Уравнения в частных производных первого порядка
Элементы вариационного исчисления.
1. Определение функционала, линейного функционала, слабого /сильного экстремума, вариации функционала (в широком и узком смысле) и дифференцируемость функционала.
2. Необходимое условие экстремума дифференцируемого функционала.
3. Простейшая задача вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума функционала с закрепленными концами. Уравнение Эйлера. Экстремали.
4. Основная лемма вариационного исчисления.
5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума функционала, зависящего от высших производных (уравнение Эйлера-Пуассона), и функционала, зависящего от системы функций (система уравнений Эйлера). Без доказательства.
6. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера: 
7. Условный экстремум для задачи с закрепленными концами и голономной связью. Без доказательства. Пример: Задача об отыскании геодезических линий на поверхности, заданной уравнением 
Система уравнений Эйлера для нее.
8. Условный экстремум для задачи с закрепленными концами и неголономной связью. Без доказательства. Пример: Изопериметрическая задача 
Система уравнений Эйлера для нее. Вывод о значении параметра 
Задача Дидоны.
9. Задача с подвижной границей. Условие трансверсальности.
Теория устойчивости.
10. Определение устойчивости по Ляпунову решения системы ОДУ первого порядка. Асимптотическая устойчивость.
|
|
|
11. Теорема о устойчивости и асимптотической устойчивости решения линейной системы с постоянными коэффициентам (доказательство для простейшего случая ). Фазовое пространство. Фазовые траектории. Фазовый портрет. Точки покоя (положения равновесия).
12. Автономные и неавтономные системы. Сведение неавтономной системы к автономной и наоборот. Симметричная форма записи автономной и неавтономной систем.
13. Простейшие типы точек покоя автономной линейной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами (подробно, с переходом в базис, в котором траектории имеют простейший вид):
a. различные вещественные корни характеристического уравнения (одного знака; разных знаков; одно нулевое)
b. комплексно сопряженные корни
c. кратные корни ( ненулевые; нулевые)
14. Теорема Ляпунова об устойчивости тривиального решения автономной системы.
15. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости тривиального решения автономной системы.
16. Теорема Четаева о неустойчивости тривиального решения автономной системы.
17. Исследование на устойчивость по первому (линейному) приближению. Доказательство только устойчивости в простейшем случае, когда все СЗ различны.
|
|
|
18. Первые интегралы автономных систем. Критерий первого интеграла (док-во). Свойства первых интегралов (без док-ва)
19. Функциональная зависимость/независимость первых интегралов.
20. Первые интегралы неавтономных систем. Свойства первых интегралов (без док-ва). Теорема о получении решения задачи Коши для неавтономной системы с помощью ФНЗ системы первых интегралов.
Уравнения в частных производных первого порядка.
21. Линейное однородное уравнение в частных производных. Частное и общее решение. Интегральная поверхность. Характеристическая система. Характеристики. Теорема об общем решении.
22. Квазилинейное уравнение в частных производных. Частное и общее решение. Интегральная поверхность. Характеристическая система. Характеристики. Теорема об общем решении.
23. Геометрическая интерпретация интегральной поверхности квазилинейного уравнения.
24. Задача Коши для квазилинейного уравнения. ТСЕ (обсуждение на качественном уровне).
25. Алгоритмы решения Задачи Коши в случае неявного или параметрического задания поверхности.
Интегральные уравнения.
26. Метрические пространства. Нормированные пространства. Сходящиеся последовательности. Фундаментальные последовательности. Банаховы пространства.
|
|
|
27. Сжимающие операторы. Принцип сжимающих отображений. Обобщенный принцип сжимающих отображений.
28. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. ТСЕ решения интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.
29. Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТСЕ решения интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода.
30. Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Его эквивалентность СЛАУ.
31. Сопряженные СЛАУ. Теоремы Фредгольма для СЛАУ (Т1-Т4)
32. Сопряженное уравнение. Теоремы Фредгольма для интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром (Т1-Т4)
33. Линейные операторы (ЛО) в ЛНП. Ограниченность ЛО. Норма ЛО. Ее свойства. Непрерывность ЛО. Пространство 
Теорема о банаховости пространства 
в случае, когда 
– банахово.
34. Ряды в Обратный оператор. Спектр линейного оператора. 
. Приложение к ИУФ2, ИУВ2. Итерированные ядра. Резольвента.
35. Краевые задачи. Функция Грина. ТСЕ функции Грина. Решение краевых задач с помощью функции Грина.
36. Простейшая задача Штурма-Лиувилля.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 216; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!