити момент переходу від одного до іншого. Проте кожний зі згаданих видів робіт має свою специфіку, тому методику проведення кожного з них розглядатимемо окремо.

Перевірка домашньої роботи

Щоб цей вид навчальної роботи був справді корисним і ефективним, потрібно звертати увагу на активізацію діяльності учнів під час перевірки

Розділ IV. Складові частини уроку математики. Методи вивчення нового матеріалу             44

домашньої роботи. Виконувати перевірку треба швидко, чітко, часто змінюючи форму.

Ні в якому разі не можна погодитися з учителями, які вважають, що перевіряти в класі домашні завдання не варто, оскільки вчитель перевіряє зошити. Якщо не перевіряти домашні завдання, то втрачається виховне значення роботи.

Щоб перевірка не перетворювалась на нудну для школярів роботу, треба уникати одноманітності в її проведенні. Залежно від мети уроку і змісту домашнього завдання перевірка може бути повною, вибірковою або зводитись до констатування самого факту, що завдання виконано. Форми перевірки чергуються протягом тижня. Причому повна і вибіркова перевірки, як правило, поєднуються з опитуванням учнів та з усними обчисленнями.

Повна перевірка займає 5 — 6 хв уроку і найчастіше проводиться так: один-два учні записують, користуючись підручником, розв'язання задач або обчислення виразів на дошці. Інші в цей час вправляються в усних обчисленнях або під керівництвом учителя перевіряють правильність обчислення решти виразів. Варто запропонувати дітям прочитати один з виразів з повним поясненням способу обчислення. Потім увага учнів звертається на записи, що є на дошці. Той, хто записав розв'язання задачі, коротко повторює її умову, повідомляє план її розв'язання і повну відповідь. Весь клас перевіряє розв'язання задачі на дошці, кожний має звірити відповідь зі своєю. Відповідно до запису розв'язання задачі на дошці, вчитель нерідко ставить одне-два запитання для уточнення якості роботи. Потім він дає додаткові завдання (необов'язково за темою домашнього завдання) і виставляє учню оцінку.

Під час вибіркової перевірки звертається увага на задачі і вправи, що важливі для усвідомлення теоретичного матеріалу даного уроку. Тренувальні завдання в цей час перевіряють побіжно — читають лише відповіді. Для вибіркової перевірки достатньо 3-5 хв уроку. Вчитель пропонує спочатку одному-двом учням підготувати матеріал для перевірки: записати на дошці розв'язання певних прикладів або задачі повністю чи частково, але щоб було достатньо даних для пояснення та коментування вправи. Поки діти готують записи, класовод фронтально опитує решту дітей. Вибіркову перевірку можна проводити усно. У такому разі школярі відповідають з місця, користуючись записами в зошитах.

Наявність виконаного завдання вчитель з'ясовує, переглядаючи учнівські зошити на партах. (У цей час діти можуть бути зайняті взаємоперевіркою — вони перевіряють правильність розв'язання завдань один в одного). Тут доцільно поставити два-три запитання щодо окремих місць у розв'язанні задач і обчисленні виразів. У 3-4 класах перевірку наявності виконаного завдання можна доручати учням. Відповідальні за цю роботу на початку уроку переглядають зошити учнів свого ряду, потім доповідають учителеві про результати перевірки. Така форма має певне виховне значення: діти відчувають більшу відповідальність перед товаришами, перед колективом за свою роботу вдома. Оскільки ця перевірка короткочасна (1—2 хв), то після неї іноді доцільно проводити п'яти-, семихвилинну самостійну роботу, близьку за змістом до домашньої.

На конкретних зразках розглянемо деякі прийоми перевірки домашньої роботи, що сприяють підвищенню активності учнів, розвитку їхньої

Методика викладання математики в початкових класах                                                 45

самостійності, допомагають зекономити час на уроці. Реалізація таких прийомів найчастіше проводиться на основі попередніх записів на дошці. Перевірка обчислення виразів

1. Перед уроком записати на дошці обчислення виразів домашнього завдання (усіх або кількох). За цими записами учні перевіряють правильність своїх відповідей.

2. Записати на дошці числові значення виразів (у порядку зростання). Учні звіряють їх зі своїми результатами.

3. Записати на дошці вирази. Один-два або кілька учнів по черзі виходять до дошки і записують значення виразів.

