Моделирование недетерминированного автомата
Данное упражнение показывает, как абстрактную математическую конструкцию можно представить на Прологе. Кроме того, программа, которая получится, окажется значительно более гибкой, чем предполагалось вначале.
Недетерминированный конечный автомат — это абстрактная машина, которая читает символы из входной цепочки и решает, допустить или отвергнуть эту цепочку. Автомат имеет несколько состояний и всегда находится в одном из них. Он может изменить состояние, перейдя из одного состояния в другое. Внутреннюю структуру такого автомата можно представить графом переходов, как показано на рис. 4.3. В этом примере S1 , S2 , S3 и S4 — состояния автомата. Стартовав из начального состояния (в нашем примере это S1 ), автомат переходит из состояния в состояние по мере чтения входной цепочки. Переход зависит от текущего входного символа, как указывают метки на дугах графа переходов.
Рис. 4.3. Пример недетерминированного конечного автомата.
Переход выполняется всякий раз при чтении входного символа. Заметим, что переходы могут быть недетерминированными. На рис. 4.3 видно, что если автомат находится в состоянии S1 , и текущий входной символ равен а , то переход может осуществиться как в S1 , так и в S2 . Некоторые дуги помечены меткой пусто, обозначающей "пустой символ". Эти дуги соответствуют "спонтанным переходам" автомата. Такой переход называется спонтанным , потому что он выполняется без чтения входной цепочки. Наблюдатель, рассматривающий автомат как черный ящик, не сможет обнаружить, что произошел какой-либо переход.
|
|
|
Состояние S3 обведено двойной линией, это означает, что S3 — конечное состояние . Про автомат говорят, что он допускает входную цепочку, если в графе переходов существует путь, такой, что:
(1) он начинается в начальном состоянии,
(2) он оканчивается в конечном состоянии, и
(3) метки дуг, образующих этот путь, соответствуют полной входной цепочке.
Решать, какой из возможных переходов делать в каждый момент времени — исключительно внутреннее дело автомата. В частности, автомат сам решает, делать ли спонтанный переход, если он возможен в текущем состоянии. Однако абстрактные недетерминированные машины такого типа обладают волшебным свойством: если существует выбор, они всегда избирают "правильный" переход, т.е. переход, ведущий к допущению входной цепочки при наличии такого перехода. Автомат на рис. 4.3, например, допускает цепочки аb и aabaab , но отвергает цепочки abb и abba . Легко видеть, что этот автомат допускает любые цепочки, оканчивающиеся на аb и отвергает все остальные.
Рис. 4.4. Допущение цепочки: (a) при чтении первого символа X; (b) при совершении спонтанного перехода.
|
|
|
Некоторый автомат можно описать на Прологе при помощи трех отношений:
(1) Унарного отношения конечное, которое определяет конечное состояние автомата.
(2) Трехаргументного отношения переход, которое определяет переход из состояния в состояние, при этом
переход( S1, X, S2)
означает переход из состояния S1 в S2, если считан входной символ X.
(3) Бинарного отношения
спонтанный( S1, S2)
означающего, что возможен спонтанный переход из S1 в S2.
Для автомата, изображенного на рис. 4.3, эти отношения будут такими:
конечное( S3).
переход( S1, а, S1).
переход( S1, а, S2).
переход( S1, b, S1).
переход( S2, b, S3).
переход( S3, b, S4).
спонтанный( S2, S4).
спонтанный( S3, S1).
Представим входные цепочки в виде списков Пролога. Цепочка ааb будет представлена как [а, а, b]. Модель автомата, получив его описание, будет обрабатывать заданную входную цепочку, и решать, допускать ее или нет. По определению, недетерминированный автомат допускает заданную цепочку, если (начав из начального состояния) после ее прочтения он способен оказаться в конечном состоянии. Модель программируется в виде бинарного отношения допускается, которое определяет принятие цепочки из данного состояния. Так
|
|
|
допускается( Состояние, Цепочка)
истинно, если автомат, начав из состояния Состояние как из начального, допускает цепочку Цепочка. Отношение допускается можно определить при помощи трех предложений. Они соответствуют следующим трем случаям:
(1) Пустая цепочка [] допускается из состояния S, если S — конечное состояние.
(2) Непустая цепочка допускается из состояния S, если после чтения первого ее символа автомат может перейти в состояние S1, и оставшаяся часть цепочки допускается из S1. Этот случай иллюстрируется на рис. 4.4(а).
(3) Цепочка допускается из состояния S, если автомат может сделать спонтанный переход из S в S1, а затем допустить (всю) входную цепочку из S1. Такой случай иллюстрируется на рис. 4.4(b).
Эти правила можно перевести на Пролог следующим образом:
допускается( S, []) :-
% Допуск пустой цепочки
конечное( S).
допускается( S, [X | Остальные]) :-
% Допуск чтением первого символа
переход( S, X, S1),
допускается( S1, Остальные).
допускается( S, Цепочка) :-
% Допуск выполнением спонтанного перехода
спонтанный( S, S1),
допускается( S1, Цепочка).
Спросить о том, допускается ли цепочка аааb , можно так:
?- допускается( S1, [a, a, a, b]).
yes (да)
Как мы уже видели, программы на Прологе часто оказываются способными решать более общие задачи, чем те, для которых они первоначально предназначались. В нашем случае мы можем спросить модель также о том, в каком состоянии должен находиться автомат в начале работы, чтобы он допустил цепочку аb :
|
|
|
?- допускается( S, [a, b]).
S = s1;
S = s3
Как ни странно, мы можем спросить также "Каковы все цепочки длины 3, допустимые из состояния s1?"
?- допускается( s1, [X1, Х2, X3]).
