Развитие математическое моделирования в современной науке

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Российский государственный гидрометеорологический университет

Г. Санкт-Петербург

Кафедра «Социально-гуманитарных наук»

Реферат

По дисциплине «История и философия науки»

На тему: «Математическое моделирование как метод познания в современной науке»

Выполнила:соискатель

Лукина М. Н.

Научный руководитель:доктор технических наук

Догановский А. М.

Проверил:профессор

Лазар М. Г.

Санкт-Петербург

2012 г.

Содержание

Введение 3

Общие положения математического моделирования 5

Развитие математическое моделирования в современной науке 11

Заключение 18

Список литературы. 20

Введение

Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели. Таким образом, моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью.[1]

И.Т. Фpолов в своей книге «Гносеологические проблемы моделирования» даёт такое определение моделированию: «Моделирование означает материальное или мысленное имитирование реально существующей системы путем специального конструирования аналогов (моделей), в которых воспроизводятся принципы организации и функционирования этой системы". [2 с.20]

Математическое моделирование (в том числе и гидрологических процессов) имеет длительную историю. С появлением и развитием ЭВМ происходит развитие вычислительных методов,увеличиваются темпы математизации и расширение её области действия.

Математическая модель гидрологического процесса – это математически оформленная сущность гидрологического содержания природных явлений. [3]

За долгие годы методы расчёта в математическом моделировании устоялись, сформировалась определённая терминология, алгоритм. Существует свой набор правил, которые надо последовательно выполнить, чтобы прийти к искомому результату.Но известно, что не все задачи и проблемы допускают алгоритмическое решение. Например, как показал К. Гедель, даже не все содержательно доказанные теоремы элементарной арифметики могут быть получены чисто формальным путем из аксиом, проще говоря, — алгоритмически. Тем более это относится к сложным проблемаместественных, технических, социально-экономических и гуманитарных наук, которые развиваются в постоянном контакте с наблюдениями, экспериментом, производственной и общественной практикой.

Научное исследование представляет собой наиболее развитую форму рациональной деятельности, которая не может осуществляться по каким-то фиксированным правилам.

Научное познание отличается от обыденного именно своей системностью и последовательностью как в процессе поиска новых знаний, так и упорядочения всего найденного, наличного знания. Каждый последующий шаг в науке опирается на предыдущий, каждое новое открытие становится научной истиной, когда оновходит в качестве элемента в состав определенной системы, чаще всего — теории как наиболее развитой формы рационального знания. В отличие от этого, обыденное знание имеет разрозненный, случайный и неорганизованный характер, в котором преобладают несвязанные друг с другом отдельные факты либо их простейшие индуктивные обобщения.[4]

Происходит естественный процесс развития научного знания. Математическое моделирование – метод решения новых сложных проблем, поэтому исследования посредством математического моделирования должны быть опережающими.

Наука развивается и появление частично инфинитного моделирования, предложенного Коваленко В.В. – это определённый вызов.

В данном реферате идёт речь о развитии математического моделирования, о введении понятия «частично инфинитного моделирования».

Общие положения математического моделирования

Широко известными средствами научного поиска являются мысленный эксперимент и построение различных видов моделей изучаемых процессов. Мысленный эксперимент дает возможность отвлечься от целого ряда ограничений реальных процессов, идеализировать их и тем самым рассматривать в предельных условиях и состояниях. Так, например, к закону инерции основоположники механики Галилей и Ньютон пришли в результате идеализированного эксперимента, ибо никакой реальный эксперимент не дает возможности освободиться от воздействия на тело внешних сил. Нередко обращался к мысленному эксперименту и создатель теории относительности А. Эйнштейн. Как вспоминал М. Борн, мысленный эксперимент со свободно падающим лифтом послужил для него «путеводной нитью в создании общей теории относительности».[5c.81]

Построение моделей, причем не только наглядных, но также концептуальных и математических, сопровождает процесс научного поиска от его начала до конца, давая возможность охватить в единой системе наглядных или абстрактных образов основные особенности исследуемых процессов. В последние годы с появлением быстродействующих компьютеров стало возможным строить более сложные математические модели. Сравнивая различные варианты компьютерных моделей, можно выбирать наиболее оптимальные значения величин сложных реальных процессов и таким способом осуществлять компьютерный, или вычислительный, эксперимент.[4]

Растущий интерес философии и методологии познания к теме моделирования был вызван тем значением, которое метод моделирования получил в современной науке, и в особенности в таких ее разделах, как физика, химия, биология, кибернетика, не говоря уже о многих технических науках.