4. На дошці записано рівності, одна-дві з них неправильні. Учні знаходять помилки і виправляють їх.

5. Учитель пропонує дітям додати значення всіх виразів і результат порівняти з числом, записаним на дошці (це число і є сумою значень виразів).

6. На дошці подано розгорнутий запис обчислення виразу. За допомогою такого запису треба пояснити хід розв'язування і вказати, на які властивості дій спирається застосований обчислювальний прийом.

7. Перевірити обчислення виразів такими методами: повторно пояснив­ши хід розв'язування; переставивши доданки чи множники; застосувавши зв'язок між арифметичними діями.

8. На дошці подано записи письмового множення чи ділення. Назвати всі неповні добутки або неповні ділені.

9. Розповісти про порядок виконання дій у виразі з дужками або на сумісні дії першого і другого ступенів.

10. Назвати компоненти і результат одного-двох виразів, наприклад, 84: 21 = 4; 84 — ділене, 21 — дільник, 4 — частка.

11. Прочитати кількома способами рівності, наприклад, 73 - 19 = 54 (від числа 73 відняти 19, буде 54; 73 мінус 19 дорівнює 54; 73 зменшити на 19, буде 54; зменшуване — 73, від'ємник — 19, різниця — 54; 73 більше від 19 на 54).

Перевірку розв 'язання задані можна провести так:

1. На дошці записано розв'язання задачі. Учні звіряють з ним свої записи.

2. Учитель або учень записує на дошці числовий вираз розв'язання задачі або окремі дії, а діти повідомляють план розв'язання і повну відповідь.

3. На дошці записано числові відповіді до кожної задачі. Учні мають звірити їх зі своїми, а потім прочитати повні відповіді.

4. Учитель записує план розв'язання задачі, а учні повинні записати дії, за допомогою яких цей план реалізується.

5. Розповісти, яка залежність існує між величинами, даними в задачі.

6. Один з учнів читає задачу і розповідає, як її слід розв'язувати. Після цього вчитель пропонує записати на дошці числовий вираз або окремі дії розв'язання за умови, що одне з даних задачі змінено. Наприклад, у задачі йшлося про купівлю 6 м тканини; змінити це число на 9 м.

7. Складену задачу перетворити на окремі прості задачі.

8. Скласти задачу аналогічну (обернену, з іншими запитаннями тощо) до тієї, яка розв'язувалася вдома.

   

Розділ IV. Складові частини уроку математики. Методи вивчення нового матеріалу             46

9. Порівняти розв'язання задачі з домашньої роботи із задачею, яка розглядалася раніше.

Класоводи нерідко показують учням кращі зразки виконання домашнього завдання. Школярам, роботи яких демонструються як кращі, варто виставляти відмінну оцінку в класному журналі. Взагалі доцільно відповіді здного-двох учнів на уроці в процесі пояснення виконання домашніх завдань оцінювати в балах.

Усне опитування

Усне опитування — одна з форм динаміки вивчення успішності учня. Опитування передбачає: контроль і перевірку знань, умінь і навичок учнів; закріплення та поглиблення вивченого матеріалу; підготовку до сприймання нових знань. Сучасна дидактика привертає увагу до творчого (осмисленого) зідтворення навчального матеріалу в процесі перевірки знань. Такий підхід змінює співвідношення контрольної і навчальної функцій перевірки, вона ;тає засобом поглиблення та засвоєння знань, розвитку мислення учнів.

Облік успішності молодших школярів з математики не становить для вчителя значних труднощів. Проводячи кожного семестру чотири-п'ять письмових контрольних робіт, оцінюючи певну частину письмових самостійних робіт (класних і домашніх), учитель має достатньо чітку картину стану засвоєння тієї чи іншої теми та рівня сформованості вмінь і навичок учнів. Це створює передумову для посилення навчальної функції індивідуального опитування. Навчальні резерви опитування доцільно спрямовувати на посилення пізнавальної активності учнів класу, зокрема на усвідомлення програмового матеріалу тими учнями, які відстають у навчанні. ' Усне опитування має бути стимулюючим у навчанні школярів. Його потрібно проводити систематично й послідовно, застосовуючи індивідуальний підхід до учнів, розвиваючи в них самоконтроль, зацікавленість у перевірці знань і оцінюючи їхні знання.