X1 = а
X2 = а
X3 = b;
X1 = b
X2 = а
X3 = b;
nо (нет)
Если мы предпочитаем, чтобы допустимые цепочки выдавались в виде списков, тогда наш вопрос следует сформулировать так:
?- Цепочка = [ _, _, _ ], допускается( s1, Цепочка).
Цепочка = [а, а, b];
Цепочка = [b, а, b];
nо (нет)
Можно проделать и еще некоторые эксперименты, например спросить: "Из какого состояния автомат допустит цепочку длиной 7?"
Эксперименты могут включать в себя переделки структуры автомата, вносящие изменения в отношения конечное, переход и спонтанный. В автомате, изображенном на рис. 4.3, отсутствуют циклические "спонтанные пути" (пути, состоящие только из спонтанных переходов). Если на рис. 4.3 добавить новый переход
спонтанный( s1, s3)
то получится "спонтанный цикл". Теперь наша модель может столкнуться с неприятностями. Например, вопрос
?- допускается( s1, [а]).
приведет к тому, что модель будет бесконечно переходить в состояние s1, все время надеясь отыскать какой-либо путь в конечное состояние.
Упражнения
4.4. Почему не могло возникнуть зацикливание модели исходного автомата на рис. 4.3, когда в его графе переходов не было "спонтанного цикла"?
4.5. Зацикливание при вычислении допускается можно предотвратить, например, таким способом: подсчитывать число переходов, сделанных к настоящему моменту. При этом модель должна будет искать пути только некоторой ограниченной длины. Модифицируйте так отношение допускается. Указание: добавьте третий аргумент — максимально допустимое число переходов:
допускается( Состояние, Цепочка, Макс_переходов)
Планирование поездки
В данном разделе мы создадим программу, которая дает советы по планированию воздушного путешествия. Эта программа будет довольно примитивным советчиком, тем не менее она сможет отвечать на некоторые полезные вопросы, такие как:
• По каким дням недели есть прямые рейсы из Лондона в Любляну?
• Как в четверг можно добраться из Любляны в Эдинбург?
• Мне нужно посетить Милан, Любляну и Цюрих; вылетать нужно из Лондона во вторник и вернуться обратно в Лондон в пятницу. В какой последовательности мне следует посещать эти города, чтобы ни разу на протяжении поездки не пришлось совершать более одного перелета в день.
Центральной частью программы будет база данных, содержащая информацию о рейсах. Эта информация будет представлена в виде трехаргументного отношения:
расписание( Пункт1, Пункт2, Список_рейсов)
где Список_рейсов — это список, состоящий из структурированных объектов вида:
Время_отправления / Время_прибытия / Номер_рейса
/ Список_дней_вылета
Список_дней_вылета — это либо список дней недели, либо атом "ежедневно". Одно из предложений, входящих в расписание могло бы быть, например, таким:
расписание( лондон, эдинбург,
[ 9:40 / 10:50 / bа4733/ ежедневно,
19:40 / 20:50 / bа4833 / [пн, вт, ср, чт, пт, сб]] ).
Время представлено в виде структурированных объектов, состоящих из двух компонент — часов и минут, объединенных оператором ":".
Главная задача состоит в отыскании точных маршрутов между двумя заданными городами в определенные дни недели. Ее решение мы будем программировать в виде четырехаргументного отношения:
маршрут( Пункт1, Пункт2, День, Маршрут)
Здесь Маршрут — это последовательность перелетов, удовлетворяющих следующим критериям:
(1) начальная точка маршрута находится в Пункт1;
(2) конечная точка — в Пункт2;
(3) все перелеты совершаются в один и тот же день недели — День;
(4) все перелеты, входящие в Маршрут, содержатся в определении отношения расписание;
(5) остается достаточно времени для пересадки с рейса на рейс.
Маршрут представляется в виде списка структурированных объектов вида
Откуда - Куда : Номер_рейса : Время_отправления
Мы еще будем пользоваться следующими вспомогательными предикатами:
(1) рейс( Пункт1, Пункт2, День, N_рейса, Вр_отпр, Вр_приб)
Здесь сказано, что существует рейс N_рейса между Пункт1 и Пункт2 в день недели День с указанными временами отправления и прибытия.
(2) вр_отпр( Маршрут, Время)
Время — это время отправления по маршруту Маршрут.
(3) пересадка( Время1, Время2)
Между Время1 и Время2 должен существовать промежуток не менее 40 минут для пересадки с одного рейса на другой.
Задача нахождения маршрута напоминает моделирование недетерминированного автомата из предыдущего раздела:
• Состояния автомата соответствуют городам.
• Переход из состояния в состояние соответствует перелету из одного города в другой.
• Отношение переход автомата соответствует отношению расписание.
• Модель автомата находит путь в графе переходов между исходным и конечным состояниями; планировщик поездки находит маршрут между начальным н конечным пунктами поездки.
Неудивительно поэтому, что отношение маршрут можно определить аналогично отношению допускает, с той разницей, что теперь нет "спонтанных переходов". Существуют два случая:
(1) Прямой рейс: если существует прямой рейс между пунктами Пункт1 и Пункт2, то весь маршрут состоит только из одного перелета:
маршрут( Пункт1, Пункт2, День, [Пункт1-Пункт2 : Nр : Отпр]) :-
рейс( Пункт1, Пункт2, День, Np, Отпр, Приб).
(2) Маршрут с пересадками: маршрут между пунктами P1 и Р2 состоит из первого перелета из P1 в некоторый промежуточный пункт Р3 и маршрута между Р3 и Р2. Кроме того, между окончанием первого перелета и отправлением во второй необходимо оставить достаточно времени для пересадки.