С точки зрения философии моделирование – эффективное средство познания природы. Процесс моделирования предполагает наличие:

- объекта исследования;

- исследователя, перед которым поставлена конкретная задача;

- модели, создаваемой для получения информации об объекте и необходимой для решения поставленной задачи.

По отношению модели исследователь является, по сути дела, экспериментатором, только в данном случае эксперимент проводится не с реальным объектом, а с его моделью. Надо иметь в виду, что любой эксперимент может иметь существенное значение в конкретной области науки только при специальной его обработке и обобщении. Единичный эксперимент никогда не может быть решающим для подтверждения гипотезы, проверки теории. Критерием истины являются опыт, практика, экспериментальное исследование.

Вычислительный эксперимент – переход от изучения реального объекта к изучению его математической модели.

Преимуществами вычислительного эксперимента являются:

- возможность исследования объекта без модификации установки или аппарата;

- возможность исследования каждого фактора в отдельности, в то

время как в реальности они действуют одновременно;

- возможность исследования нереализуемых на практике процессов.

Вычислительный эксперимент включает в себя следующие этапы:

- физическое описание процесса, то есть уяснение закономерности протекаемых явлений.

- разработка математической модели.

- алгоритм или метод решения уравнений.

- разработка программ.

- проведение расчетов, анализ результатов и оптимизация.

Как методология научных исследований математическое моделирование сочетает в себе опыт различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики, информатики и системного программирования для решения фундаментальных проблем. Математическое моделирование объектов сложной природы – единый сквозной цикл разработок от фундаментального исследования проблемы до конкретных численных расчетов показателей эффективности объекта. Результатом разработок бывает система математических моделей, которые описывают качественно разнородные закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом как сложной системы в различных условиях. Вычислительные эксперименты с математическими моделями дают исходные данные для оценки показателей эффективности объекта.

Математическое моделирование есть метод решения новых сложных проблем, поэтому исследования по математическому моделированию должны быть опережающими. Следует заранее разрабатывать новые методы, готовить кадры, умеющие со знанием дела применять эти методы для решения новых практических задач.

Математическая модель может возникнуть тремя путями:

1. В результате прямого изучения реального процесса. Такие модели называются феноменологическими.

2. В результате процесса дедукции. Новая модель является частным случаем некоторой общей модели. Такие модели называются асимптотическими.

3. В результате процесса индукции. Новая модель является обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей.

Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной стороны отражает основные качественные явления, с другой стороны допускает достаточно простое математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на данном этапе, отбрасываются. Однако, на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, они могут быть включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считаться основным или второстепенным.

Математическая модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило, математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации. Она лишь приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта математическими методами носят приближенный характер. Точность исследования зависит от степени адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики. [1]

На практике результаты первых расчётов, как правило, не совпадают с натурными данными. Требуется усовершенствование алгоритма до совпадения с контрольными данными. Этот процесс называется верификацией модели.

Простая математическая модель строится с некоторым упрощением и при некоторой идеализации, хотя на данном этапе развития ЭВМ возможность максимально приблизиться к натурным данным значительно возросла.

Схема построения математических моделей следующая:

- Выделение параметра или функции, подлежащей исследованию.

- Выбор закона, которому подчиняется эта величина.

- Выбор области, в которой требуется изучить данное явление.

Общим свойством всех моделей является их способность отображать действительность. В зависимости от того, какими средствами, при каких условиях, по отношению к каким объектам познания это их общее свойство реализуется, возникает большое разнообразие моделей, а вместе с ним и проблема классификации моделей. В.Т. Иванов приводит следующую классификацию моделей [6]:

I. Модели прогноза или расчетные модели без управления. Их можно разделить на стационарные и динамические.

Основное назначение этих моделей: зная начальное состояние и информацию о поведение на границе, дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве. Такие модели могут быть и стохастическими.

