Часть 2: Расчет плоскопараллельного электростатического поля между линейным заряженным проводом и проводящим экраном
Построить картину плоскопараллельного электростатического поля, создаваемого 1-м проводом. При построении картины поля радиусом провода пренебречь. Принять число линий равного потенциала, включая границу 
, и число трубок потока вектора напряженности 
. Определить распределение индуцированного заряда σпо поверхности экрана.
Сперва необходимо с помощью конформных преобразованийотобразить область 
наполуплоскость 
. Для нашего случая отображающая функция имеет вид:
Поскольку угол 
Положение провода в области определяется следующим образом:
Найдем положение провода в верхней полуплоскости
А его зеркальное отображение равно:
Таким образом, координаты нити в области
Затем получим выражение для комплексного потенциала поля в . Искомый комплексный потенциал 
в области можно найти, воспользовавшись методом зеркальных изображений и формулой комплексного потенциала уединённой нити. Используя принцип наложения, можно получить следующее выражение:
Или:
Из этой формулы следует, что:
Приступим кпостроению картины поля в полуплоскости . Из условий мы имеем число линий равного потенциала, включая границу , и число трубок потока вектора напряженности . Тогда значение потока в трубке:
Обозначим номер линии напряженности через 
. Тогда для функции потока на линии с номером можно написать
Приращение потенциала при переходе от произвольной линии равного потенциала к соседней, для картины поля с квадратными ячейками равно:
|
|
|
Обозначим номер эквипотенциальной линии через 
. Тогда потенциал для линии с произвольным номером можно вычислить по формуле
В итоге для нахождения координаты точки с k-м номером мы будем пользоваться выражением:
А комплексный потенциал точки с k-м номером определим по формуле:
Далее выразим 
через 
Так как, 
, то
Результаты расчета для 45 точек представлены в таблице. Для простоты расчета 
было выбрано равным единце. Далее во всех формулах будет фигурировать как множитель, в зависимости от которого будут изменяться значения функций:
| k | kv | ku | W=U+jU | ω | Re(w) | Im(w) | ω | z | ||
| 1 | 0 | 0 | 1,255e7i*τ | 7+6,875e4i | 7,00 | 72,00 | 7+6,875e4i | 185,421+185,402i | ||
| 2 | 0 | 1 | 1,255e10i*τ | 7+71,525i | 7,00 | 71,53 | 7+71,525i | 6,28+5,695i | ||
| 3 | 0 | 2 | 2,51e10i*τ | 7+39,789i | 7,00 | 39,79 | 7+39,789i | 4,868+4,087i | ||
| 4 | 0 | 3 | 3,765e10i*τ | 7+30,741i | 7,00 | 30,74 | 7+30,741i | 4,389+3,502i | ||
| 5 | 0 | 4 | 5,02e10i*τ | 7+27,133i | 7,00 | 27,13 | 7+27,133i | 4,185+3,242i | ||
| 6 | 1 | 0 | 12550000000,00 | -58,94 | -58,94 | 0,00 | -58,94 | 7,677i | ||
| 7 | 1 | 1 | 1,255e10+1,255e10i*τ | -24,631+37,214i | -24,63 | 37,21 | -24,631+37,214i | 3,162+5,885i | ||
| 8 | 1 | 2 | 1,255e10+2,51e10i*τ | -4,197+33,033i | -4,20 | 33,03
| -4,197+33,033i | 3,815+4,33i | ||
| 9 | 1 | 3 | 1,255e10+3,765e10i*τ | 2,403+28,598i | 2,40 | 28,60 | 2,403+28,598i | 3,943+3,626i | ||
| 10 | 1 | 4 | 1,255e10+5,02e10i*τ | 4,922+26,278i | 4,92 | 26,28 | 4,922+26,278i | 3,979+3,302i | ||
| 11 | 2 | 0 | 25100000000,00 | -21,60 | -21,60 | 0,00 | -21,60 | 4,648i | ||
| 12 | 2 | 1 | 2,51e10+1,255e10i*τ | -14,882+16,804i | -14,88 | 16,80 | -14,882+16,804i | 1,945+4,32i | ||
| 13 | 2 | 2 | 2,51e10+2,51e10i*τ | -4,997+23,1i | -5,00 | 23,10 | -4,997+23,1i | 3,053+3,784i | ||
| 14 | 2 | 3 | 2,51e10+3,765e10i*τ | 1,014+24,307i | 1,01 | 24,31 | 1,014+24,307i | 3,56+3,414i | ||
| 15 | 2 | 4 | 2,51e10+5,02e10i*τ | 4,052+24,336i | 4,05 | 24,34 | 4,052+24,336i | 3,79+3,211i | ||
