ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

Nbsp; ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ   ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Самарский государственный Технический университет»     К а ф е д р а «Высшая математика и прикладная информатика»   Л.В. Лиманова  Л.А. МУРАТОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА   Учебно-методическое пособие по специальным разделам высшей математики     Самара 2006 УДК 517.531, 519.2   Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа: Учеб.-метод. пособ. по специальным разделам высшей математики/ Л.В. Лиманова, Л.А. Муратова; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2006. 52 с.   Представлены задачи и их решения из следующих разделов курса высшей математики: «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Математический анализ». Для студентов всех специальностей СамГТУ.   Библиогр.: 6 назв.   Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ В соответствии с программой курса высшей математики для 1 семестра СамГТУ данная работа включает  такие разделы, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление, а также содержит тренировочный тест (прил.1) с типовыми задачами из указанных разделов. Представлены подробные решения всех задач тренировочного теста, а также необходимый теоретический материал. Материал данной работы рекомендуется использовать для подготовки к экзамену по высшей математике. Внимательное изучение позволит успешно справиться с этой задачей.

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Задача 1.Найти сумму элементов 3-го столбца матрицы В,
если

Решение. При умножении матрицы размера  на матрицу размера  получится матрица размера  (3 строки и 4 столбца). Таким образом, в 3-м столбце будет 3 элемента: . Далее умножение матриц осуществляется по правилу: элемент  матрицы , стоящий в i-той строке и к-том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и к-того столбца матрицы С.  Таким образом, чтобы найти , нужно 1-ю строку матрицы А умножить на 3-й столбец матрицы С:

Аналогично, находим

Тогда сумма этих элементов

Задача 2.Найти , если

.

Решение. Вычислим определитель матрицы А:

Так как , то  - существует. Обратную матрицу  находим по схеме

Здесь  - транспонированная матрица, которая получается из матрицы А, если поменять местами строки и столбцы:

 - союзная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов .

Найдем алгебраические дополнения элементов  по формуле

где  - минор - определитель, остающийся после вычеркивания строки i и столбца j матрицы .

Получим

                  

             

Итак,

Наконец, находим обратную матрицу

Задача 3. Найти сумму элементов 3-й строки матрицы , если

Решение. Вычислим определитель матрицы А:

Запишем транспонированную матрицу

Так как надо найти сумму элементов 3-й строки матрицы , достаточно определить алгебраические дополнения для 3-й строки матрицы :

       

Тогда элементы 3-й строки матрицы :

Их сумма равна

Задача 4. Дана система уравнений

Найти

Решение. Согласно формулам Крамера решение системы определяется соотношениями

Найдем  

 - определитель из коэффициентов, стоящих перед неизвестными

 

Чтобы найти , необходимо элементы 3-го столбца определителя  заменить на столбец свободных членов системы

Находим z:

 

Задача 5. Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z:

Решение. Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов

5

~

Среди коэффициентов при неизвестных есть 1, ей соответствует переменная z. Назовем z базисной переменной. Исключим базисную переменную z из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 5 и сложим со 2-м. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей

~

Умножим 2-е уравнение на (-1):

2

~

Считая новой базисной переменной у, исключим её из 1-го уравнения. Для этого умножим 2-е уравнение на 2 и сложим с 1-м:

В каждом уравнении выбирают одну базисную переменную, оставшиеся переменные называют свободными (в данном случае это х).

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице

Выразив базисные переменные (у и z) через свободную (х), получим общее решение системы уравнений

Задача 6.  Найти

Решение. Воспользуемся формулой

где  - скалярное произведение векторов  и .

     Вычислим :

Найдем модули векторов

 

 

Тогда

Задача 7.Вектор  ортогонален вектору   Найти

Решение. Так как вектор  ортогонален вектору ,то , и значит, скалярное произведение этих векторов тоже равно нулю:

С другой стороны,

Итак,

 и

Задача 8.  Найти ,если

Решение. Проекция вектора  на вектор  определяется по формуле

.

Найдем координаты вектора :

Вычислим скалярное произведение векторов  и :

и модуль вектора :

Тогда

Задача 9. Известно, что а угол между  и  равен  Найти .

Решение. Согласно определению векторного произведения  имеет место формула

Тогда                          

Подставив исходные данные, получим

Задача 10. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

Решение. Площадь треугольника, построенного на векторах и,может быть найдена по формуле

 

 

где векторное произведение векторов и .