Как правило, модели прогнозирования описываются алгебраическими, трансцендентными, дифференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными уравнениями и неравенствами. Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики.

II. Оптимизационные модели. Их так же разбивают на стационарные и динамические. Стационарные модели используются на уровне проектирования различных технологических систем. Динамические – как на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами – технологическими, экономическими и др.

В задачах оптимизации имеется два направления. К первому относятся детерминированные задачи. Вся входная информация в них является полностью определяемой.

Второе направление относится к стохастическим процессам. В этих задачах некоторые параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности. Многие задачи оптимизации автоматических устройств, например, содержат параметры в виде случайных помех с некоторыми вероятностными характеристиками.

Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования. Задачи математического программирования – одни из важных оптимизационных задач.

В математическом программировании выделяются следующие основные разделы [7]:

· Линейное программирование. Целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств.

· Нелинейное программирование. Целевая функция нелинейная и нелинейные ограничения.

· Выпуклое программирование. Целевая функция выпуклая и выпуклое множество, на котором решается экстремальная задача.

· Квадратичное программирование. Целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные равенства и неравенства.

· Многоэкстремальные задачи. Задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов. Такие задачи представляются весьма проблемными.

· Целочисленное программирование. В подобных задачах на переменные накладываются условия целочисленности.

Как правило, к задачам математического программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции нескольких переменных.

Модели теории оптимального управления – одни из важных в оптимизационных моделях. Математическая теория оптимального управления относится к одной из теорий, имеющих важные практические применения, в основном, для оптимального управления процессами.

Различают три вида математических моделей теории оптимального управления [8]. К первому виду относятся дискретные модели оптимального управления. Традиционно такие модели называют моделями динамического программирования. Широко известен метод динамического программирования Беллмана. Ко второму типу относятся модели, описываемые задачам Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Их часто называют моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами. Третий вид моделей описывается краевыми задачами, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Такие модели называют моделями оптимального управления системами с распределенными параметрами.

III. Кибернетические модели. Этот тип моделей используется для анализа конфликтных ситуаций.

Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих параметров. С кибернетической системой ассоциируется целая группа субъектов со своими собственными интересами.

IV.Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных ситуаций, таких, которые могут быть полностью формализированы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего «биологического» звена – человека. В таких ситуациях используется имитационное моделирование, а также методы экспертиз и информационных процедур.[1]

Развитие математическое моделирования в современной науке

Наука как сфера человеческой деятельности имеет своей целью сбор, накопление, классификацию, анализ, обобщение, передачу и использование достоверных сведений, построение новых или улучшение существующих теорий, позволяющих адекватно описывать природные или общественные процессы и прогнозировать их развитие.

Научное знание – предпосылка, условие функционирования и развития науки и одновременно – ее главный результат, продукт. Знание обладает рядом особенностей, отличающих его от продуктов материального производства, главная из которых – новизна.

Основная задача науки – выявить законы, в соответствие с которыми изменяются и развиваются объекты. Главная особенность научного познания – ориентация на изучение объектов, которые могут быть включены в деятельность (актуально или потенциально) и их исследование как подчиняющихся объективным законам функционирования и развития.

Как социальный институт наука возникла в Европе, в XVI-XVII в.в. в эпоху становления капиталистического способа производства и разделения единого знания на философию и науку. По мнению австрийского физика и философа-идеалиста Эрнста Маха : «Задача всей и всякой науки - замещение опыта или экономия его воспроизведением и предвосхищением (Vorbildung) фактов в наших мыслях».[9]

Говоря о развитии науки (в том числе и гидрологии), введении в неё новых понятий нельзя не обратиться к концепции развития науки Т. Куна.