| 16 | 3 | 0 | 37650000000,00 | -6,86 | -6,86 | 0,00 | -6,86 | 2,618i | ||
| 17 | 3 | 1 | 3,765e10+1,255e10i*τ | -4,851+10,349i | -4,85 | 10,35 | -4,851+10,349i | 1,814+2,853i | ||
| 18 | 3 | 2 | 3,765e10+2,51e10i*τ | -0,862+17,214i | -0,86 | 17,21 | -0,862+17,214i | 2,861+3,008i | ||
| 19 | 3 | 3 | 3,765e10+3,765e10i*τ | 2,503+20,764i | 2,50 | 20,76 | 2,503+20,764i | 3,422+3,034i | ||
| 20 | 3 | 4 | 3,765e10+5,02e10i*τ | 4,609+22,45i | 4,61 | 22,45 | 4,609+22,45i | 3,71+3,026i | ||
| 21 | 4 | 0 | 50200000000,00 | 2,77 | 2,77 | 0,00 | 2,77 | 1,66 | ||
| 22 | 4 | 1 | 5,02e10+1,255e10i*τ | 3,258+8,275i | 3,26 | 8,28 | 3,258+8,275i | 2,465+1,679i | ||
| 23 | 4 | 2 | 5,02e10+2,51e10i*τ | 4,338+14,759i | 4,34 | 14,76 | 4,338+14,759i | 3,14+2,35i | ||
| 24 | 4 | 3 | 5,02e10+3,765e10i*τ | 5,378+18,96i | 5,38 | 18,96 | 5,378+18,96i | 3,542+2,677i | ||
| 25 | 4 | 4 | 5,02e10+5,02e10i*τ | 6,101+21,369i | 6,10 | 21,37 | 6,101+21,369i | 3,763+2,839i | ||
| 26 | 5 | 0 | 62750000000,00 | 11,23 | 11,23 | 0,00 | 11,23 | 3,35 | ||
| 27 | 5 | 1 | 6,275e10+1,255e10i*τ | 10,742+8,275i | 10,74
| 8,28 | 10,742+8,275i | 3,486+1,187i | ||
| 28 | 5 | 2 | 6,275e10+2,51e10i*τ | 9,662+14,759i | 9,66 | 14,76 | 9,662+14,759i | 3,695+1,997i | ||
| 29 | 5 | 3 | 6,275e10+3,765e10i*τ | 8,622+18,96i | 8,62 | 18,96 | 8,622+18,96i | 3,837+2,471i | ||
| 30 | 5 | 4 | 6,275e10+5,02e10i*τ | 7,899+21,369i | 7,90 | 21,37 | 7,899+21,369i | 3,917+2,728i | ||
| 31 | 6 | 0 | 75300000000,00 | 20,86 | 20,86 | 0,00 | 20,86 | 4,57 | ||
| 32 | 6 | 1 | 7,53e10+1,255e10i*τ | 18,851+10,349i | 18,85 | 10,35 | 18,851+10,349i | 4,492+1,152i | ||
| 33 | 6 | 2 | 7,53e10+2,51e10i*τ | 14,862+17,214i | 14,86 | 17,21 | 14,862+17,214i | 4,336+1,985i | ||
| 34 | 6 | 3 | 7,53e10+3,765e10i*τ | 11,497+20,764i | 11,50 | 20,76 | 11,497+20,764i | 4,197+2,474i | ||
| 35 | 6 | 4 | 7,53e10+5,02e10i*τ | 9,391+22,45i | 9,39 | 22,45 | 9,391+22,45i | 4,106+2,733i | ||
| 36 | 7 | 0 | 87840000000,00 | 35,60 | 35,60 | 0,00 | 35,60 | 5,97 | ||
| 37 | 7 | 1 | 8,784e10+1,255e10i*τ | 28,882+16,804i | 28,88 | 16,80 | 28,882+16,804i | 5,581+1,505i | ||
| 38 | 7 | 2 | 8,784e10+2,51e10i*τ | 18,997+23,1i | 19,00 | 23,10 | 18,997+23,1i | 4,945+2,336i | ||
| 39 | 7 | 3 | 8,784e10+3,765e10i*τ | 12,986+24,307i | 12,99 | 24,31 | 12,986+24,307i | 4,502+2,699i | ||
| 40 | 7 | 4 | 8,784e10+5,02e10i*τ | 9,948+24,336i | 9,95 | 24,34 | 9,948+24,336i | 4,257+2,859i | ||
| 41 | 8 | 0 | 100400000000,00 | 72,94 | 72,94 | 0,00 | 72,94 | 8,54 | ||
| 42 | 8 | 1 | 1,004e11+1,255e10i*τ | 38,631+37,214i | 38,63 | 37,21 | 38,631+37,214i | 6,792+2,739i | ||
| 43 | 8 | 2 | 1,004e11+2,51e10i*τ | 18,197+33,033i | 18,20 | 33,03 | 18,197+33,033i | 5,287+3,124i | ||
| 44 | 8 | 3 | 1,004e11+3,765e10i*τ | 11,597+28,598i | 11,60 | 28,60 | 11,597+28,598i | 4,607+3,103i | ||
| 45 | 8 | 4 | 1,004e11+5,02e10i*τ | 9,078+26,278i | 9,08 | 26,28 | 9,078+26,278i | 4,294+3,06i |
Таблица 1. Координаты узлов
|
|
|
Таким образом, конфигурация поля в области имеет вид:
Получив координаты точек пересечения линий равного потенциала и трубок напряженности, построим картину поля в области 
:
Теперь определим распределение индуцированного заряда 
по поверхности экрана. Плотность заряда, индуцированного на проводящей поверхности экрана равна:
Модуль напряженности вблизи поверхности экрана равен:
Комплексный потенциал заряженной нити равен:
Зная, что
Формулу для потенциала можно переписать в виде:
И производная потенциала по z в общем виде будет равна:
Путем несложных преобразований упростим это выражение:
Распределение заряда по верхней поверхности проводящего экрана будет равно:
