Проверка статистических гипотез
Если закон распределения неизвестен, то выдвигают гипотезу о его виде. Возможен также случай, когда закон распределения известен, а его параметр неизвестен. Тогда есть основание предположить, что неизвестный параметр равен определённому значению и выдвигают гипотезу .
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. гипотезы бывают простые и сложные.
Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Сложная гипотеза состоит из конечного числа простых гипотез.
Выдвинутая гипотеза называется нулевой и обозначается , а гипотеза, противоречащая нулевой – конкурирующей и обозначается .
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость её проверки. В результате проверки могут быть допущены ошибки двух видов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза, ошибка второго рода – будет принята неправильная гипотеза.
Решение признать верной гипотезу или принимается по значению некоторой функции выборки, называемой статистическим критерием.
Значение критерия, вычисленное по выборке, называется наблюдаемым и обозначается . Множество значений критерия можно разделить на два непересекающихся подмножества: подмножество значений критерия, при которых гипотеза принимается, называется допустимой областью; подмножество значений критерия, при которых гипотеза отвергается и принимается гипотеза , называется критической областью.
|
|
Критическими точками называются точки, отделяющие критическую область от допустимой. Эти точки являются табличными или критическими значениями критерия и обозначаются .
При проверке гипотез следует по возможности уменьшить вероятности принятия неправильных решений. Допустимая вероятность ошибки I рода называется уровнем значимости.
Для определения критической области используют уровень значимости и учитывают вид альтернативной гипотезы .
определяют по таблицам распределения данного критерия если , то гипотеза принимается, если , то принимается гипотеза .
Пример решения задания 5
Для заданного интервального ряда выборки проверить гипотезу: закон распределения генеральной совокупности является нормальным.
Интервал | |||||||
5 | 10 | 35 | 20 | 15 | 8 | 7 |
Решение
Выдвигаются нулевая и конкурирующая гипотезы:
: закон распределения генеральной совокупности является нормальным;
: генеральная совокупность имеет закон распределения отличный от нормального.
Интервальный вариационный ряд преобразуется в дискретный. Для этого интервалы заменяются соответствующими им серединами, а частоты остаются прежними.
|
|
2,6 | 3,4 | 4,2 | 5,0 | 5,8 | 6,6 | 7,4 | |
5 | 10 | 35 | 20 | 15 | 8 | 7 |
По полученным данным находятся выборочное среднее и выборочное среднеквадратическое отклонение.
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Гипотеза проверяется с помощью случайной величины , число степеней свободы которой находится по формуле:
,
где число интервалов, на которые разбит вариационный ряд;
число параметров распределения, которые оценены по данным выборки (для нормального распределения , для распределения Пуассона ).
Значит . Задаётся уровень значимости .
По уровню значимости и числу степеней свободы критическая точка правосторонней критической области находится из приложения 5 [1, 2] и равна .
Предварительно определим теоретические частоты по формуле .
Расчёты представлены в таблице.
3,0 | 3,8 | 4,6 | 5,4 | 6,2 | 7,0 | 7,8 | |
–1,28 | –0,71 | –0,14 | 0,43 | 1,00 | 1,57 | 2,14 | |
–0,3997 | –0,2611 | –0,0557 | 0,1664 | 0,3413 | 0,4418 | 0,4838 | |
2,2 | 3,0 | 3,8 | 4,6 | 5,4 | 6,2 | 7,0 | |
–1,86 | –1,28 | –0,71 | –0,14 | 0,43 | 1,00 | 1,57 | |
–0,4686 | –0,3997 | –0,2611 | –0,0557 | 0,1664 | 0,3413 | 0,4418 | |
0,07 | 0,13 | 0,21 | 0,23 | 0,18 | 0,13 | 0,05 | |
7 | 13 | 21 | 23 | 18 | 13 | 5 | |
0,571 | 0,692 | 9,333 | 0,391 | 0,500 | 1,923 | 0,800 |
|
|
По уровню значимости и числу степеней свободы критическая точка правосторонней критической области находится из приложения 5 [1, 2] и равна .
Так как , то гипотеза о нормальном распределении отвергается.
Ответ: закон распределения генеральной совокупности не является нормальным.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 192; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!