Образец решения контрольной работы по темам «Двойные, тройные интегралы», «Комплексные числа и функции комплексного переменного».

Задание 1.Вычислить повторный интеграл

Задание 2. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x=2, у=1, и кривой .

Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .

Задание 4.а) Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , где V ограничена плоскостью z=1 и параболоидом .

б) Вычислить данный интеграл.

Задание 5.а) Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода , где С – отрезок прямой от А(0; 0) до В(4; 3). Или:

б) Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода .

Задание 6*.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и расположенного в 1-ом октанте.

7. Вычислить все значения .

8. Выделить вещественную и мнимую часть функции, подставив вместо z: :

9. Вычислить интеграл где С- окружность радиуса 2 с центром в точке 3i.

Образец выполнения контрольной работы

Задание 1. Вычислить повторный интеграл

Решение: Вычислим внутренний интеграл в предположении, что у – переменная, х-const. Тогда данный интеграл будет равен

Отв:

Задание 2. Вычислить , где D – область, ограниченная прямыми x=2, у=1, и кривой .

Решение: Изобразим область D, предварительно найдя точки пересечения линий:

Разобъем данный интеграл на повторный =

Отв:

Задание 3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .

Решение: Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле .

Определим координаты точек пересечения кривых: ,

Ответ:

б) Вычислить данный интеграл.

Рис 7.

Решение:а)Так как тело проецируется на плоскость ХОУ в область, ограниченную окружностью , то перейдем к цилиндрическим координатам

Уравнение параболоида в цилиндрических координатах примет вид , уравнение окружности в проекции на плоскость ХОУ . Тогда

Пределы расставлены.

б)Рассмотрим продолжение задачи – вычисление данного интеграла:

Отв:

Задание 5.

а) Вычислить , где С – отрезок прямой от А(0; 0) до В(4; 3).

Решение: .

б) Вычислить: .

Решение: Проверим условие (*): – оно выполняется.

Значит: 1) интеграл не зависит от пути интегрирования;

2) подынтегральное выражение является полным дифференциалом.

Решим задачу двумя способами:

1 способ. В качестве пути интегрирования выберем ломаную АВС, где АС

у задается уравнениями у = 1 (значит, dу = 0),

3 •С ;

СВ: х = 2 (dx = 0 ), ;

1 А• •В

1 2 х

Тогда

Ответ: 26.

2 способ: Найдем функцию U, полным дифференциалом которой является выражение . Пусть М₀(0; 0) (она лежит в области определения функций и ). Тогда

Ответ: 26.

Задание 6*.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и расположенного в 1-ом октанте.

Решение: Данные уравнения определяют в пространстве следующие поверхности:

- параболический цилиндр с образующими, параллельными оси ОZ и направляющей – параболой на плоскости ХОУ;

- плоскость, проходящая через ось ОУ и пересекающая плоскость XOZ по прямой ;

- плоскость, параллельная плоскости XOZ и проходящая через прямую ;

- плоскость XOY.

Таким образом, тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью , сбоку – параболическим цилиндром и плоскостью у=5, проекцией которого на плоскость ХОУ будет область D, ограниченная параболой и прямыми у=5 и х=0.

Тогда