Для поточного опитування треба добирати такий матеріал, який ще потребує закріплення й узагальнення. Якщо спиратися на матеріал, яким ііти оволоділи досконало, то в класі спостерігатиметься лише зовнішня іктивність, учні працюватимуть без достатнього розумового напруження. Педагогічний такт, об'єктивна вимогливість учителя, що поєднується з його Зажанням допомогти кожному учневі, сприяють вихованню в дітей пра-зильного ставлення до обліку їх успішності. Неприпустимим є виставлення пезадовільної оцінки за випадкову неуважність, забутий вдома зошит або нші порушення дисципліни.

Важливе значення має добір матеріалу для опитування. Наведемо перелік теоретичного матеріалу, вмінь і навичок у виконанні математичних завдань, оівень засвоєння яких учнями має перевіряти вчитель.

1. Знання таблиць арифметичних дій. (У кінцевому результаті таблиці вдцавання, віднімання, множення і ділення учні повинні засвоїти напам'ять). Уміння самостійно скласти ту чи іншу таблицю додавання або віднімання па основі предметної ситуації чи застосування прийому обчислення, таблицю иноження на основі означення дії множення і таблицю ділення на основі ззаємозв'язку дій множення і ділення.          

Методика викладання математики в початкових класах                                                  47

2. Уміння усно виконувати арифметичні дії в межах 100 та над круглими числами в межах 1000. Знання основних (загальних) прийомів позатабличного виконання арифметичних дій.

3. Знання алгоритмів письмового виконання арифметичних дій. Уміння письмово виконувати обчислення над багатоцифровими числами.

4. Знання теоретичного матеріалу: побудова натуральної послідовності чисел, принципи усної і письмової нумерації чисел (групування чисел у розряди і класи, помісцеве значення цифр), властивості арифметичних дій, взаємозв'язку між компонентами і результатами арифметичних дій, порядок виконання дій у виразах без дужок і з дужками.

5. Знання одиниць вимірювання величин (довжини, маси, часу, площі); позначення одиниць вимірювання; знання відношень між одиницями вимірювання однієї і тієї самої величини. Уміння подавати значення величини в різних одиницях вимірювання.

6. Уміння розв'язувати прості і складені задачі, зміст і складність яких визначаються матеріалом діючих підручників.

7. Уміння обчислювати вирази на 2—4 дії; знаходити числові значення виразів з буквеними даними; знаходити дріб від числа та число за його частиною; розв'язувати рівняння (на одну операцію).

8. Знання таких геометричних фігур, як: точка, пряма лінія, відрізок, многокутники, коло. Уміння розпізнавати ці фігури та їх елементи. Уміння вимірювати та будувати відрізки заданої довжини, будувати прямокутник на папері в клітинку та вимірювати його площу.

Щоб усунути випадковість у доборі запитань і завдань для опитування, контролювати частоту їх постановки, варто до кожної великої теми наперед (перед опрацюванням на уроках) сформулювати і записати можливі запитання і основні завдання. Це стане у нагоді під час підготовки до кожного окремого уроку. Добір завдань для опитування з кожної теми у кожному класі — відповідальна й копітка справа.

У процесі вивчення математики застосовується індивідуальне і фронтальне опитування. У першому випадку учень виконує завдання на дошці і відповідає перед класом на поставлені йому запитання. У другому випадку вчитель пропонує завдання всьому класу і на них відповідають кілька учнів.

Індивідуальне опитування. Усне опитування біля дошки практикується майже на кожному уроці. Таким способом на одному уроці варто опитувати одного-двох учнів.

Першому учневі завдання і запитання для опитування вчитель повідомляє вголос. Ці завдання, як правило, виконують всі діти класу. Бажано, щоб відповіді були наближені до зв'язного пояснення. Учень пояснює виконані обчислення, відповідає перед класом на поставлені запитання. Учні класу перевіряють правильність обчислення, за пропозицією вчителя уточнюють відповіді. Другий учень працює біля дошки самостійно за завданнями, записаними на картці. Залучати усіх дітей до перевірки правильності виконання ним завдань необов'язково. Учитель здебільшого сам перевіряє правильність виконання і виставляє оцінку. В разі необхідності він дає учневі додаткові запитання.

Об'єктивність оцінки й активність дітей у процесі усного опитування значною мірою залежать від обсягу і змісту поставлених завдань. Здебільшого одне із

Розділ IV. Складові частини уроку математики. Методи вивчення нового матеріалу            48 завдань чи запитань стосується матеріалу попереднього уроку, а інше — даної теми. Бажано, щоб від уроку до уроку спостерігалася певна наступність завдань.

