Среднеквадратическое приближение таблично заданных функций

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Цель: Ознакомление студентов с основными методами интерполяции и аппроксимации таблично заданных функций. Закрепление на практике полученных знаний в области аппроксимации таких функций.

Задача: Научить студентов практическому применению полученных теоретических знаний при решении задач сглаживания результатов эксперимента полиномами, как при алгоритмизации таких задач, так и при их программировании.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Интерполяция и аппроксимация

В практике часто встречается ситуация, когда некоторая функция f(x) задана таблицей ее значений в отдельных точках х = x₀, x₁, … , x_n [a, b], например, дискретные показания прибора во времени, а следует вычислить функцию f(x) в некоторых промежуточных точках. Эту задачу можно решить приближенно, заменяя функцию f(x) более простой непрерывной функцией F(x). Существуют два основных способа такой замены: интерполяция и аппроксимация.

Суть интерполирования – в построении такой легко вычисляемой функции F(x), которая совпадает с функцией f(x) в точках х = x₀, x₁, … , x_n. Иными словами, график функции F(x) в плоскости Оху должен проходить через точки х = x₀, x₁, … , x_n, в которых задана функция f(x). При этом, точки х = x₀, x₁, … , x_n называют узлами интерполирования, а функцию F(x) – интерполяционной. В качестве интерполяционной функции в большинстве случаев выбирают полиномы. Так, линейная интерполяция состоит в простом последовательном соединении точек (x₀, f(x₀)), (x₁, f(x₁)), … ,

(x_n, f(x_n)) отрезками прямых, т.е. в построении nполиномов первой степени. Значение функции f(x) в точке х*, где х* (x_i,x_i₊₁), i = 0, 1, … , n – 1, вычисляется в этом случае достаточно просто:

f(x*) = f(x_i) + · (х*–x_i).

Квадратичная интерполяция состоит в соединении последовательных троек узлов интерполяции параболами. Кубическая интерполяция – четверок – кубическими параболами и т.д. Интерполяционные полиномы степени (n – 1)есть гладкие функции, проходящие через все узлы интерполяции. При наложении дополнительных условий на соединение функции F(x)в точках (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)), … , (x_n_-1, f(x_n_-1)) получим т.н. сплайн-интерполяцию. Для построения интерполяционных многочленов разработано множество методов: Ньютона, Стирлинга, Лагранжа и др.

Во многих случаях, имея значения функции в n+ 1 узлах, удобно вместо интерполяционного многочлена находить полином степени m<n, который бы хорошо приближал (аппроксимировал) рассматриваемую функцию. При этом требование совпадения функций f(x) иF(x) в точках (x₀, f(x₀)), (x₁, f(x₁)), … , (x_n, f(x_n)) заменяется на требование минимизации суммарного отклонения между значениями функций f(x) и F(x) в точках х = x₀, x₁, … , x_n.

Одним из основных методов построения аппроксимизационного полинома является метод наименьших квадратов, по которому требуется, чтобы сумма квадратов отклонений между значениями функции и значениями приближающей функции в узлах должна быть минимальной. Почему квадратов? Потому что сами отклонения между значениями функций может быть как положительными, так и отрицательными, и их сумма не дает истинного представления о различии между функциями за счет компенсации положительныхи отрицательных значений. Можно взять модули отклонений, однако положительные квадраты этих отклонений более удобны в работе.

Среднеквадратическое приближение таблично заданных функций

(метод наименьших квадратов)

Пусть в узлах x₀, x₁, … , x_n имеем значения у₀, у₁, … , у_n функции f(x). Среди полиномов m-й степени (m<n)

P_m(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m(1)

найти такой, который доставляет минимум выражению

S= .(2)

Неизвестными являются коэффициенты полинома (1). Сумма (2) представляет собой квадратичную форму от этих коэффициентов. Кроме того, формула (2) показывает, что функция S = S(a₀, a₁, … , a_m) не может принимать отрицательных значений. Следовательно, минимум функции S существует.

Применяя необходимые условия экстремума функции S = S(a₀, a₁, … , a_m), получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов a₀, a₁, … , a_m:

, (k = 0, 1, 2, … , m)(3)

Полагая с_p = , d_p = , запишем систему (3) в матричном виде

Сa = d, (4)

где

С = – матрица системы, а = {a₀, a₁, … , a_m}^T – вектор неизвестных, d = {d₀, d₁, … , d_m}^T – вектор правых частей системы.

Если среди узлов x₀, x₁, … , x_n нет совпадающих и m ≤ n, то система (4) имеет единственное решение a₀ = ,a₁= , … , a_m= . Тогда полином

= + x + x² + … + x^m

является единственным полиномом степени m, обладающим минимальным квадратичным отклонением S* = Smin.

Погрешность среднеквадратического приближения функции характеризуется величиной δ = .

Самый простой и наиболее часто используемый вид аппроксимации (среднеквадратического приближения) функции – линейная. Приближение данных (x_i, y_i) осуществляется линейной функцией y(х)= ax + b. На координатной плоскости (x, y) линейная функция, как известно, представляется прямой линией.

Пример. Сгладить систему точек прямойy= ax + b.

х	–1	0	1	2	3	4
у	0	2	3	3,5	3	4,5

Строим рабочую таблицу:

абочую таблицу:№	x_i	y_i	x_i²	x_iy_i	ax_i+ b	ax_i+ b –y_i	(ax_i+ b –y_i)²
1	–1	0	1	0	0,81	0,81	0,6561
2	0	2	0	0	1,55	–0,45	0,2025
3	1	3	1	3	2,29	–0,71	0,5041
4	2	3,5	4	7	3,03	–0,47	0,2209
5	3	3	9	9	3,77	0,77	0,5929
6	4	4,5	16	18	4,51	0,01	0,001
	9	16	31	37