Электрические цепи переменного тока
Однофазные цепи
В результате изучения данного раздела студенты должны:
1) знать содержание терминов: резистор, сопротивление, индуктивная катушка, индуктивность, индуктивное сопротивление, конденсатор, емкость, емкостное сопротивление, фаза, начальная фаза, угол сдвига фазы, период, частота, угловая частота, мгновенное, действующее и среднее значения гармонических величин, полное, активное, реактивное, комплексное сопротивления и проводимости; полная, активная, реактивная, комплексная мощности; характеристики и параметры элементов схем замещения цепей однофазного тока; условия и способы получения резонансов напряжений и токов;
2) понимать особенности электромагнитных процессов и энергетические соотношения в цепях синусоидального тока, экономическое значение коэффициента мощности, особенности анализа простейших электрических цепей с магнитосвязанными элементами;
3) уметь составлять дифференциальные и комплексные уравнения электрического состояния линейных цепей; представлять гармонически изменяющиеся величины тригонометрическими функциями, графиками, вращающимися векторами и комплексными числами; строить векторные диаграммы неразветвленных цепей и цепей с параллельным соединением ветвей; определять опытным путем параметры схем замещения пассивных двухполюсников; с помощью электроизмерительных приборов измерять токи, напряжения и мощности в электрических цепях; строить потенциальные (топографические) диаграммы для неразветвленных цепей и цепей с параллельным соединением ветвей.
|
|
Изучая явления резонанса, необходимо усвоить следующее. При резонансе напряжение и ток на зажимах цепи всегда совпадают пo фазе. Настройка же цепи на резонанс зависит от схемы соединения индуктивности и емкости. Для последовательной цепи условием резонанса является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений: XL=XC. Для цепи, содержащей параллельный контур, в одной из ветвей которого находится индуктивная катушка, а в другой — конденсатор,- условием резонанса является равенство реактивных проводимостей ветвей: ВL=ВC.
При построении векторных диаграмм один из векторов принимают за основной (опорный), располагая его обычно по положительному направлению горизонтальной оси. В этом случае начальная фаза тока или напряжения в зависимости от того, что данный вектор изображает, равна нулю. Для последовательной цепи за основной вектор принимают вектор тока, а для параллельной - вектор напряжения.
На рис, 12 показаны последовательная цепь (рис. 12, а) и ее векторная
(рис. 12,б) и потенциальная (рис. 12, в) диаграммы. На рис. 13,а в той же последовательности, что и на рис. 12, показаны параллельная цепь и ее векторная и потенциальная диаграммы.
|
|
В том случае, когда сложение или вычитание вектора требуется производить не графически, а математически (например, при расчете электрической цепи), векторы раскладывают на две составляющие, одна из которых называется активной, а вторая — реактивной. Активная составляющая напряжения совпадает по фазе с током, а реактивная — опережает ток или отстает от нет по фазе на 90°. Активная составляющая тока совпадает по фазе напряжением, а реактивная — опережает напряжение или отстав от него по фазе на 90°. Зная сдвиг между, током и напряжением значения векторов тока и напряжения, легко определить соответствующие составляющие этих векторов. Например, если нам зада синусоидально изменяющийся ток уравнением вида i=IM sin(ωt—φ) то его активная и реактивная составляющие для действующего значения соответственно равны: Ia=I cos φ; Ip=I sinφ, где I=Im/
Аналогично для напряжений: Ua = U cosφ; Up = Usinφ.
На диаграмме, изображенной на рис. 13,б, показаны активны и реактивные составляющие токов.
В том случае, когда необходимо произвести сложение двух или более векторов, выражающих собой токи или напряжения, определяют их активные и реактивные составляющие и модуль результирующего вектора:
|
|
;
,
где индексы L и С указывают на характер реактивной составляющей (индуктивность или емкость). Начальная фаза результирующего вектора определяется через tg φ:
.
Для практических расчетов удобнее выражать векторы тока и напряжения, а также сопротивления и проводимость комплексными числами, в которых активные составляющие являются действительными значениями, а реактивные — мнимыми. Причем знак у мнимого значения зависит от характера реактивной составляющей. При расчете электрических цепей переменного тока с помощью комплексных чисел могут быть использованы методы расчета, применяемые для цепей постоянного тока. Уравнения Кирхгофa в этом случае записываются как соответствующие геометрические суммы.
