Статически неопределимые задачи



Задачи на расчет конструкций, в элементах которых внутренние си­ловые факторы не могут быть определены с помощью одних уравнений равновесия статики, называются статически неопределимыми.

Для решения таких задач помимо уравнений равновесия состав­ляют уравнения перемещений или деформаций.

Изменение температуры деталей вызывает изменение их размеров, в результате чего в статически неопределимых системах возникают допол­нительные напряжения, называемые температурными.

Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А,длиной l, жестко защемленный по концам (рис. 19.10). При нагревании в стержне возникнут температурные напряжения сжатия. Определим эти напряжения.

Составим для стержня уравнение равновесия:

откуда получим, что реакции Rс и RB равны, а, применив метод сечении, установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:

Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией RB, тогда дополнительное уравне­ние деформаций будет иметь вид



 


(т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под дейст­вием реакции RB, так как связи полагаются абсолютно жесткими).

Температурное удлинение lt = tl, где — коэффициент линейно­го расширения материала стержня; укорочение под действием реакции RB: lСВ = RBl /(EA).Приравняем правые части этих равенств:



 


 



Определим температурные напряжения:


Для того чтобы избе­жать температурных на­пряжений, которые могут достигать значительных ве­личин, один конец мостов ставят на катки; в длинных


трубопроводах, подвергаю­щихся изменению темпера­туры, делают компенсирую­щие устройства и т. д.

Пример 19.5. Абсолютно жесткая балка, изображенная на рис. 19.11, шарнирно укре­плена в стене и подвешена горизонтально на двух шар­нирно закрепленных, верти­кально расположенных сталь­ных стержнях равной длины l= 2 м. В точке D на балку действует сила F = 20 кН. Площади поперечных сечений стержней равны: А2= 3 см2, А2= б см2. Модуль упругости материала стержней

Е = 2 105 МПа, сила тяже­сти балки G = 40 кН. Определить напряжения в стержнях 1 и 2.

Решение. Рассматривая равновесие балки, отбросив связи и заменив их ре­акциями, получаем три неизвестных: реакцию RA шарнира А и реакции RСи RB стержней 1 и 2.

Для данной системы параллельных сил можно составить лишь два уравне­ния равновесия: уравнение проекций сил на вертикальную ось и уравнение мо­ментов относительно какой-либо точки; следовательно, система статически неоп­ределима.

Для решения задачи необходимо составить дополнительное уравнение пе­ремещений элементов конструкции, для чего изобразим ее в деформированном виде. Из подобия треугольников АСС' и АВВ' получаем

отсюда

Составим уравнение моментов относительно точки А:



 


Упрощая последнее уравнение, получаем




По закону Гука


Разделим второе равенство на первое:



 


Так как.

 

откуда RВ=5Rс

Находим RВ и RС:


203


 


Отсюда  

Определяем напряжения 1 и 2 в стержнях:



 


Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 319; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!