Правило Крамара для решения систем линейных уравнений

Формула Крамара:

, где - определитель системы.

- определители, где соответствующие столбцы заменены на столбец из того, чему равно каждое ур-е системы. Замечание 1: Последнюю неизвестную можно найти из любого ур-я. Замечание 2:(Теорема Крамара) Нельзя использовать данные формулы при =0, число уравнений должно равняться числу неизвестных. Если в квадратной системе m*n, , где m – число уравнений, n – число неизвестных, тогда система имеет единственное решение.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков определителей, отличных от нуля, из порожденных данной матрицей. Ранг матрицы не меняется, если: а) все строки заменить столбцами; б) поменять местами две строки (столбца); в) умножить каждый элемент строки (столбца) на один и тот же множитель, отличный от нуля; г) сложить одну строку (столбец) с другой строкой (столбцом), увеличенной в т раз.

Если некоторый определитель r-го порядка матрицы М отличен от нуля, а все определители (r + 1)-го порядка, заключающие его в качестве минора, равны нулю, то ранг матрицы М равен r.

Если i<r, то определитель будет иметь 2 одинаковых столбца, поэтому = 0; если же i > r, то будет определителем (г + 1)-го порядка, содержащим определитель D в качестве минора, поэтому, согласно условию теоремы, = 0. Отсюда следует, что k-я строка матрицы М должна линейно зависеть от первых r строк (см. теорему о связи ранга матрицы с числом линейно независимых форм). Воспользовавшись теоремой 1, вычтем из (r + 1)-й, (r + 2)-й, ... , m-й строк матрицы М соответствующие линейные комбинации r первых строк, тогда матрица М превратится в:

R (М')=r, R (М)

Обратная матрица (определение вычисление единственности). Вырожденные матрицы. Св-ва обратных матриц.

Опр. Матрица В называется обратной матрицы А, если выполняется следующее равенство: . Обратную матрицу имеют только невырожденные матрицы (detA ).

или

На j-том месте в последней матрице стоит i-тая строка detA^’=0. Разлагаем detA^’=0 по j-той строке: , т.е. сумма произведений элементов любой строки на соответствующие алгебраические дополнения другой строки равна нулю. Теорема (о нахождении обратной матрицы A^-1) Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица А^-1, которая вычисляется по формуле:

, где - состоит из соответствующих алгебраических дополнений – присоединённая матрица. Доказательство: Докажем единственность: пусть и ,

тогда

Теорема о ранге матрицы и её следствия. Задача о нахождении линейно независимой подсистемы в системе векторов.

Теорема. Если ранг матрицы системы линейных форм равен r, то существует r линейно независимых форм, от которых линейно зависят все остальные формы. Доказательство. Пусть мы имеем систему m линейных форм :

и пусть матрица из коэффициентов этой системы имеет ранг r. Следовательно, среди определителей, порождаемых матрицей М, есть хотя бы один определитель r-го порядка, отличный от нуля. Мы можем предположить, что один из таких определителей находится в левом верхнем углу матрицы М. Обозначим его через D. Это предположение не уменьшает общности наших рассуждений, так как если бы этого не было, то мы соответственным образом изменили бы нумерацию форм и неизвестных. Из нашего предположения следует, что первые r форм f₁, f₂, ... , f_rлинейно независимы. В самом деле, если бы они были зависимы, то одна из строк определителя D была бы линейной комбинацией других строк и он бы равнялся нулю, что противоречит условию. Покажем теперь, что всякая форма f_k (k>r) линейно зависит от f1,f2,…,f_r. Для этого достаточно показать, что k-я строка матрицы М есть линейная комбинация её первых r строк. Возьмём определитель (r+1)-го порядка:

Этот определитель равен нулю. Действительно, если i r, то будет иметь два одинаковых столбца, поэтому . Если же i > r, то будет определитель (r + 1)-го порядка, порожденный матрицей М ранга r, поэтому и здесь = 0. Разложим определитель Д, по элементам последнего столбца, обозначив их алгебраические дополнения через А₁_i_, А₂_i,. . . , А_r₊₁_i {А_r₊₁_i — алгебраическое дополнение элемента a_ki):

Так как A_r₊₁_i = D 0, то полученную зависимость можно разрешить относительно а_ki:

(1) или обозначая получаем .

Полученное соотношение (1) не только доказывает что k-z строка матрицы M есть линейная комбинация её первых r строк, но и даёт правило нахождения линейной зависимости.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 264; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!