Фронтальне опитування. У початкових класах фронтальне опитування подібне до усних обчислень. Проте його можна розглядати і як самостійний вид навчальної роботи.

Опитування проводиться у формі бесіди. Подамо зразок завдань і запитань для опитування на один урок (під час вивчення таблиці ділення на 7).

1) Посіяли 4 кг вівса, а зібрали 36 кг. У скільки разів більше кілограмів вівса зібрали, ніж посіяли?

2) За 2 год трактор витратив 14 л пального. Скільки літрів пального йому потрібно для 8 год роботи?

3) Розкажіть (по черзі) таблицю множення числа 7.

4) Розкажіть всю таблицю множення числа 7 (одному учневі).

5) Які приклади на ділення можна скласти за прикладом 5 • 6 = ЗО?

6) Що отримаємо, коли добуток двох чисел поділимо на перший множник?

Наведіть приклад. На фронтальне опитування відводиться 5 — 8 хв. Відпові­дають багато учнів. Одного-двох школярів учитель викликає для відповідей 2 — 3 рази. Цим учням виставляють оцінки.

У початкових класах не слід ставити суворі вимоги в процесі усного опитування. Перш ніж контролювати знання учня, треба його озброїти цими знаннями.

Розглянемо детальніше прийоми навчаючого опитування. Сутність таких прийомів розкриємо на конкретних зразках завдань з основних тем програми.

Прийом типових структур. Опитування проводиться за тими наочними посібниками або структурними записами (схемами, таблицями, малюнками), які використовував учитель для пояснення нового матеріалу. Ці посібники чи записи одразу вводять учнів у проблему завдання, а кількаразове використання їх перетворює на своєрідні еталони. Відповіді за допомогою типових структур не сприятимуть механічному заучуванню, оскільки завжди можна запропонувати дітям навести власні приклади.

Тема опитування. Складання таблиці додавання числа 7 і віднімання числа 7.

На набірному полотні — ряди кружечків для складання таблиць додавання і віднімання числа 7 в межах 10 (мал. 17).

 

Мал. 17

 

Методика викладання математики в початкових класах                                                  49

1. Розгляньте малюнки і поясніть, як за ними можна скласти таблицю додавання числа 7.

Зразок пояснення. У першому рядку 1 чорний кружечок і 7 білих. Можна скласти приклад: 1 + 7. Полічимо, скільки всього кружечків: один, два, три, чотири, п'ять, шість, сім, вісім. Отже, 1+7 = 8.

2. Прочитайте таблицю додавання числа 7.

3. Поясніть, як за малюнками склали таблицю віднімання числа 7. Зразок пояснення. У третьому рядку всього 10 кружечків, з них 7 білих,

а решта чорні. Можна скласти приклад: 10 — 7. Якщо віднімемо білі кружечки, то залишаться 3 чорних кружечки. Отже, 10 — 7 = 3.

4. Прочитайте таблицю віднімання числа 7.

Прийом наочно-практичних дій. З погляду "навчаючого опитування" наочно-практична форма постановки завдань має великі переваги. Тема опитування. Додавання і віднімання в межах 6.

1. За допомогою 6-ти паличок складіть і запишіть всі приклади на додавання з відповіддю 6.

2. Користуючись паличками, знайдіть відповіді до прикладів:

6-1                    6-2       6-3      6-4      6-5

Прийом підказування. Завдання для опитування поділяються на дві частини. Перша, як правило, будується на наочній основі (запис на дошці, малюнок, таблиці). Це полегшує сприймання дітьми самого завдання, привертає їх увагу до проблеми і певною мірою є підказкою для знаходження відповіді. Відповіді на запитання і вправи другої частини покажуть учителеві, чи свідомо учні засвоїли матеріал, чи вони вміють застосовувати знання в дещо зміненій ситуації.

Тема опитування. Порядок виконання арифметичних дій.

1. Прочитайте приклад 3 + 7 • 4 і поясніть, в якому порядку виконували дії.

2. Розв'яжіть приклади: 28 — 8 : 4; (28 - 8): 4.