маршрут( P1, Р2, День, [P1-Р3 : Nр1 : Отпр1 | Маршрут]) :-
маршрут( Р3, Р2, День, Маршрут ),
рейс( P1, Р3, День, Npl, Oтпpl, Приб1),
вр_отпр( Маршрут, Отпр2),
пересадка( Приб1, Отпр2).
Вспомогательные отношения рейс, пересадка и вр_отпр запрограммировать легко; мы включили их в полный текст программы планировщика поездки на рис. 4.5. Там же приводится и пример базы данных расписания.
Наш планировщик исключительно прост и может рассматривать пути, очевидно ведущие в никуда. Тем не менее его оказывается вполне достаточно, если база данных о рейсах самолетов невелика. Для больших баз данных потребовалось бы разработать более интеллектуальный планировщик, который мог бы справиться с большим количеством путей, участвующих в перебора при нахождении нужного пути.
% ПЛАНИРОВЩИК ВОЗДУШНЫХ МАРШРУТОВ
:- op( 50, xfy, :).
рейс( Пункт1, Пункт2, День, Np, ВрОтпр, ВрПриб) :-
расписание( Пункт1, Пункт2, СписРейсов),
принадлежит( ВрОтпр / ВрПриб / Nр / СписДней, СписРейсов),
день_выл( День, СписДней).
принадлежит( X, [X | L] ).
принадлежит( X, [Y | L] ) :-
принадлежит( X, L ).
день_выл( День, СписДней) :-
принадлежит( День, СписДней).
день_выл( День, ежедневно) :-
принадлежит( День, [пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс] ).
маршрут( P1, P2, День, [P1-Р2 : Np : ВрОтпр] ) :-
% прямой рейс
рейс( P1, P2, День, Np, ВрОтпр, _ ).
маршрут( P1, Р2, День, [Pl-P3 : Np1 : Oтпp1 | Маршрут]) :-
% маршрут с пересадками
маршрут( Р3, P2, День, Маршрут ),
рейс( P1, Р3, День, Npl, Oтпp1, Приб1),
вр_отпр( Маршрут, Отпр2),
пересадка( Приб1, Отпр2).
вр_отпр( [P1-Р2 : Np : Отпр | _ ], Отпр).
пересадка( Часы1 : Минуты1, Часы2 : Минуты2) :-
60 * (Часы2-Часы1) + Минуты2 - Минуты1 >= 40
% БАЗА ДАННЫХ О РЕЙСАХ САМОЛЕТОВ
расписание( эдинбург, лондон,
[ 9:40 / 10:50 / bа4733 / ежедневно,
13:40 / 14:50 / ba4773 / ежедневно,
19:40 / 20:50 / bа4833 / [пн, вт, ср, чт, пт, вс] ] ).
расписание( лондон, эдинбург,
[ 9:40 / 10:50 / bа4732 / ежедневно,
11:40 / 12:50 / bа4752 / ежедневно,
18:40 / 19:50 / bа4822 / [пн, вт, ср, чт, пт] ] ),
расписание( лондон, любляна,
[13:20 / 16:20 / ju201 / [пт],
13:20 / 16:20 / ju213 / [вс] ] ).
расписание( лондон, цюрих,
[ 9:10 / 11:45 / bа614 / ежедневно,
14:45 / 17:20 / sr805 / ежедневно ] ).
расписание( лондон, милан,
[ 8:30 / 11:20 / bа510 / ежедневно,
11:00 / 13:50 / az459 / ежедневно ] ).
расписание( любляна, цюрих,
[11:30 / 12:40 / ju322 / [вт,чт] ] ).
расписание( любляна, лондон,
[11:10 / 12:20 / yu200 / [пт],
11:25 / 12:20 / yu212 / [вс] ] ).
расписание( милан, лондон,
[ 9:10 / 10:00 / az458 / ежедневно,
12:20 / 13:10 / bа511 / ежедневно ] ).
расписание( милан, цюрих,
[ 9:25 / 10:15 / sr621 / ежедневно,
12:45 / 13:35 / sr623 / ежедневно ] ).
расписание( цюрих, любляна,
[13:30 / 14:40 / yu323 / [вт, чт] ] ).
расписание( цюрих, лондон,
9:00 / 9:40 / bа613 /
[ пн, вт, ср, чт, пт, сб],
16:10 / 16:55 / sr806 / [пн, вт, ср, чт, пт, сб] ] ).
расписание( цюрих, милан,
[ 7:55 / 8:45 / sr620 / ежедневно ] ).
Рис. 4.5. Планировщик воздушных маршрутов и база данных о рейсах самолетов.
Вот некоторые примеры вопросов к планировщику:
• По каким дням недели существуют прямые рейсы из Лондона в Люблину?
?- рейс( лондон, любляна, День, _, _, _ ).
День = пт;
День = сб;
no (нет)
• Как мне добраться из Любляны в Эдинбург в четверг?
?- маршрут( любляна, эдинбург, чт, R).
R = [любляна-цюрих : уu322 : 11:30, цюрих-лондон:
sr806 : 16:10,
лондон-эдинбург : bа4822 : 18:40 ]
• Как мне посетить Милан, Любляну и Цюрих, вылетев из Лондона во вторник и вернувшись в него в пятницу, совершая в день не более одного перелета? Этот вопрос сложнее, чем предыдущие. Его можно сформулировать, использовав отношение перестановка, запрограммированное в гл. 3. Мы попросим найти такую перестановку городов Милан, Любляна и Цюрих, чтобы соответствующие перелеты можно было осуществить в несколько последовательных дней недели:
?- перестановка( [милан, любляна, цюрих],
[Город1, Город2, Город3] ),
рейс( лондон, Город1, вт, Np1, Oтпp1, Пpиб1),
peйc( Город1, Город2, ср, Np2, Отпр2, Приб2),
рейс( Город2, Город3, чт, Np3, Отпp3, Приб3),
рейс( Город3, лондон, пт, Np4, Отпр4, Приб4).
