Условия коллинеарности векторов

Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.
Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.

Орт вектора

Ортом вектора называется вектор единичной длины, имеющий то же направление, что и вектор .
Орт вектора можно получить, разделив вектор на его длину:

Модуль вектора (длина вектора) |a| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Так в случае плоской задачи модуль вектора можно найти по следующей формуле

Свойства линейных операций над векторами

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Для любых векторов , , и любых действительных чисел справедливы равенства:

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов называют вектор

где - коэффициенты линейной комбинации.

Стандартный базис на плоскости — это упорядоченная пара единичных и перпендикулярных векторов на данной плоскости (рис. 1.34,б). Согласно теореме 1.4, любой вектор , принадлежащий данной плоскости, может быть разложен по стандартному базису на плоскости , т.е. представлен в виде .

Стандартный базис в пространстве — это упорядоченная тройка единичных и попарно перпендикулярных векторов Первый базисный вектор на рис.1.34,в направлен перпендикулярно плоскости рисунка .Любой вектор в пространстве может быть разложен по стандартному базису в пространстве , т.е. представлен в виде .

43)Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства :

° - симметричность.

2° . Обозначается и называется скалярный квадрат.

3° Если , то

4° Если и и , то . Верно и обратное утверждение.

5°

6°

44)Векторным произведением векторов и называется вектор , который определяется следующими условиями:

2) Вектор перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами и .

3) Вектор направлен следующим образом :

Векторное произведение векторов и обозначается символом :

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение равно нулю, если векторы и коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный

45)Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

46)Плоскость в пространстве.

Представление о плоскости позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀,у₀,z₀) перпендикулярно вектору n= {A,B,C},называемому нормалью к плоскости.

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0. (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

где D = -Ax₀- By₀- Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 612; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!