3. В якому порядку треба виконувати дії у виразах без дужок? Прийом опитування за планом застосовується під час закріплення чи узагальнення знань з тієї чи іншої теми. Цей прийом є особливо зручним для закріплення алгоритмів виконання арифметичних дій. Опитування проводиться за допомогою конкретних завдань, зміст яких записують на дошці. План пояснення (послідовність запитань) подано на картці. Запитання плану охоплюють основні (істотні) питання теми (математичного поняття чи алгоритму виконання арифметичної дії). Запитання формулюються так, щоб планом можна було скористатися кілька разів (замінивши тільки числа чи інші математичні поняття). Учень, якого опитують, ознайомлюється з конкретним завданням і планом, а в разі потреби самостійно виконує потрібні обчислення. Завершальний етап (основний щодо навчальної функції) пояснення чи розповідь за планом: учитель (часом учень) читає вголос пункти плану, а викликаний учень відповідає.

Розділ IV. Складові частини уроку математики. Методи вивчення нового матеріалу         50         Тема опитування. Позатабличне множення і ділення. Завдання. Розв'язати приклади:

80 : 10       3-27    52 : 2      18-4       72 : 12      64 : 4

Розповісти про виконання обчислення за планом:

1. Який з виразів можна обчислити за правилом множення суми на число?

2. При обчисленні якого виразу зручно було застосувати переставну властивість дії множення?

3. Які частки знаходимо за правилом ділення суми на число, а які — випробовуванням?

4. Як перевірити результат ділення дією множення? Наведіть приклад.

5. Складіть самостійно приклад, що розв'язується за правилом ділення суми на число.

Тема опитування. Розпізнавання прямокутників і квадратів. Розгляньте многокутники і розкажіть про них за планом (мал. 18).

 

Мал. 18

 

1. Скільки всього прямокутників на малюнку? Якими цифрами їх позначено?

2. Якими цифрами позначено квадрати? Який прямокутник називається квадратом?

3. Покажіть сторони і вершини одного з прямокутників.

Прийом типових помилок і провокуючих вправ. Знаходячи помилку в розв'язаних завданнях і пояснюючи її причину, учні стають уважнішими. Щоб цей прийом став навчальним, треба пропонувати дітям приклади з типовими помилками: сплутування розрядів під час додавання чи віднімання, пропуск нулів у частці, неправильне розміщення чисел при письмовому виконанні дій та ін.

Якщо помилку допустив учень, якого опитують, і її можна конкретизувати, то це треба зробити. Наприклад, учень повідомив: "Щоб помножити число на 100, треба до нього дописати 2 нулі". Для конкретизації неточності вчитель записує на дошці: 17 • 100 = 0017.

"Провокуючими" умовно назвали такі завдання, які спрямовують учнів на виконання їх не за правилом, а "легшим" способом, що призводить до помилки. Наприклад, 14 + 6 • 3, х - 6 = 26, 48 016 : 16.

Доцільно урізноманітнювати форми опитування. Однією з них є "парне" опитування. До дошки викликають двох учнів, і вони по черзі відповідають. Завдання, як правило, пов'язані між собою. Для урізноманітнення опитування учнів бажано використовувати перфокарти, подачу завдань через графопроектор, на магнітній дошці.

Методика викладання математики в початкових класах                                                  51

Усні обчислення

Головна мета усного обчислення — засвоєння таблиць арифметичних дій, формування обчислювальних навичок. Вони сприяють також формуванню у дітей вмінь і навичок розв'язувати задачі, розвитку уявлень про математичні поняття, засвоєнню математичної термінології, дають змогу спостерігати деякі математичні закономірності. У ході обчислень пропонують також вправи на розпізнавання геометричних фігур, на порівняння чисел, на знаходження істотної ознаки ряду чисел чи множини фігур та ін.

Усні обчислення — специфічна самостійна частина уроку математики (4— 6 хв), але в доборі змісту завдань вона нерідко пов'язується з опитуванням чи підготовкою до сприймання нового матеріалу. Добір завдань для усних обчислень визначається темою уроку, метою закріплення та ліквідації про­галин у знаннях учнів, розвивальною метою навчання математики.

Добираючи завдання для усних обчислень, варто використовувати той матеріал підручника, який з тих чи інших причин не застосовувався на попередніх уроках. У разі потреби цей матеріал адаптують до форм проведення усних обчислень.