У Куна была идея, что есть «парадигма»признанное всеми научными достижение, которое в течение определенного времени даёт модель постановки проблем и их решений научному сообществу.Так же Кун вводит термин тесно связанный с парадигмами - «нормальная наука». «Нормальная наука» означает научное исследование, которое связано и опирается на уже существующие достижения – достижения, которые в течение некоторого времени признаются определённым научным сообществом как основа для его дальнейшей практической деятельности. В наши дни такие достижения излагаются учебниками.Аналогичную функцию раньше выполняли знаменитые труды учёных: Аристотеля «Физика», Птолемея «Альмагест», Ньютона «Оптика», Франклина «Электричество», Лавуазье «Химия», Лайеля «Геология», которые долгое время считались беспрецедентными и неявно определяли правомерность проблем и методов исследования для последующих поколений учёных.Особенность проблем нормальной науки состоит в том, что они в очень малой степени ориентированы на крупные открытия, а в большей степени на расширение области и повышение точности применения парадигмы. Нормальная наука не ставит своей целью нахождение нового факта или теории, и успех в нормальном научном исследовании состоит вовсе не в этом. Нормальная научная деятельность сводится к использованию парадигмы для исследования частных случаев или, как говорит сам Кун, «решения головоломок». При этом парадигма как образец для их решения, что соответствует буквальному значению этого слова в переводе с древнегреческого (paradeigma — пример, образец).

Тем не менее, новые явления, о существовании которых никто не подозревал, вновь и вновь открываются научными исследователями, а радикально новые теории опять и опять изобретаются учёными.

Открытие начинается с осознания аномалии, то есть с установления того факта, что природа каким-то образом нарушила навеянные парадигмой ожидания, направляющие развитие нормальной науки. И процесс этот завершится, когда парадигмальная теория приспособится к новым обстоятельствам таким образом, что аномалии становятся ожидаемыми. [10]

Смену парадигмы Кун определял как научную революцию.Такие революции, по его мнению, «являются дополнениями к связанной традициями деятельности нормальной науки — дополнениями, разрушающими традиции». Как пример изменения парадигмы Кун приводит пример возникновения коперниканской астрономии. До этого была система Птолемея, которая сформировалась в течение последних двух столетий до новой эрыи первых двух новой эры, имела необычайный успех в предсказании изменений положения звёзд и планет. Но для научной теории достичь блестящих успехов ещё не значит быть полностью адекватной. Предсказания положения планет и прецессий, получаемые с помощью системы Птолемея, никогда полностью не соответствовали наиболее удачным наблюдениям. Дальнейшее стремление избавиться от этих незначительных расхождений поставило много принципиальных проблем нормального исследования в астрономии для многих последователей Птолемея. Но некоторое время астрономы имели полное основание предполагать, что эти попытки могут быть столь же успешными, как и те, что привели к системе Птолемея. И долгое время удавалось с помощью внесения некоторых поправок в систему концентрических орбит Птолемея, устранять расхождения. Но время шло, и учёный, взглянув на полезные результаты, достигнутые нормальным исследованием благодаря усилиям многих астрономов, мог увидеть, что путаница в астрономии возросла намного больше, чем её точность, и что корректировка расхождений в одном месте влекла за собой появление расхождения в другом.

В начале XVI века увеличивается число превосходных астрономов в Европе, которые осознают, что парадигма астрономии терпит неудачу. Это осознание было предпосылкой отказа Коперника от парадигмы Птолемея и основой для поисков новой парадигмы.

Поскольку Наука связана с производством новых знаний, то существуют проблемы: старые парадигмы, методы и теории оказываются не в состоянии объяснить новые факты, хотя в первое время их пытаются понять в рамках прежней парадигмы. Однако когда число таких аномальных фактов быстро возрастает, тогда происходит отказ от старой парадигмы и начинается перестройка всей прежней концептуальной системы. Такие процессы обычно связаны с решением новых фундаментальных проблем, которые приводят к кризисам и научным революциям. [10]

В физике противоречия между прежними, классическими представлениями о строении вещества, излучения и поглощении энергии, свойствах пространства и времени и, соответственно, вновь обнаруженными экспериментальными фактами привели в конце XIX—начале XX в. к революции, охватившей не только саму физику, но и точное естествознание в целом. Фундаментальные проблемы, которые были выдвинуты тогда, были решены с помощью создания таких новых, неклассических теорий, как квантовая механика и теория относительности. Именно они помогли понять и объяснить новые экспериментальные факты, упорно не поддававшиеся объяснению в рамках классических теорий.