Город1 = милан
Город2 = цюрих
Город3 = любляна
Np1 = ba510
Отпр1 = 8:30
Приб1 = 11:20
Np2 =sr621
Отпр2 = 9:25
Приб2 = 10:15
Np3 = yu323
Отпр3 = 13:30
Приб3 = 14:40
Np4 = yu200
Отпр4 = 11:10
Приб4 = 12:20
Задача о восьми ферзях
Эта задача состоит в отыскании такой расстановки восьми ферзей на пустой шахматной доске, в которой ни один из ферзей не находится под боем другого. Решение мы запрограммируем в виде унарного отношения:
решение( Поз)
которое истинно тогда и только тогда, когда Поз изображает позицию, в которой восемь ферзей не бьют друг друга. Будет интересно сравнить различные идеи, лежащие в основе программирования этой задачи. Поэтому мы приведем три программы, основанные на слегка различающихся ее представлениях.
Программа 1
Вначале нужно выбрать способ представления позиции на доске. Один из наиболее естественных способов — представить позицию в виде списка из восьми элементов, каждый из которых соответствует одному из ферзей. Каждый такой элемент будет описывать то поле доски, на которой стоит соответствующий ферзь. Далее, каждое поле доски можно описать с помощью пары координат (X и Y), где каждая координата - целое число от 1 до 8. В программе мы будем записывать такую пару в виде
X / Y
где оператор "/" обозначает, конечно, не деление, а служит лишь для объединения координат поля в один элемент списка. На рис. 4.6 показано одно из решений задачи о восьми ферзях и его запись в виде списка.
После того, как мы выбрали такое представление, задача свелась к нахождению списка вида:
[X1/Y1, X2/Y2, X3/Y3, X4/Y4, X5/Y5, X6/Y6, X7/Y7, X8/Y8]
удовлетворяющего требованию отсутствия нападений. Наша процедура решение должна будет найти подходящую конкретизацию переменных X1, Y1, Х2, Y2, … , Х8, Y8. Поскольку мы знаем, что все ферзи должны находиться на разных вертикалях во избежание нападений по вертикальным линиям, мы можем сразу же ограничить перебор, чтобы облегчать поиск решения. Можно поэтому сразу зафиксировать X-координаты так, чтобы список, изображающий решение, удовлетворял следующему, более конкретному шаблону:
[1/Y1, 2/Y2, 3/Y3, 4/Y4, 5/Y5, 6/Y6, 7/Y7, 8/Y8]
Рис. 4.6. Решение задачи о восьми ферзях. Эта позиция может быть представлена в виде списка [1/4, 2/2, 3/7, 4/3, 5/6, 6/8, 7/5, 8/1].
Нас интересует решение для доске размером 8×8. Однако, как это часто бывает в программировании, ключ к решению легче найти, рассмотрев более общую постановку задачи. Как это ни парадоксально, но часто оказывается, что решение более общей задачи легче сформулировать, чем решение более частной, исходной задачи; после этого исходная задача решается просто как частный случай общей задачи.
Основная часть работы при таком подходе ложится на нахождение правильного обобщения исходной задачи. В нашем случае хорошей является идея обобщать задачу в отношении количества ферзей (количества вертикалей в списке), разрешив количеству ферзей принимать любое значение, включая нуль. Тогда отношение решение можно сформулировать, рассмотрев два случая:
Случай 1 . Список ферзей пуст. Пустой список без сомнения является решением, поскольку нападений в этом случае нет.
Случай 2 . Список ферзей не пуст. Тогда он выглядит так:
[ X/Y | Остальные ]
В случае 2 первый ферзь находится на поле X / Y, а остальные — на полях, указанных в списке Остальные. Если мы хотим, чтобы это было решением, то должны выполняться следующие условия:
(1) Ферзи, перечисленные в списке Остальные, не должны бить друг друга; т.е. список Остальные сам должен быть решением.
(2) X и Y должны быть целыми числами от 1 до 8.
(3) Ферзь, стоящий на поле X / Y, не должен бить ни одного ферзя из списка Остальные.
Чтобы запрограммировать первое условие, можно воспользоваться самим отношением решение. Второе условие можно сформулировать так: Y должен принадлежать списку целых чисел от 1 до 8. т.е. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. С другой стороны, о координате X можно не беспокоиться, поскольку список-решение должен соответствовать шаблону, у которого X-координаты уже определены. Поэтому X гарантированно получит правильное значение от 1 до 8. Третье условие можно обеспечить с помощью нового отношения небьет. Все это можно записать на Прологе так:
решение( [X/Y | Остальные] ) :-
решение( Остальные),
принадлежит( Y, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] ),
небьет( X/Y, Остальные).
Осталось определить отношение небьет:
небьет( Ф, Фспис)
И снова его описание можно разбить на два случая:
(1) Если список Фспис пуст, то отношение, конечно, выполнено, потому что некого бить (нет ферзя, на которого можно было бы напасть).
(2) Если Фспис не пуст, то он имеет форму
[Ф1 | Фспис1]
и должны выполняться два условия:
(а) ферзь на поле Ф не должен бить ферзя на поле Ф1 и
(b) ферзь на поле Ф не должен бить ни одного ферзя из списка Фспис1.
Выразить требование, чтобы ферзь, находящийся на некотором поле, не бил другое поле, довольно просто: эти поля не должны находиться на одной и той же горизонтали, вертикали или диагонали: Наш шаблон решения гарантирует, что все ферзи находятся на разных вертикалях, поэтому остается только обеспечить, чтобы
• Y-координаты ферзей были различны и
• ферзи не находились на одной диагонали, т.е. расстояние между полями по направлению X не должно равняться расстоянию между ними по Y.
