Понятие неопределенного интеграла.
Определение.Функция 
называется первообразной функции 
заданной на интервале 
, если она дифференцируема 
и для любого 
из этого интервала 
.
Определение. Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции и обозначается 
.
называется подынтегральной функцией, 
– подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.
Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
Пусть 
– одна из первообразных .
1. 
.
2. 
.
3. 
.
Таблица неопределенных интегралов:
1. 
| 2. 
|
3. 
| 4. 
|
5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
|
9. 
| 10. 
|
11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
|
15. 
| 16. 
|
17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
|
21. 
| 22. 
|
Замена переменной в неопределенном интеграле
Пусть требуется найти неопределенный интеграл , но непосредственно подобрать первообразную для не удается, хотя известно, что она существует. Во многих случаях введением вместо переменной интегрирования некоторой новой переменной можно данный интеграл свести к другому, который или содержится в таблице основных интегралов или легко вычисляется другим способом.
Такой метод называется методом замены переменной, или методом подстановки.
Итак, введем новую переменную по формуле 
– дифференцируемая функция на некотором интервале, при этом функция непрерывна на соответствующем интервале изменения . Тогда 
– формула замены переменной в неопределенном интеграле.
|
|
|
Пример. Найти 
.
Сделаем замену переменной по формуле: 
.
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Пусть 
– дифференцируемые функции, тогда дифференциал их произведения 
. Интегрируя это равенство, получим:
- формула интегрирования по частям.
Эта формула применяется к интегрированию выражений, которые можно представить в виде произведения двух сомножителей 
и 
так, что отыскание функции 
по ее дифференциалу и вычисление интеграла 
составляет в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление 
.
Пример. Найти 
.
Пусть 
тогда все остальное в подынтегральном выражении
: 
. Найдем 
. Применяя формулу, получим: 
.
Дата добавления: 2018-05-01; просмотров: 295; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!