При выполнении расчетов по методу комплексных чисел следует иметь в виду, что действительная и мнимая части комплексных сопротивлений, проводимости и мощности всегда представляют собой соответственно активную и реактивную составляющие этих значений; что же касается комплексного напряжения и комплексного тока, то такое положение имеет место лишь в частных случаях. Действительная и мнимая части комплексных напряжения и тока определяются начальными фазами значений, иначе говоря, зависят от расположения соответствующих векторов относительно осей комплексной плоскости, тогда как их активная и реактивная составляющие определяются углом сдвига по фазе φ между этими двумя векторами.
|
|
При анализе магнитосвязанных электрических цепей необходимо иметь в виду, что при составлении уравнения по второму закону
Рис. 12
Рис. 13
Кирхгофа, при учете напряжения от взаимоиндукции сравнивается напряжения обхода рассматриваемой катушки и направление, тока во влияющей на нее катушке относительно одноименных зажимов катушек. Если эти направления совпадают, то напряжение взаимоиндукции учитывается в уравнении с плюсом, в противном случае — с минусом.
Задача 1. Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока со смешанным соединением приемников, схема которой изображена на рис. 13,в. Дано: U=120 В, R1=10 Ом, R2=24 Ом, R3=15 Ом, L1=19,l мГ, С2=455 мкФ; L3=63,5 мГ, f =50 Гц. Определить токи , , в ветвях цепи, напряжения на участках цепи , , активную, реактивную и полную мощности и построить векторную диаграмму на комплексной плоскости.
Решение. Выражаем сопротивления ветвей цепи в комплексной форме:
;
Ом.
Переходя от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной, получаем:
Ом,
где ; tg φ1= ;
Выражаем заданное напряжение U в комплексной форме. Если начальная фаза напряжения не задана, то ее можно принять равной нулю и располагать вектор напряжения совпадающим с положительным направлением действительной оси. В этом случае мнимая составляющая комплексного числа отсутствует (рис. 14) = U—120 В. Полное комплексное сопротивление цепи
+j
– +
-j
. Рис. 14
Определяем ток в неразветвленной части цепи
Токи и в параллельных ветвях могут быть выражены через ток в неразветвленной части цепи:
Токи и можно найти иначе:
Найдем мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:
Для определения активной и реактивной мощностей полную мощность, выраженную комплексным числом в показательной форме, переводим в алгебраическую форму. Тогда действительная часть комплекса обозначаемая Re представляет собой активную мощность, а мнимая обозначаемая Im— реактивную:
=540 cos 23055’+j540 sin 23055’=494+j218 B∙A,
откуда P=494 Вт; Q=218 вар.
Активную и реактивную мощности можно найти иначе:
P=Re[ ]=Re[120∙ ] =120∙4.5 cos 230 = 494 Вт;
P1=R1I12=10∙4.52=202 Вт; P2=P2I22=180 Вт;
P3=R3I32=112 Вт.
Q=Im[ ]=Im[120∙ ]=120∙4,5 sin 230 = 218 вар;
Q1=X1I12=6∙4.52 = 122 вар;
Q2=X1I22 = -52.5 вар;
Q3=X3I32 = 150 вар;
Проверка показывает, что P=P1+P2+P3 = 494 Вт
Учитывая, что Q1 и Q3 положительны (реактивная мощность индуктивных катушек), a Q2 отрицательно (реактивная мощность конденсатора), получим Q=Q1—Q2+Q3=218 вар.
Рис. 15
На рис. 15 приведена векторная диаграмма токов и напряжений, построенная по расчетным данным. Порядок ее построения следующий: по результатам расчетов отложены векторы токов и , затем по направлению отложен вектор R1 и перпендикулярно к нему в сторону опережения — вектор jX1 . Их сумма дает вектор Z1 . Далее в фазе с построен "вектор R2 и перпендикулярно к нему в сторону отставания вектор JX2 , а их сумма дает вектор напряжения на параллельном участке . Тот же вектор можно получить, если в фазе с отложить R3 и к нему прибавить вектор jX3 , опережающий на 90°. Сумма векторов Z1 и дает вектор приложенного напряжения .