На рис. 4.7 приведен полный текст программы. Чтобы облегчить ее использование, необходимо добавить список-шаблон. Это можно сделать в запросе на генерацию решений. Итак:
?- шаблон( S), решение( S).
решение( [] ).
решение( [X/Y | Остальные ] ) :-
% Первый ферзь на поле X/Y,
% остальные ферзи на полях из списка Остальные
решение( Остальные),
принадлежит Y, [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] ),
небьет( X/Y | Остальные).
% Первый ферзь не бьет остальных
небьет( _, [ ]). % Некого бить
небьет( X/Y, [X1/Y1 | Остальные] ) :-
Y =\= Y1, % Разные Y-координаты
Y1-Y =\= X1-X % Разные диагонали
Y1-Y =\= X-X1,
небьет( X/Y, Остальные).
принадлежит( X, [X | L] ).
принадлежит( X, [Y | L] ) :-
принадлежит( X, L).
% Шаблон решения
шаблон( [1/Y1, 2/Y2, 3/Y3, 4/Y4, 5/Y5, 6/Y6, 7/Y7, 8/Y8]).
Рис. 4.7. Программа 1 для задачи о восьми ферзях.
Система будет генерировать решения в таком виде:
S = [1/4, 2/2, 3/7, 4/3, 5/6, 6/8, 7/5, 8/1];
S = [1/5, 2/2, 3/4, 4/7, 5/3, 6/8, 7/6, 8/1];
S = [1/3, 2/5, 3/2, 4/8, 5/6, 6/4, 7/7, 8/1].
...
Упражнение
4.6. При поиске решения программа, приведенная на рис. 4.7, проверяет различные значения Y-координат ферзей. В каком месте программы задается порядок перебора альтернативных вариантов? Как можно без труда модифицировать программу, чтобы этот порядок изменился? Поэкспериментируйте с разными порядками, имея в виду выяснить, как порядок перебора альтернатив влияет на эффективность программы.
Программа 2
В соответствии с принятым в программе 1 представлением доски каждое решение имело вид
[1/Y1, 2/Y2, 3/Y3, ..., 8/Y8]
так как ферзи расставлялись попросту в последовательных вертикалях. Никакая информация не была бы потеряна, если бы X-координаты были пропущены. Поэтому можно применить более экономное представление позиции на доске, оставив в нем только Y-координаты ферзей:
[Y1, Y2, Y3, ..., Y8]
Чтобы не было нападений по горизонтали, никакие два ферзя не должны занимать одну и ту же горизонталь. Это требование накладывает ограничение на Y-координаты: ферзи должны занимать все горизонтали с 1-й по 8-ю. Остается только выбрать порядок следования этих восьми номеров. Каждое решение представляет собой поэтому одну из перестановок списка:
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
Такая перестановка S является решением, если каждый ферзь в ней не находится под боем (список S — "безопасный"). Поэтому мы можем написать:
решение( S) :-
перестановка( [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], S),
безопасный( S).
Рис. 4.8. (а) Расстояние по X между Ферзь и Остальные равно 1. (b) Расстояние по X между Ферзь и Остальные равно 3
Отношение перестановка мы уже определила в гл. 3, а вот отношение безопасный нужно еще определить. Это определение можно разбить на два случая:
(1) S — пустой список. Тогда он, конечно, безопасный, ведь нападать не на кого.
(2) S — непустой список вида [Ферзь | Остальные]. Он безопасный, если список Остальные — безопасный и Ферзь не бьет ни одного ферзя из списка Остальные.
На Прологе это выглядит так:
безопасный( []).
безопасный( [Ферзь | Остальные ] :-
безопасный( Остальные),
небьет(Ферзь | Остальные).
В этой программе отношение небьет более хитрое.
решение( Ферзи) :-
перестановка( [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], Ферзи),
безопасный( Ферзи).
перестановка( [], []).
перестановка( [Голова | Хвост], СписПер) :-
перестановка( Хвост, ХвостПер),
удалить( Голова, СписПер, ХвостПер).
% Вставка головы в переставленный хвост
удалить( А, [А | Список).
удалять( А, [В | Список], [В, Список1] ) :-
удалить( А, Список, Список1).
безопасный( []).
безопасный( [Ферзь | Остальные]) :-
безопасный( Остальные),
небьет( Ферзь, Остальные, 1).
небьет( _, [], _ ).
небьет( Y, [Y1 | СписY], РасстХ) :-
Y1-Y =\= РасстХ,
Y-Y1 =\= РасстХ,
Расст1 is РасстХ + 1,
небьет( Y, СписY, Расст1).
Рис. 4.9. Программа 2 для задачи о восьми ферзях.
Трудность состоит в том, что расположение ферзей определяется только их Y-координатами, а X-координаты в представлении позиции не присутствуют в явном виде. Этой трудности можно избежать путем небольшого обобщения отношения небьет, как это показано на рис. 4.8. Предполагается, что цель
небьет( Ферзь, Остальные)
обеспечивает отсутствие нападении ферзя Ферзь на поля списка Остальные в случае, когда расстояние по X между Ферзь и Остальные равно 1. Остается рассмотреть более общий случай произвольного расстояния. Для этого мы добавим его в отношение небьет в качестве третьего аргумента:
небьет( Ферзь, Остальные, РасстХ)
Соответственно и цель небьет в отношении безопасный должна быть изменена на
небьет( Ферзь, Остальные, 1)
Теперь отношение небьет может быть сформулировано в соответствии с двумя случаями, в зависимости от списка Остальные: если он пуст, то бить некого и, естественно, нет нападений; если же он не пуст, то Ферзь не должен бить первого ферзя из списка Остальные (который находится от ферзя Ферзь на расстоянии РасстХ вертикалей), а также ферзей из хвоста списка Остальные, находящихся от него на расстоянии РасстХ + 1. Эти соображения приводят к программе, изображенной на рис. 4.9.