В подчеркивании качественных различий в развитии науки, в существовании в ней наряду с периодами относительно спокойного развития коренных фундаментальных сдвигов, сопровождаемых революционными изменениями, переходом к новым парадигмам исследования, состоит одна из важных заслуг в концепции развития науки Т. Куна. Эта концепция не сводит развитие науки к простому количественному росту знания, к накоплению все новых фактов и истин, как считали сторонники кумулятивного взгляда на него, а рассматривает его именно как развитие, как процесс возникновения качественно нового, прогрессивного в науке. [4]

Если рассматривать частично инфинитное моделирование со стороны концепции развития науки, то это определённо прорыв, расширение границ.

Наталкиваясь на необъяснимые парадоксы, онтология эволюционирует. Научная онтология – это набор рациональных понятий, фиксирующих конечную (финитную) предметную область в инфинитной (бесконечной) реальности. Сами по себе расширить предметную область они не могут, ибо появление необъяснимых парадоксов означает неустойчивость рационального познания в данной предметной области, т.е. размножение рациональных структур (шаблонов), не очень отличающихся по глубинному смыслу. [11]

Появление нового связано с расширением предметных областей, но этот процесс расширения невыразим в рациональных (информационных) структурах. Для расширения фиксированной предметной области необходимо выйти за её пределы, опираясь на существующую физическую картину мира с размытым содержанием, т.е. в конечном итоге – на философию. [12]

В.В. Коваленко приводит пример, где предлагает представить, что наше сознание – двумерно, а сами мы – трёхмерный объект. Тогда мы оперируем некими понятиями, сформированными на плоскостях, пересекающих дерево: корни, ствол, крону – предметных областях. Дерево в целом – это единство сознательного (плоскость знаний) и бессознательного уровней. Оно растёт вширь и «может» описать (находясь в существующих плоскостях) этот процесс (так как у него существует знание-шаблоны для этого). Однако дерево растет и вверх (действует и «интуитивно понимает» это), но осознать этого не может. Вернее осознаёт на уровне метафизического верования, т.е. выйдя за рамки освоенной предметной области (двумерных сечений), создав размытую картину своего мира, некую философию своего существования.

На любом сечении «наука» описывает только явления. Например, число дырок (веток), «протыкающих» плоскость, увеличивается, эти дырки расползаются и растут в размерах. Но сущность (почему так происходит) можно познать только расширив двумерную предметную область до трёхмерной. Без действия (роста дерева) это невозможно сделать (в этом просто не будет необходимости).

Таким образом, новое знание приобретается только через действие (или вовлечение в действие). Дерево, формулируя понятие третьей координаты, размытую философскую картину делает более чёткой (в отношении размерности физического пространства), и, увязав эту координату с плоскостью, строит научную теорию своего существования (т.е. описание трёхмерного явления и постановку задачи о его сущности – новую философию).

«Дерево» продолжает «действовать» (если это нужно для его выживания), соприкасается с соседним деревом, получает новое знание и создаёт теорию «леса» и т.д. Происходит эволюция научной онтологии путём «замены» действия (энергии) информацией (понятными шаблонами).

Обычное моделирование подразумевает корректную (финитную) постановку задачи: выписываются уравнения, отражающие действующие в моделируемом объекте закономерности, которые дополняются информацией, гарантирующей существование и единственность решения, а также его непрерывную зависимость от этих самых условий и параметров уравнений. В действительности корректно можно моделировать только системы, в которых не происходит ничего нового, происходят только количественные изменения составляющих вектора состояния.

Если же мы хотим привнести что-то новое, то нам пусть и не полностью, но «частично инфинитно» придётся нарушать условия корректности. В широком смысле слова любая модель частично инфинитна (как и любой фрагмент реальности, который, чтобы стать объектом гносеологии, должен быть зафиксирован, т.е. должно быть указано, что для него является инфинитным – а это всё, что не входит в перечень рациональных понятий из этого фрагмента).