 

Примем ,  Вычислим координаты векторов  и :

Найдем векторное произведение этих векторов

Тогда

Следовательно,

Задача 11.Определить , при котором компланарны векторы  и

Решение. Условие компланарности трех векторов имеет вид

где  -смешанное произведение векторов и  - вычисляется по формуле

Подставляя исходные данные, получим

 

 

откуда

 

Задача 12.Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках

Решение. Найдем координаты векторов , , , на которых построена пирамида:

Вычислим смешанное произведение этих векторов

 

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , , , равен

 

Задача 13.Записать уравнение прямой, проходящей через точки

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид

Подставляя координаты точек А и В, получим

 

 

Задача 14.Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то в качестве направляющего вектора  прямой можно взять нормальный вектор  плоскости.

Тогда

Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку  с направляющим вектором , имеет вид

получим

 

 

Задача 15.Определить, при каких  и  параллельны прямые

и

Решение. Условие параллельности двух прямых – это условие коллинеарности  их направляющих векторов   и

Подставляя координаты и  получим

Тогда

 

 

Задача 16.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки  имеет вид

 

 

Вычисляем определитель

 

Получаем уравнение плоскости

 

Задача 17.Определить, при каком А прямая  параллельна плоскости

Решение. Условие параллельности прямой и плоскости – это условие ортогональности направляющего вектора  прямой и нормального вектора  плоскости:

Применяя эту формулу для  и  получим

 т. е.

 

Задача 18.Найти точку пересечения прямой

и плоскости

Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой

 откуда

Найдем значение t, соответствующее точке пересечения прямой и плоскости, для чего подставим полученные выражения в уравнение плоскости

   Подставляя  в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости

 

 

Задача 19.Найти канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей

Решение. Уравнение прямой пересечения двух плоскостей получим, решив совместно систему уравнений методом Гаусса.

-3

Составим расширенную матрицу системы уравнений

~

Возьмем у в качестве базисной переменной и исключим у из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на (-3) и сложим со 2-м уравнением. Получим

 

~

Разделим 2-е уравнение на (-4):

-3

~

Возьмем в качестве следующей базисной переменной х и исключим её из первого уравнения, умножив 2-е уравнение на (-3) и сложив с 1-м уравнением:

Запишем получившуюся систему уравнений:

Выразим базисные переменные х и у через свободную переменную z:

Обозначив , получим параметрические уравнения прямой

Исключив параметр , перейдем к каноническим уравнениям прямой

Задача 20.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки  параллельно вектору

Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы  - компланарны. Запишем условие компланарности трех векторов:

Так как

         

то

Тогда уравнение искомой плоскости будет иметь вид

 или

Задача 21.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые

Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Обозначим  - направляющие векторы прямых,  Уравнение искомой плоскости получим, записав условие компланарности векторов  где А – точка, лежащая в искомой плоскости (в качестве такой точки можно взять любую точку, принадлежащую любой из двух прямых, например, А(-1; 0; 3). Так как  получим

 или

Задача 22.Найти собственные значения матрицы

Решение. Собственные значения  и  матрицы А находим, решая характеристическое уравнение:

 

 

Задача 23.Найти координаты вектора  в базисе

Решение. При разложении вектора  по базису , , необходимо представить  в виде

Здесь  - есть координаты вектора  в базисе , .

Запишем это равенство в координатной форме

Оно равносильно системе уравнений

Решим систему, например, по формулам Крамера:

 

Тогда

Значит, координаты вектора  в базисе ,

.

 

Задача 24.Определить вид и расположение кривой

Решение. Чтобы определить, какая кривая представлена данным уравнением, необходимо привести уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты при переменных x и y:

Полученное уравнение соответствует уравнению эллипса

с полуосями  и центром в точке

Задача 25. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если её действительная полуось равна 3, а расстояние между фокусами

Решение. Уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, имеет вид

Действительная полуось этой гиперболы . Найдем а из соотношения

Так как  и

Итак, искомое уравнение гиперболы

или

Задача 26. Вычислить

Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при  В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида  Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной, т. е. на

Так как  при  каждая из дробей ,   стремится к нулю, получим

Задача 27. Вычислить

Решение. При  числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида  Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и выполним сокращение

Задача 28.  Вычислить

Решение. В данном случае имеет место неопределенность вида  так как при  числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к ним, т. е. на

 

Задача 29. Вычислить

Решение. При  числитель и знаменатель – бесконечно малые величины. Заменим их эквивалентными бесконечно малыми.

Так как при ~ , ~ , то ~ ~6x.

Теперь можно воспользоваться формулой

 

где  - бесконечно малые, причем ~ , ~ .

Тогда  

Задача 30. Вычислить

Решение. Это неопределенность . Раскрываем её с помощью второго замечательного предела

В данном случае  Поэтому

Задача 31.Вычислить  

Решение. При  имеем неопределенность .

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

Так как , , имеем неопределенность , которую раскрываем по правилу Лопиталя:   

Тогда

 

Так как  получили неопределенность  Её можно раскрыть, ещё раз применив правило Лопиталя, но проще использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых:

 

                      при ~х, ~х.

