III.Рабочие формулы и единицы измерения.
Дата Фамилия Группа
Лабораторная работа №26
I.Название работы:
Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора.
Цель работы:
Изучить теорию зарядки и разрядки конденсатора, экспериментально получить зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его зарядке и разрядке.
II.Краткое теоретическое обоснование:
Возникновение переходных процессов
В электрических цепях могут происходить включения или выключения пассивных (не содержащих источники энергии) или активных (содержащих источники энергии) ветвей, кроткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапные изменения параметров и т. д. В результате таких изменении, называемых часто коммутационными или просто коммутациями, которые будем считать происходящими мгновенно,в цепи возникают переходные процессы, заканчивающиеся спустя некоторое (теоретически бесконечно большое) времяпосле коммутации.
Законы коммутации
1.В любой ветви с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации, и дальше начинают изменяться именно с этих значений.
2. В любой ветви напряжение и заряд на емкости сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели до коммутации, и в дальнейшим изменяются, начиная именно этих значении.
В дальнейшим мы будем изучать только изменение напряжения на конденсаторе при коротком замыкании цепи RC (ветви, имеющей последовательное соединение сопротивления R емкости С) и включении этой цепи RC на постоянное напряжение, т.е. процессы разрядки и зарядки конденсатора.
|
|
|
Разрядка конденсатора
Зарядим разряженный конденсатор емкостью С путем перевода переключателя П в положение 1 (см рис. 11.1) до некоторого напряжения Uco
Uc= Uco (11.1)
В частности, при бесконечно большом времени зарядки t Uco=ε
Затем переключатель П мгновенно перевести в положение 2, и конденсатор разряжается через сопротивление R. Введем следующие обозначения:
Uc–мгновенное значение напряжения на конденсаторе;
Uco–напряжение на конденсаторе при начале разрядки;
UR –мгновенное значение напряжения на сопротивлении;
i –мгновенное значение тока в цепи;
q – заряд на обкладке конденсатора.
UR = Ri = R • (dq/dt), UC = (1/C)q (11.2)
Напомним второй закон Кирхгофа: в любом контуре алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур. Поэтому можно записать
|
|
|
UR + UC = 0 , (11.3)
Из уравнений (11.2) и (11.3) получим
R• (dq/dt) + (1/C)q=0
Преобразуем это уравнение к следующему виду
(dq/dt)+ (1/RC)q=0 (11.4)
Уравнение (11.4) представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его легко проинтегрировать, разделив переменные, т.е. записав в виде
dq/q = – (1/RC) dt
откуда следует
∫ (1 / q) • dq = – ∫ (1/RC) • dt
Взяв интегралы, получим
lg q = – (t/RC) + ln const
(имея в виду дальнейшие преобразования, мы постоянную интегрирования написали в виде ln const).
Потенцирование этого соотношения дает
(q / const) = e – (t / RC)
отсюда q = const • e – (t / RC) (11.5)
Выражение (11.5) является общим решением уравнения (11.4). Значение const найдем из начальных условий. При t = 0из (11.1) и (11.2) получим
q = UcoC
После подстановки полученного выражения в уравнение (11.5) получим:
UcoC = const • e – (0 / RC) = const 1
Поэтому уравнение (11.5) может быть представлено в следующем виде:
|
|
|
q = UcoC • C • e – (t / RC)
Разделив левую и правую части этого уравнения на С с учетом (11.2) можно записать
UC = Uco • e – (t / RC)
Из (11.6) следует, что при коротком замыкании цепи R, Снапряжение на конденсаторе убывает по экспоненциальному закону от Ucoпри t = 0от 0при t=∞. Теоретически UCбудет всегда больше нуля, т. к. t всегда конечная величина.
Зарядка конденсатора.
При полной разрядке конденсатора (при нулевом показании вольтметра, измеряющего напряжение на конденсаторе) мгновенно переключим переключатель П в положение 1 (см. рис.11.1)
По второму закону Кирхгофа можно записать:
UR + UC = ε (11.7)
(11.7) получим:
R • (dq / dt) + (1 / C) • q = ε
преобразуем это уравнение к следующему виду:
(dq / dt) + (1 / RC) • q = ε / R (11.8)
Уравнение (11.8) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению соответствующего однородного уравнения. Уравнение (11.5) дает общее решение однородного уравнения. Частное решение получим из условия, что конденсатор заряжается до напряжения UС = ε при бесконечно большом времени зарядки t. Поэтому
|
|
|
qчастн = ε • C (11.9)
Сложив (11.5) и (11.9), получим
q = ε • C + const • e – (t / RC) (11.10)
Найдем const из начального условия при t = 0, UC = 0, q = 0.
0 = ε • C – ε • C • e – (t / RC)
const = ε • C
Тогда из (11.10) будем иметь:
q = ε • C – ε • C • e – (t / RC)
Разделив это уравнение на С, с учетом (11.2), запишем:
UС = ε (1 – e – (t / RC)) (11.11)
Из уравнений (11.6) и (11.11) следует, что напряжение на емкости изменяется по экспоненциальному закону. Напряжение уменьшается или возрастает тем медленнее, чем больше произведение RС. Поэтому произведение RС называют постоянной времени и обозначают буквой τ (тау).
τ = RС (11.12)
Найдем физический смысл постоянной времени τ. В соответствии с (11.6)
(UC / UC (t + τ)) = (UCO • e – (t / RC)) / (UCO • e – (t+τ ) / (RC)) = e (τ / RC) = e (RC / RC) = e
UC • (t + τ) = UC (t) / e
Следовательно, τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится в ераз.
Постоянную времени τ называют также временем релаксации(от латинского «relaxatio» – ослабление, уменьшение напряжения).
Найдем уравнение касательной к экспоненте (11.6) с учетом (11.12).
dUC / dt = UCO • e – (t / τ) • (– (l / τ)) = – UC / τ = tg α
Экспонента (.11.6) и касательная к ней в момент t показаны на рис. 11.2.
Из рис. 11.2 следует, что τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе достигло бы установившегося значения UC=0, если с момента t скорость изменения напряжения на конденсаторе не изменялась бы.
III.Рабочие формулы и единицы измерения.
τ = RС UR + UC = ε
IV.Схема установки.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 193; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!