Основная философская предпосылка состоит в том, что окружающая нас реальность гносеологически структурируется на отдельные предметные области, фиксируемые субъективной системой взаимодействий. Сам факт фиксации объекта реальности (предметной области) уже говорит о том, что он стал для нас финитным. Всё, что за пределами этой рациональной фиксации – инфинитное окружение. При этом любые две предметные области инфинитны по отношению друг к другу, а вот граница между ними – частично инфинитна.

Идеология частично инфинитного моделирования предполагает, что изучаемая предметная область описывается конечным числом фазовых переменных, которые взаимодействуют друг с другом, а их селективная ценность связана с инфинитным окружением, которое через частично инфинитную границу влияет на коэффициенты модели, определяющую эту селективную ценность.[3]

Заключение

Роль математического моделирования в ряду дисциплин гидрологического цикла сложно переоценить, т.к. математические модели входят во все решаемые в гидрологии задачи:

· Оценка текущего состояния водохозяйственного комплекса, т.е. определение пространственно-временного изменения гидрологических характеристик речного бассейна (уровни, расходы, воды и т.д.). Оценивать можно либо путём непосредственных измерений, либо с помощью гидрологических карт, либо путём расчётов по различным математическим моделям;

· По наличию сведений в текущем состоянии водохозяйственного комплекса сделать прогноз его будущего состояния. Эта задача основана на моделях гидрологических процессов.

· С помощью прогнозной информации управлять состоянием водохозяйственного комплекса, например осуществлять сезонное или многолетнее регулирование речного стока. При решении задач оптимального управления так или иначе используют математические модели гидрологических процессов.

Известно выражение о путях познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике, таков диалектический путь познания истины, путь познания объективной реальности». Если поместить гидрологические дисциплины на ту или иную ступеньку познания, то математическому моделированию соответствует ступенька абстрактного мышления, когда реальный гидрологический процесс сопоставлен с его моделью, отражающей наиболее важные стокоформирующие факторы независимо от второстепенных (с точки зрения конкретной гидрологической задачи) обстоятельств. [12]

Наука развивается, появляются новые методы и теории.

В данном реферате я говорю о развитии науки, приводя пример расширения границ моделирования гидрологических процессов, посредством ввода в него частично инфинитного.

«Научное исследование нуждается, кроме методов познания, в особой системе средств практической деятельности (специальная научная аппаратура – измерительные инструменты, прибора и установки), без которых немыслима как фундаментальная, так и экспериментальная науки».[13]

Перед современной наукой стоит множество проблем. Главной, на мой взгляд (по крайней мере, в ряде гидрометеорологических специальностей), является проблема финансирования, для решения задач гидрологии необходимо современное, дорогостоящее оборудование.Так же остро стоит проблема кадров, молодые специалисты редко могут позволить себе заниматься развитием науки из-за мизерных зарплат, в место этого они идут работать. И даже если работа по специальности, то, как правило – это занятие нормальной наукой. А для развития всё же необходимы революции, которыми получается некому заниматься.

Список литературы

1. Интернет ресурс http://www.kazedu.kz/referat/6960от 12.09.2012

2. Фролов И.Т. Гносеологические проблемы моделирования. – М.: Наука, 1961 год

3. Коваленко В.В. Частично инфинитное моделирование и прогнозирование процесса формирования речного стока. –СПб.:Гидрометиздат, 2004. – 198 с.

4. Рузавин Г.И Методология научного исследования. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. – 317с.

5. Борн М. Физика и теория относительности//Эйнштейн и развитие физико-математической мысли. — М.: Изд-во АН СССР, 1962.

6. Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели прогнозирования.(Методические указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа, 1988, 47 с.

7. Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели оптимизации (Методические указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа, 1988, 50 с.

8. Иванов В.Т. Математическое моделирование. Модели оптимального управления (Методические указания для самостоятельной работы по курсу ЦИПС) – Уфа, 1988, 47 с.

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 4259; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!