Тогда

Задача 32.  Найти

Решение. Применяя формулы дифференцирования произведения и частного    

 

получим

Подставим в производную

Замечание. Здесь и далее используются формулы дифференцирования, приведенные в конце работы.

Задача 33. . Найти

Решение. Применим правило дифференцирования сложной функции: если  то

В данном случае

поэтому

 

 

Тогда

 

 

Задача 34.   Вычислить

Решение. Это показательно-степенная функция. Преобразуем её в показательную, используя свойства логарифмов:

Получившуюся функцию дифференцируем как сложную

Тогда

Задача 35.  

Вычислить  в точке

Решение. Преобразуем данную функцию

Вычислим частную производную , считая у константой:

Найдем , считая х константой:

Подставим вместо х и у координаты точки :

Тогда

 

Задача 36.Найти , если

Решение. Функция  задана в неявном виде – уравнением  Воспользуемся формулой дифференцирования неявно заданной функции:

Так как

то

 

Задача 37.  , где  Найти  при

Решение. Согласно формуле дифференцирования сложной функции  где  имеем

Так как

 то

Тогда

Задача 38.Найти , если

Решение. Функция  заданапараметрически – уравнениями .

В этом случае можно воспользоваться формулой

Так как  

то

 

Задача 39. Найти асимптоты кривой

Решение. Асимптоты бывают вертикальные и наклонные. Прямая  является вертикальной асимптотой кривой  если

Прямая  является наклонной асимптотой кривой  если существуют конечные пределы

Так как знаменатель дроби  никогда не обращается в 0 (D=-3<0), значит, не существует точек, обращающих саму дробь в бесконечность, и вертикальных асимптот нет.

Ищем наклонные асимптоты:

 

Тогда наклонная асимптота имеет вид

Задача 40. Найти интервалы убывания функции

Решение. Функция  убывает, если , и возрастает, если  Найдем

Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:

 

 

Итак, функция убывает на интервале .

Задача 41.Найти интервалы выпуклости функции

Решение. Функция  является выпуклой, если  и вогнутой, если . Найдем

;

Определим знаки , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции:

 

		-3		0
		0			+

 

Итак, функция выпукла при

 

Задача 42.Дана функция

Найти точки разрыва и установить их характер.

Решение. Функция  называется непрерывной в точке , если  определена в некоторой окрестности этой точки и имеет в ней конечный предел, причем

Последнее равенство означает, что

Точки, в которых не выполняется, хотя бы одно из перечисленных условий, называются точками разрыва функции . Различают точки разрыва I и II рода.

Если  - точка разрыва и хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то это разрыв II рода.

В том случае, когда  - точка разрыва, но односторонние пределы конечны, имеем разрыв I рода:

   - устранимый, если

   - со скачком, если

(величина скачка ).

Рассмотрим заданную функцию при . Здесь  Функция не определена в точке , значит, в этой точке разрыв.

Вычислим односторонние пределы:

Итак,  значит, при  имеем устранимый разрыв I рода.

Если  то  Функция не определена в точке  значит, это точка разрыва.

Вычислим односторонние пределы:

Так как - точка разрыва II рода.

В качестве точки, похожей на разрыв, следует рассмотреть , так как при переходе через эту точку функция  меняет свой вид.

В этой точке функция определена: 

Найдем односторонние пределы:

Итак, для точки  односторонние пределы конечны и различны, значит, это разрыв I рода со скачком:

Таким образом, заданная функция имеет 3 точки разрыва: устранимый разрыв I рода при ; разрыв II рода при  разрыв I рода со скачком при .

 

 

Задача 43.Найти максимальную скорость возрастания функции  в точке М(2;1).

Решение. Известно, что максимальная скорость возрастания функции равна модулю градиента, а сам градиент – это вектор

Найдем градиент функции :

Вычислим градиент в точке М (2;1):

Тогда максимальная скорость возрастания функции

 

Задача 44.Найти производную функции  в точке М (1;-3) в направлении вектора

Решение. Производная функции по направлению вектора  определяется по формуле

где  - направляющие косинусы вектора ,

Найдем частные производные функции :

Их значения в точке М(1;-3) равны

Вычислим направляющие косинусы вектора :

Тогда производная функции по направлению равна

 

 

Задача 45. Найти экстремум функции

                        ,

если

Решение

1 способ. Необходимо найти экстремум функции  при условии, что переменные x и y  подчиняются уравнению связи

   Составим функцию Лагранжа

 

 

Точки экстремума находим, решая систему уравнений

Так как  то

Находим

Решаем систему уравнений

 

 

Итак, получена точка экстремума (1;2). Вычисляем Определяем характер экстремума, сравнивая значение  со значением функции в любой другой точке, удовлетворяющей условию  Например,  значит, в точке (1;2) – минимум.

