Абсолютная и относительная погрешности сложения.
При сложении или вычитании чисел их абсолютные погрешности складываются. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшим и наименьшим значениями относительных погрешностей слагаемых; на практике принимается наибольшее значение.
D(a ± b) = Da + Db .
При умножении или делении чисел друг на друга их относительные погрешности складываются.
При возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени.
Погрешность суммы: на практике при сложении приближенных чисел поступают следующим образом:
- выделяют числа, десятичная запись которых обрывается ранее других и оставляют их без изменения;
- остальные числа округляют по образцу выделенных, сохраняя один или два запасных десятичных знака;
- производят сложение данных чисел, учитывая все сохраненные знаки;
- полученный результат округляют на один знак.
Метод Ньютона–Рафсона решения систем нелинейных уравнений: алгоритм решения, условие окончания.
(1.16)
2 Алгоритм решения:
1) ввод исходных данных:
ε – допустимая абсолютная погрешность в вычислении решения;
n – количество уравнений для вычисления неизвестных xj;
m– максимальное количество итераций;
X0 – вектор начальных приближений 
h– приращениеxj для вычисления частных производных в разностной форме;
2) вычисление элементов вектора F в начальной (текущей) точке, определяемой вектором X0;
|
|
|
3) вычисление элементов матрицы J– частных производных:
4) решение линейной системы (1.16) – вычисление элементов вектораDx;
5) корректировка начального (текущего) приближения решения – вычисление вектора
6) проверка погрешности решения по условию
При выполнении этого условия вектор X выводится в качестве решения системы, а иначе переформируется вектор начальных приближений (X0 = X) и осуществляется переход к пункту 2 на выполнение очередной итерации. Количество итераций ограничивается числом m. При его превышении выдается сообщение о необходимости выбора лучшего начального приближения.
Метод Лагранжа интерполяции данных: тип метода, вид и степень общего полинома Лагранжа, условие интерполяции, задача построения полинома Лагранжа, недостаток метода.
Метод Лагранжа
Если некоторая функция задана в (n + 1) точках x0,x1, … xn, то для точного отображения ее нужно построить полином n-ой сте-пениPn(x).
Условие интерполяции имеет вид:
Pn(xi) = yi, i = 0, 1, …, n, (2.1)
гдеxi, yi – значения аргумента и самой функции в узлах интерпо-ляции.
Лагранж предложил строить общий интерполяционный полином в виде суммы полиномов
|
|
|
, (2.2)
где y0,y1, … yn– табличные значения функций;
b0(x),b1(x), …, bn(x), – частные полиномы, каждый степени n.
Вид полиномов bj, j = 0, 1, …, n:
. (2.3)
Примечание. В выражении (2.3) в правой части отсутствует сомножи-тель (x – xi). Всего имеем n сомножителей-двучленов,т.е. каждый сомножи-тель первой степени, поэтому порядок полинома bj(x) равен n.
Распишем выражения полиномов bj(x):
· приj = 0: b0(x) = c0(x – x1) (x – x2) … (x – xn),
здесь нет сомножителя (x – x0), поэтому при любом
x = xi, i= 1, 2, …,n, будетb0(xi) = 0
и только при x = x0 будет b0(x0) ≠ 0;
· при j = 1: b1(x) = c1(x – x0) (x – x2) … (x – xn),
здесь нет сомножителя (x – x1), поэтому
b1(x0) = 0, b1(x2) = 0,…,b1(xn) = 0, но b1(x1) ≠ 0;
· при j = n: bn(x) = cn(x – x0) (x – x1) … (x – xn-1),
здесь нет сомножителя (x – xn), поэтому
bn(x0) = 0, bn(x1) = 0,…,bn(xn-1) = 0, но bn(xn) ≠ 0.
Величины x0,x1, … xn, – табличные значенияxi, а величины cj, j = 0, 1, …, n – некоторые неизвестные константы, которые надовы-числить.
Для вычисления (n + 1)-й константы c0,c1, … cn можно запи-сать на базе равенства (2.1) с учетом выражения (2.2) для полиномаPn(x) и выражения (2.3) для полиномов bj(x)следующую систему из (n + 1)-го уравнения:
§ приi = 0: x = x0, yi = y0,
нет (x0 – x0) есть (x0 – x0) есть (x0 – x0)
|
|
|
при x = x0 в левой части этого уравнения остается только первое сла-гаемое
;
§ при i = 1: x = x1, yi = y1,
есть (x1 – x1) нет (x1 – x1) есть (x1 – x1)
при x = x1 в левой части этого уравнения остается только второе сла-гаемое
;
§ приi = n: x = xn, yi = yn,
есть (xn – xn) есть (xn – xn) нет (xn – xn)
при x = xn в левой части этого уравнения остается только последнее слагаемое
.
Итак, получили систему
(2.4)
Отсюда следует
В общем виде можем записать
(2.5)
т.е. любой полином bj(x) = 0 при каждом xi кроме xj.
Из выражения (2.3) для полинома bj(x) получаем выражение для константыcj:
(2.6)
При x = xjимеем bj(xj) = 1, тогда
. (2.7)
В выражении (2.7) xj, j = 0, 1, …, n, и x0,x1, … xn – табличные значения x, т.е. имеем все известные значения и можем вычислить значения констант cj.
Подставив выражение (2.7) в выражение (2.3), получаем выра-жение для полинома bj(x) в развернутой форме:
.
Введём обозначение:
,
тогда получим компактную запись
(2.8)
Отметим, что 
С учетом (2.8) интерполяционный полином Лагранжа можно записать в следующем виде:
|
|
|
(2.9)
Подставляя в (2.9) любое значение x, можно вычислить соответ-ствующее значение полинома.
Метод Лагранжа позволяет интерполировать данные на каждом отрезке между заданными точками полиномом высокой n-ой степени, всего на единицу меньшей количеством точек (интерполяционный полином един на всем интервале интерполяции). В этом состоит пре-имущество метода Лагранжа перед рассматриваемым ниже методом сплайнов.
Однако метод Лагранжа имеет недостаток: при существенном отличии («разбросе») по значению ординат y соседних точек (чередо-вание больших и малых значений) вычисляемые по выражению поли-нома значения функции в промежуточных точках между узлами интерполяции противоестественно отличаются от значений величин, характеризующих реальный процесс.
Для адекватного отображения реального колебательного проце-сса необходимо иметь промежуточные данные между амплитудными значениями.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1216; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!