Программа 3
Наша третья программа для задачи о восьми ферзях опирается на следующие соображения. Каждый ферзь должен быть размещен на некотором поле, т.е. на некоторой вертикали, некоторой горизонтали, а также на пересечении каких-нибудь двух диагоналей. Для того, чтобы была обеспечена безопасность каждого ферзя, все они должны располагаться в разных вертикалях, разных горизонталях и в разных диагоналях (как идущих сверху вниз, так и идущих снизу вверх). Естественно поэтому рассмотреть более богатую систему представления с четырьмя координатами:
x вертикали
у горизонтали
u диагонали, идущие снизу вверх
v диагонали, идущие сверху вниз
Эти координаты не являются независимыми: при заданных x и у , u и v определяются однозначно (пример на рис. 4.10). Например,
u = x - у
v = x + у
Рис. 4.10. Связь между вертикалями, горизонталями и диагоналями. Помеченное поле имеет следующие координаты: x = 2, у = 4, u = 2 - 4 = -2, v = 2 + 4 = 6.
Области изменения всех четырех координат таковы:
Dx = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
Dy = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
Du = [-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
Dv = [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]
Задачу о восьми ферзях теперь можно сформулировать следующим образом: выбрать восемь четверок (X, Y, U, V), входящих в области изменения (X в Dx, Y в Dy и т.д.), так, чтобы ни один их элемент не выбирался дважды из одной области. Разумеется, выбор X и Y определяет выбор U и V. Решение при такой постановке задачи может быть вкратце таким: при заданных 4-x областях изменения выбрать позицию для первого ферзя, вычеркнуть соответствующие элементы из 4-x областей изменения, а затем использовать оставшиеся элементы этих областей для размещения остальных ферзей. Программа, основанная на таком подходе, показана на рис. 4.11. Позиция на доске снова представляется списком Y-координат. Ключевым отношением в этой программе является отношение
peш( СписY, Dx, Dy, Du, Dv)
которое конкретизирует Y-координаты (в СписY) ферзей, считая, что они размещены в последовательных вертикалях, взятых из Dx. Все Y-координаты и соответствующие координаты U и V берутся из списков Dy, Du и Dv. Главную процедуру решение можно запустить вопросом
?- решение( S)
Это вызовет запуск реш с полными областями изменения координат, что соответствует пространству задачи о восьми ферзях.
решение( СписY) :-
реш( СписY, % Y-координаты ферзей
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8],
% Область изменения Y-координат
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8],
% Область изменения X-координат
[-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7],
% Диагонали, идущие снизу вверх
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 14, 15, 16] ).
% Диагонали, идущие сверху вниз
реш([], [], Dy, Du, Dv).
реш( [Y | СписY], [X | Dx1], Dy, Du, Dv) :-
удалить( Y, Dy, Dy1), % Выбор Y-координаты
U is X-Y, % Соответствующая диагональ вверх
удалить( U, Du, Du1), % Ее удаление
V is X+Y, % Соответствующая диагональ вниз
удалить( V, Dv, Dv1), % Ее удаление
реш( СписY, Dх1, Dy1, Du1, Dv1).
% Выбор из оставшихся значений
удалить( А, [А | Список], Список).
удалить(A, [В | Список ], [В | Список1 ] ) :-
удалить( А, Список, Список1).
Рис. 4.11. Программа 3 для задачи о восьми ферзях.
Процедура реш универсальна в том смысле, что ее можно использовать для решения задачи об N ферзях (на доске размером N×N). Нужно только правильно задеть области Dx, Dy и т.д.
Удобно автоматизировать получение этих областей. Для этого нам потребуется процедура
генератор( N1, N2, Список)
которая для двух заданных целых чисел N1 и N2 порождает список
Список = [N1, N1 + 1, N1 + 2, ..., N2 - 1, N2]
Вот она:
генератор( N, N, [N]).
генератор( Nl, N2, [Nl | Список]) :-
N1 < N2,
М is N1 + 1,
генератор( М, N2, Список).
Главную процедуру решение нужно соответствующим образом обобщить:
решение( N, S)
где N — это размер доски, а S — решение, представляемое в виде списка Y-координат N ферзей. Вот обобщенное отношение решение:
решение( N, S) :-
генератор( 1, N, Dxy),
Nu1 is 1 - N, Nu2 is N - 1,
генератор( Nu1, Nu2, Du),
Nv2 is N + N,
генератор( 2, Nv2, Dv),
реш( S, Dxy, Dxy, Du, Dv).
Например, решение задачи о 12 ферзях будет получено с помощью:
?- решение( 12, S).
S = [1, 3, 5, 8, 10, 12, 6, 11, 2, 7, 9, 4]
Заключительные замечания
Три решения задачи о восьми ферзях показывают, как к одной и той же задаче можно применять различные подходы. Мы варьировали также и представление данных. В одних случаях это представление было более экономным, в других — более наглядным и, до некоторой степени, избыточным. К недостаткам более экономного представления можно отнести то, что какая-то информация всякий раз, когда она требовалась, должна была перевычисляться.
В некоторых случаях основным шагом к решению было обобщение задачи. Как ни парадоксально, но при рассмотрении более общей задачи решение оказывалось проще сформулировать. Принцип такого обобщения — стандартный прием программирования, и его можно часто применять.
Из всех трех программ третья лучше всего показывает, как подходить к общей задаче построения структуры из заданного множества элементов при наличии ограничений.