Для усних обчислень можна використати також вправи і задачі, опрацьо­вані на попередніх уроках: повторно знаходити значення виразів, повторно розв'язувати задачі чи тільки складати плани розв'язування задач; практикувати постановку додаткових запитань до завдань підручника, модифікацію завдань підручника (зміна числових даних, вимоги чи форми проведення). Під час повторного розв'язування задач (2—3 номери, бажано на одному розвороті підручника) учитель відводить час для обдумування (1-2 хв), а потім пропонує повідомити план розв'язування кожної із задач чи саме розв'язання.

Як правило, усні обчислення проводяться в швидкому темпі (у цьому допомагають попередні записи та наочність). Проте все це не знімає "навчального моменту" — учитель на якусь мить уповільнює хід роботи, вимагаючи від учнів обгрунтувати відповідь чи пояснити хід розв'язання одного із завдань. Під час усних обчислень застосовуються цікаві форми роботи та елементи змагання.

Серед завдань для усних обчислень можна виділити такі: завдання для засвоєння таблиць арифметичних дій; вправи на формування обчислювальних навичок; завдання на засвоєння питань теорії арифметичних дій; задачі; усні вправи з геометрії; завдання з логічним навантаженням.

Завдання для засвоєння таблиць арифметичних дій. Після складення кожної таблиці певної арифметичної дії проводиться систематична робота над вивченням її напам'ять. Дітям дають настанову на запам'ятовування. Цей процес відбувається на уроці і вдома. Під час читання таблиць приклади формулюються коротко. Учні опускають слово "дорівнює", для дії додавання вживають сполучник "і", для дії множення — прийменник "на". Наведемо приклади. Розказати таблицю додавання числа 9. (Один і дев'ять — десять; два і дев'ять — одинадцять і т. д.). Розказати таблицю віднімання числа 8. (Дев'ять мінус вісім — один; десять мінус вісім — два і т. д.). Розказати таблицю

 

 

Розділ IV. Складові частини уроку математики. Методи вивчення нового матеріалу            52          множення числа 5. (П'ять на два — десять; п'ять на три — п'ятнадцять і т. д.). Розказати таблицю ділення на 2. (Чотири поділити на два — два; шість поділити на два — три і т.д.). Такі формулювання легше запам'ятовуються.

Для засвоєння і закріплення табличних результатів під час усних обчислень пропонують такі завдання: послідовне (впорядковане) називання всієї таблиці або тільки її результатів; вибіркове називання окремих результатів однієї й тієї самої таблиці чи різних таблиць однієї й тієї самої дії; вибіркове називання результатів таблиць різних дій; обчислення виразів на дві дії на застосування табличних результатів.

Вправи на відтворення таблиць подають у більшості з опорою на записи. Це прискорює процес повідомлення.

Подамо зразки завдань з опорою на записи.

1. Назвіть таблицю додавання числа 7, користуючись записами: 1 + 7, 2 + 7, 3 + 7, 4 + 7, 5 + 7, 6 + 7, 7 + 7, 8 + 7, 9 + 7.

2. Розкажіть таблицю віднімання числа 8, починаючи з більшого числа.

 

17

16

15

14

13

12

11

10

- 8

3. Розкажіть таблицю ділення на 9.

 

18

27

36

45

54

63

72

81

 

: 9

 

4. Розкажіть таблиці множення чисел 5 і 6.

2

3

4

5

6

7

8

9

5

 

 

5. Назвіть результати зазначених випадків таблиці множення числа 4 і таблиці ділення на 4 (мал. 19).

                                                                     

Мал. 19

6. Повідомте результати зазначених дій

Методика викладання математики в початкових класах                                                  53

Вправи на формування обчислювальних навичок. У початкових класах формуються навички усних обчислень здебільшого на застосування загальних прийомів.

Розрізняють слухову, зорову і зорово-слухову організації усних обчислень. При двох останніх учень, спостерігаючи, в якому порядку і над якими числами треба виконати дії, зосереджує увагу саме на обчисленні та швидкості виконання.

Звичайні приклади

1. Назвіть відповіді прикладів у порядку їх запису в рядках.

20-3-6 3-9 + 3

100-3-3 3-8-21

3-2 + 44 3-5-12

38-3-4 38 + 3-7

2. Обчисліть вирази на дві дії і повідомте тільки кінцевий результат.

Від числа 50 відняти 15, відняти 7; до числа 17 додати 7, додати 23; 18 плюс 18, мінус 6; 48 мінус 14, плюс 25.

---

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 193; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!