Задача 2. Определить эквивалентное комплексное сопротивление цепи
(рис. 16, а), ток и напряжение между точками а и b, с и d, если U=130 В, R1=2 Ом, R2 =3 Ом, ωL1= =3Ом, ωL2=7 Ом, ωМ=1 Ом.
Решение. Из рис. 16,а следует, что при заданном направлении тока в каждой катушке потоки самоиндукции и взаимной индукции одинаково направлены. Следовательно, катушки включены согласно. Заданная цепь может быть представлена схемой замещения, показанной на рис. 16,б. Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа:
=R1 +jωL1 +jωM +R2 +jωL2 +jωM .
Эквивалентное комплексное сопротивление цепи
=R1+jωL1+R2+jωL2+2jωM=5+j12=12 Ом.
Искомый ток
= / =130/(13 )=10 A.
Рис. 16
Комплексные напряжения между точками а и b, с и d равны:
ab=(R1+jωL1+jωM) =(2+j4)10 =44.7 B;
cd=(R2+jωL2+jωM) =(3+j8)10 =85.5 B.
На рис. 16, в представлена векторная диаграмма. По действительной оси отложен вектор напряжения, от него в сторону отставания на 67°20' направлен вектор тока, затем отложены векторы падения напряжения в каждой из катушек.
Трехфазные цепи
При изучении этого раздела особое внимание необходимо обратить на преимущества, которые дает трехфазная система по сравнению с однофазной. Рассматривая схемы соединения обмоток генераторов, надо уяснить связь между фазными и линейными напряжениями в схеме соединения звездой, а также связь между фазными и линейными токами в схеме соединения треугольником.
Необходимо четко представить, что в трехфазной цепи могут быть два режима: симметричный и несимметричный. Расчет трехфазной цепи в симметричном режиме сводится к расчету для одной фазы и производится аналогично расчету однофазной цепи с одним источником. Трехфазная цепь может рассматриваться как разветвленная цепь с тремя источниками питания, и для ее расчета применяются методы, используемые при расчете электрических цепей с.несколькими источниками. Например, если несимметричный приемник соединен без нейтрального провода, то для расчета трехфазной цепи можно применить метод узлового напряжения в комплексной форме.
После изучения настоящего раздела студенты должны:
1) знать основные элементы трехфазных цепей, способы соединения фаз обмотки генератора и включения в трехфазную цепь приемников; способы изображения трехфазной симметричной системы - э. д. с;
2) понимать роль нейтрального провода; принципы построения потенциальных диаграмм; влияние рода и схемы включения нагрузки на величину тока в нейтральном проводе, схемы электроснабжения предприятий;
3) уметь анализировать различные режимы симметричных и несимметричных цепей; читать схемы соединения трехфазных и однофазных приемников; предвидеть последствия коммутационных изменений в цепи на ее электрическое состояние.
Задача 1. В трехфазную сеть с линейным напряжением UЛ=220 В включен приемник, соединенный треугольником, сопротивление каждой фазы которого =(10+j10) Ом (рис. 17). Найти токи в каждой фазе нагрузки и линии и показания каждого ваттметра. Построить векторную диаграмму. Найти те же величины при обрыве цепи в точке d.
Решение. Расчет токов в трехфазных цепях производится комплексным методом. Примем, что вектор линейного напряжения направлен по действительной оси, тогда
= =220 B; = =220 B;
= =220 B.
Представим комплекс сопротивления в показательной форме =(10+j10)=14,14
Определяем фазные токи:
ab= / =220/14,14 =15,6 =11- j11 A;
bc= / =220 /14,14 =15,6 = -15-j4,03 A;
ca= / =220 /14,14 =15,6 =4.03+j15 A.
Рис. 17
Находим линейные токи:
A= ab- ca=6.97-j26=26.9 A;
B= bc- ab=-26+j6.97=26.9 A;
C= ca- bc=19+j19=26.9 A.