Возникает естественный вопрос: " Какая из трех программ наиболее эффективна?" В этом отношение программа 2 значительно хуже двух других, а эти последние — одинаковы. Причина в том, что основанная на перестановках программа 2 строит все перестановки, тогда как две другие программы способны отбросить плохую перестановку не дожидаясь, пока она будет полностью построена. Программа 3 наиболее эффективна. Она избегает некоторых арифметических вычислений, результаты которых уже сразу заложены в избыточное представление доски, используемое этой программой.
Упражнение
4.7. Пусть поля доски представлены парами своих координат в виде X/Y, где как X, так и Y принимают значения от 1 до 8.
(а) Определите отношение ходконя( Поле1, Поле2), соответствующее ходу коня на шахматной доске. Считайте, что Поле1 имеет всегда конкретизированные координаты, в то время, как координаты поля Поле2 могут и не быть конкретизированы. Например:
?- ходконя( 1/1, S).
S = 3/2;
S = 2/3;
no (нет)
(b) Определите отношение путьконя( Путь), где Путь — список полей, представляющих соответствующую правилам игры последовательность ходов коня по пустой доске.
(с) Используя отношение путьконя, напишите вопрос для нахождения любого пути, состоящего из 4-x ходов, и начинающегося с поля 2/1, а заканчивающегося на противоположном крае доски (Y = 8). Этот путь должен еще проходить после второго хода через поле 5/4.
Резюме
Примеры, рассмотренные в данном разделе, иллюстрируют некоторые достоинства и характерные черты программирования на Прологе:
• Базу данных можно естественным образом представить в виде множества прологовских фактов.
• Такие механизмы Пролога, как вопросы и сопоставление, можно гибко использовать для получения информации из базы данных. Кроме этого можно использовать вспомогательные процедуры-утилиты, еще больше облегчающие взаимодействие с конкретной базой данных.
• Абстракцию данных можно рассматривать как метод программирования, который облегчает работу со сложными структурами данных и вносит большую ясность и наглядность в программы. В Прологе легко соблюдать основные принципы абстракции данных.
• Часто легко можно осуществить перевод абстрактных математических конструкций, таких как автоматы, на язык определений Пролога, готовых к выполнению.
• Как это было в случае восьми ферзей, многие задачи допускают различные подходы, связанные с разными представлениями этих задач. Часто внесение избыточности в представление экономит вычисления. Происходит как бы проигрыш в рабочем пространстве, но выигрыш во времени.
• Часто основным шагом на пути к решению оказывается обобщение задачи. Парадоксально, но рассмотрение более общей задачи позволяет облегчить формулировку решения.
Глава 5
Управление перебором
Мы уже видели, что программист может управлять процессом вычислений по программе, располагая ее предложения и цели в том или ином порядке. В данной главе мы рассмотрим еще одно средство управления, получившее название "отсечение" (cut) и предназначенное для ограничения автоматического перебора.
Ограничение перебора
В процессе достижения цели пролог-система осуществляет автоматический перебор вариантов, делая возврат при неуспехе какого-либо из них. Такой перебор — полезный программный механизм, поскольку он освобождает пользователя от необходимости программировать его самому. С другой стороны, ничем не ограниченный перебор может стать источником неэффективности программы. Поэтому иногда требуется его ограничить или исключить вовсе. Для этого в Прологе предусмотрена конструкция "отсечение".
Рис. 5.1. Двухступенчатая функция
Давайте сначала рассмотрим простую программу, процесс вычислений, по которой содержит ненужный перебор. Мы выделим те точки этого процесса, где перебор бесполезен и ведет к неэффективности.
Рассмотрим двухступенчатую функцию, изображенную на рис. 5.1. Связь между X и Y можно определить с помощью следующих трех правил:
Правило 1 : если X < 3, то Y = 0
Правило 2 : если 3 ≤ X и X < 6, то Y = 2
Правило 3 : если 6 ≤ X, то Y = 4
На Прологе это можно выразите с помощью бинарного отношения
f( X, Y)
так:
f( X, 0) :- X < 3. % Правило 1
f( X, 2) :- 3 =< X, X < 6. % Правило 2
f( X, 4) :- 6 =< X. % Правило 3
В этой программе предполагается, конечно, что к моменту начала вычисления f( X, Y) X уже конкретизирован каким-либо числом; это необходимо для выполнения операторов сравнения.
Мы проделаем с этой программой два эксперимента. Каждый из них обнаружит в ней свой источник неэффективности, и мы устраним оба этих источника по очереди, применив оператор отсечения.
Эксперимент 1
Проанализируем, что произойдет, если задать следующий вопрос:
?- f( 1, Y), 2 < Y.
Рис. 5.2. В точке, помеченной словом "ОТСЕЧЕНИЕ", уже известно, что правила 2 и 3 должны потерпеть неудачу.
При вычислении первой цели f( 1, Y) Y конкретизируется нулем. Поэтому вторая цель становится такой:
2 < 0
Она терпит неудачу, а поэтому и весь список целей также терпит неудачу. Это очевидно, однако перед тем как признать, что такому списку целей удовлетворить нельзя, пролог-система при помощи возвратов попытается проверить еще две бесполезные в данном случае альтернативы. Пошаговое описание процесса вычислений приводится на рис. 5.2.
Три правила, входящие в отношение f, являются взаимоисключающими, поэтому успех возможен самое большее в одном из них. Следовательно, мы (но не пролог-система) знаем, что, как только успех наступил в одном из них, нет смысла проверять остальные, поскольку они все равно обречены на неудачу. В примере, приведенном на рис. 5.2, о том, что в правиле 1 наступил успех, становится известно в точке, обозначенной словом "ОТСЕЧЕНИЕ". Для предотвращения бессмысленного перебора мы должны явно указать пролог-системе, что не нужно осуществлять возврат из этой точки. Мы можем сделать это при помощи конструкции отсечения. "Отсечение" записывается в виде символа ' !' , который вставляется между целями и играет роль некоторой псевдоцели. Вот наша программа, переписанная с использованием отсечения:
f( X, 0) :- X < 3, !.
f( X, 2) :- 3 =< X, X < 6, !.
f( X, 4) :- 6 =< X.