При 
А распределение заряда по нижней поверхности проводящего экрана.
Зависимости выглядят следующим образом:
Распределение заряда по верхней границе:
Распределение заряда по нижней границе:
Рассчитать емкость 1-го провода относительно экрана на единицу длины.
Для определения приближенного значения емкости воспользуемся следующими двумя приближениями:
При конформном преобразовании электрическая емкость провода не меняется:
Где 
–искомая емкость, а 
– емкость провода относительно проводящего экрана в 
области. При отображении провода в области изменяется форма сечения провода. Однако, основываясь на том, что в области при конформном преобразовании любая бесконечно малая фигура переходит в подобную в фигуру в области, мы можем допустить, что при весьма малом значении радиуса провода 
, его сечение в области будет мало рассчитать по формуле:
Найдем 
- производную отображающей функции в точке 
Следовательно, радиус сечения провода в 
области равен:
Для расчета емкости воспользуемся приближенным соотношением:
И емкость на метр соответственно получится равной:
Емкость провода, расположенного на расстоянии 
от плоской проводящей поверхности:
Емкость для провода, распложенного на расстоянии от плоской проводящей поверхности, рассчитывается по формуле:
И емкость на метр соответственно получится равной:
Емкость цилиндрического конденсатора с радиусом внутренней жилы 
, внутренним радиусом оболочки 
и диэлектрической проницаемостью диэлектрика 
Емкость цилиндрического конденсатора рассчитывается по формуле:
И емкость на метр соответственно получится равной:
Определить величины потенциалов каждого из проводов трехпроводной линии, приняв 
Исходя из условий, определим координаты каждого из проводов изобласти . Они будут следующими:
Теперь отобразим координаты каждого из проводов изобласти на полуплоскость
При переходе в область у нас изменилось сечение каждого из проводов, что мы должны учесть. Их новые радиусы сечения будут равны:
Прежде чем приступать к определению потенциальных коэффициентов, нам необходимо определить расстояние между проводами и их зеркальными отображениями в области
В области провода расположены на высоте:
И зеркальные отображения проводов в области :
Расстояние между первым и вторым проводом:
Расстояние между первым проводом и зеркальным отображением второго:
Расстояние между первым и третьим проводом:
Расстояние между первым проводом и зеркальным отображением третьего:
Расстояние между вторым и третьим проводом:
Расстояние между вторым проводом и зеркальным отображением третьего:
Теперь приступим к определению потенциальных коэффициентов. Как известно, при конформных преобразованиях потенциалы и заряды электродов сохраняются. Следовательно, остаются неизменными и потенциальные коэффициенты. Поэтому их можно рассчитывать для полученной системы проводов, расположенных в области над плоской поверхностью земли. Пользуясь известными формулами для потенциальных коэффициентов для весьма тонких проводов, протянутых над плоской проводящей поверхностью, находим:
Теперь мы можем непосредственно рассчитать потенциалы каждого из проводов:
Определить емкость провода трехфазной транспонированной линии на единицу ее длины:
При наличии транспозиции середине значения параметров всей линии становятся одинаковыми для всех фаз. Среднее значение собственного потенциального коэффициента фазы:
Среднее значение взаимного потенциального коэффициента:
Искомая емкость фазы относительно земли вычисляется по формуле:
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 891; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!