Определяем показания ваттметров:
P1=Re[ AB A]=Re[220∙26,9 ]=220∙26,9 cos 750=1530 Вт;
P2=Re[ CB C]=Re[-220 ∙26,9 ]=Re[220 ∙26,9 ]=
=22026,9 cos 150 = 5730 Вт.
Активная мощность цепи равна алгебраической сумме показаний ваттметров
P=P1+P2=1530+5730=7260 Вт
Или по известному выражению:
P= UЛIЛ cosφ = ∙220∙26,9 cos 450=3RI2φ=7260 Вт.
На рис. 18 приводится векторная диаграмма напряжений и токов.
При обрыве в точке d токи в фазах нагрузки будут:
bc= bc/ = /14,14 = 15,56 = -15-j4,03 A;
ab= ca= cb/2 = /28,28 = 7,78 = 7,5 + j2,02 A.
Вычислим линейные токи:
A=0; C= - B= ca- bc=22,5 +j6,05 =23,3 A,
где
Рис. 18
Находим показания ваттметров:
P1=0; P2=Re[ CB C]=Re[220 ∙23,3 ]=
=220∙23,3cos450=3630 Вт.
Рис. 19
Задача 2. В четырехпроводную трехфазную сеть с линейным напряжением Uл=220 В включен звездой приемник, активные и индуктивные сопротивления фаз которого соответственно равны: Ra =3 Ом, Xа = 4 Ом, Rb=3 Ом, Хb=5,2 Ом, Rc=4 Ом, Хс=3 Ом (рис. 19). Определить токи в линейных и нейтральном проводах и построить векторную диаграмму.
Решение. Считаем, что вектор фазного напряжения а направлен по действительной оси, тогда:
a=Uл=/ =127 B, b =127 B, c=127 B.
Находим линейные токи:
a= a/ a=127/(3+j4)=127/(5 )=25.4 A;
b= / b=127 /(3+j5.2)=127 /(6 )=
=21.2 A;
Рис. 20 Рис. 21
C= C/ C=127 /(4+j3)=127 =25.4 A.
Ток в нейтральном проводе определяется как геометрическая сумма линейных токов. Для определения перейдем к алгебраической форме записи комплексов токов:
N= a+ b+ c=(15,24-j20,3-21,2+3,05+j25,15)A=(2,91-j4,85)А=5,7 А.
Векторная диаграмма показана на рис. 20.
При несимметричной нагрузке для определения активной мощности находят мощность каждой фазы отдельно: PФ=UФIФcosφ, а мощность всей трехфазной системы получают как сумму мощностей всех фаз или используют схему включения двух ваттметров.
Задача 3. В трехфазную сеть с линейным напряжением Uл= =380 В включен звездой приемник, активное, индуктивное и емкостное сопротивления фаз которого равны: Ra=XL=Xc=22Ом (рис. 21). Определить токи и построить векторную диаграмму,
Решение. Расчет токов производим комплексным методом. Находим фазные напряжения: UФ=Ua/ =280/1.73=220 B.
a=220 B; b=220 =(-110-j191) B;
c=220 =(-110+j191) B.
Определяем напряжение между нейтральными точками приемника и источника питания:
Находим напряжения на зажимах фаз приемника:
an=220-602=-382 B;
bn=(-110-j191)-602=(-712-j191) B=737 ;
cn=(-110+j191)-602=(-712+j191) B=737 4;
и фазные (линейные) токи:
a= an/Ra=-382/22=-17.3 A;
b= bn/(-jXC)=(-712-j191)/(-j22)=(8.68-j32.4) ;
c= cn/(jXL)=(-712+j191)/j22=(8.68+j32.4) A.
Векторная диаграмма изображена на рис. 22.
Для подсчета активной мощности в данной схеме можно воспользоваться уравнениями, записанными для схемы включения двух ваттметров. Из рассмотрения этой задачи следует, что напряжения на зажимах фаз приемника получаются неодинаковыми. Поэтому несимметричные приемники (бытовые и
т. д.) соединяют либо четырехпроводной звездой, либо треугольником.
Рис. 22
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 850; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!