Символ '!' предотвращает возврат из тех точек программы, в которых он поставлен. Если мы теперь спросим
?- f( 1, Y), 2 < Y.
то пролог-система породит левую ветвь дерева, изображенного на рис. 5.2. Эта ветвь потерпит неудачу на цели 2 < 0. Система попытается сделать возврат, но вернуться она сможет не далее точки, помеченной в программе символом '!'. Альтернативные ветви, соответствующие правилу 2 и правилу 3, порождены не будут.
Новая программа, снабженная отсечениями, во всех случаях более эффективна, чем первая версия, в которой они отсутствуют. Неудачные варианты новая программа распознает всегда быстрее, чем старая.
Вывод: добавив отсечения, мы повысили эффективность. Если их теперь убрать, программа породит тот же результат, только на его получение она истратит скорее всего больше времени. Можно сказать, что в нашем случае после введения отсечений мы изменили только процедурный смысл программы, оставив при этом ее декларативный смысл в неприкосновенности. В дальнейшем мы покажем, что использование отсечения может также затронуть и декларативный смысл программы.
Эксперимент 2
Проделаем теперь еще один эксперимент со второй версией нашей программы. Предположим, мы задаем вопрос:
?- f( 7, Y).
Y = 4
Проанализируем, что произошло. Перед тем, как был получен ответ, система пробовала применить все три правила. Эти попытки породили следующую последовательность целей:
Попытка применить правило 1:
7 < 3 терпит неудачу, происходит возврат, и попытка применить правило 2 (точка отсечения достигнута не была)
Попытка применить правило 2:
3 ≤ 7 успех, но 7 < 6 терпит неудачу; возврат и попытка применить правило 3 (точка отсечения снова не достигнута)
Попытка применить правило 3:
6 ≤ 7 — успех
Приведенные этапы вычисления обнаруживают еще один источник неэффективности. В начале выясняется, что X < 3 не является истиной (7 < 3 терпит неудачу). Следующая цель — 3 =< X (3 ≤ 7 — успех). Но нам известно, что, если первая проверка неуспешна, то вторая обязательно будет успешной, так как второе целевое утверждение является отрицанием первого. Следовательно, вторая проверка лишняя и соответствующую цель можно опустить. То же самое верно и для цели 6 =< X в правиле 3. Все эти соображения приводят к следующей, более экономной формулировке наших трех правил:
если X < 3, то Y = 0
иначе, если 3 ≤ X и X < 6, то Y = 2,
иначе Y = 4.
Теперь мы можем опустить в нашей программе те условия, которые обязательно выполняются при любом вычислении. Получается третья версия программы:
f( X, 0) :- X < 3, !.
f( X, 2) :- X < 6, !.
f( X, 4).
Эта программа дает тот же результат, что и исходная, но более эффективна, чем обе предыдущие. Однако, что будет, если мы теперь удалим отсечения? Программа станет такой:
f( X, 0) :- X < 3.
f( X, 2) :- X < 6.
f( X, 4).
Она может порождать различные решения, часть из которых неверны. Например:
?- f( 1, Y).
Y = 0;
Y = 2;
Y = 4;
nо (нет)
Важно заметить, что в последней версии, в отличие от предыдущей, отсечения затрагивают не только процедурное поведение, но изменяют также и декларативный смысл программы.
Более точный смысл механизма отсечений можно сформулировать следующим образом:
Назовем "целью-родителем" ту цель, которая сопоставилась с головой предложения, содержащего отсечение. Когда в качестве цели встречается отсечение, такая цель сразу же считается успешной и при этом заставляет систему принять те альтернативы, которые были выбраны с момента активизации цели-родителя до момента, когда встретилось отсечение. Все оставшиеся в этом промежутке (от цели-родителя до отсечения) альтернативы не рассматриваются.
Чтобы прояснить смысл этого определения, рассмотрим предложение вида
H :- В1, В2, ..., Вm, !, ..., Вn.
Будем считать, что это предложение активизировалось, когда некоторая цель G сопоставилась с H. Тогда G является целью-родителем. В момент, когда встретилось отсечение, успех уже наступил в целях В1, …, Вm. При выполнении отсечения это (текущее) решение В1, …, Вm "замораживается" и все возможные оставшиеся альтернативы больше не рассматриваются. Далее, цель G связывается теперь с этим предложением: любая попытка сопоставить G с головой какого-либо другого предложения пресекается.
Применим эти правила к следующему примеру:
С :- P, Q, R, !, S, T, U.
С :- V.
А :- В, С, D.
?- А.
Здесь А, В, С, D, P и т.д. имеют синтаксис термов. Отсечение повлияет на вычисление цели С следующим образом. Перебор будет возможен в списке целей P, Q, R; однако, как только точка отсечения будет достигнута, все альтернативные решения для этого списка изымаются из рассмотрения. Альтернативное предложение, входящее в С:
С :- V.
также не будет учитываться. Тем не менее, перебор будет возможен в списке целей S, T, U. "Цель-родитель" предложения, содержащего отсечения, — это цель С в предложении
А :- В, С, D.
Поэтому отсечение повлияет только на цель С. С другой стороны, оно будет "невидимо" из цели А. Таким образом, автоматический перебор все равно будет происходить в списке целей В, С, D, вне зависимости от наличия отсечения в предложении, которое используется для достижения С.
Дата добавления: 2018-05-01; просмотров: 401; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!