       

2 способ. Преобразуем уравнение связи  и подставим его в данную функцию

Получили функцию одной переменной у. Исследуем её на экстремум:

Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:

 

		2
		0	+
		6 min

 

Следовательно, точка  является точкой минимума.

Таким образом, функция  имеет минимум в точке с координатами

 

Задача 46. Функцию  исследовать на экстремум в точках  и .

Решение. Функция  может достигать экстремума только в стационарной точке, т. е. такой, что

Найдем частные производные первого порядка

Подставив координаты точек  и , убеждаемся, что обе точки стационарные.

А:

В:

Согласно достаточным условиям экстремума в стационарной точке  функция  имеет:

1) минимум, если

2) максимум, если

3) отсутствие экстремума, если

Здесь

Вычисляем частные производные второго порядка

Рассмотрим точку .

Так как

 то в точке  - минимум.

Рассмотрим точку .

 

 

Так как

 то в точке  - максимум.

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Задачи и упражнения по математическому анализу. Под ред. Б. Демидовича. М.: Наука, 1970. 472 с.
2. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-2 для студентов вузов. Самара, 2000. 96 с.
3. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-3 для студентов вузов. Самара, 2000. 45 с.
4. Самарин Ю.П., Сахабиева Г.А. Математика-4 для студентов вузов. Самара, 2000. 84 с.
5. Сборник задач по математике. Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др.; М.: Наука, 1993. 480 с.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М.: Наука, 1970. 608 с.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ ТЕСТ

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
1	Найти сумму элементов 3 столбца матрицы В	34	-18	28	-26	14
2а	.   Найти
2б	Найти сумму элементов 3 строки матрицы , если

Продолжение прил.1

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
3а	Дана система уравнений    . Найти	19,-38,-2	19,-19,-1	19,38,2	19,19,1	19,57,3
3б	Решить систему уравнений , приняв в качестве базисных переменных
4а	Найти , если , ,

Продолжение прил.1

 

 

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
4б	Вектор ортогонален вектору .  Найти	7	-1	5	9	-3
4в	; . Найти
5а	Найти площадь треугольника с вершинами в точках , ,
5б	Известно, что , , а угол между  и  равен . Найти	0				1

Продолжение прил.1

 

 

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
6а	Определить , при котором компланарны векторы , ,			1
6б	Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках , , ,				40
7а	Уравнение прямой, проходящей через точки  и , имеет вид

Продолжение прил.1

 

 

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
7б	Уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно плоскости , имеет вид
7в	Определить, при каких и  параллельны прямые  и
8а	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , ,

Продолжение прил.1

 

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
8б	Определить, при каком  прямая  параллельна плоскости	1	-7	-3	2	5
9а	Найти собственные значения матрицы	0 и 25	1 и 9	0 и 20	5 и 25	20 и 25
9б	Найти координаты вектора  в базисе ,
9в	Определить вид и расположение кривой	Гипербола с центром в точке	Парабола с вершиной в точке	Эллипс с центром в точке	Гипербола с центром в точке	Эллипс с центром в точке

Продолжение прил.1

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
9г	Составить уравнение ги­перболы, фокусы кото­рой располо­же-ны на оси ординат симметрично отно­сительно начала ко­ординат, если ее дей­ст­вительная полуось , а расстояние между фо­кусами
10а	Найти точку пересечения прямой  и плоскости
10б	Канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей  имеют вид

Продолжение прил.1

 

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
10в	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,  параллельно вектору
10г	Составить уравнение плоскости, проходя­щей через прямые: ;
11а	Вычислить			-5		-4
11б	Вычислить			0		1
11в	Вычислить				-1	0

Продолжение прил.1

 

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
12	Вычислить			0		1
13	Вычислить
14	. Найти
15	. Найти
16	. Вычислить  в точке	-240	180	210	-160	280
17а	Найти , если	0

Продолжение прил.1

 

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
17б	, где , . Найти  при ,
17в	Найти , если ,
18а	Найти асимптоты кривой
18б	Найти интервал(ы) убывания функции
18в	Найти интервал(ы) выпуклости функции

Продолжение прил.1

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
18г	Дана функция . Найти точки разрыва и установить их характер
19а	Найти максимальную скорость возрастания функции  в точке
19б	Найти производную функции  в точке  в направлении вектора
19в	Найти экстремум функции , если

Продолжение прил.1

 

 

№	Задания	Варианты ответов
		1	2	3	4	5
19г	Функцию  исследовать на экстремум в точках  и	А - точка максимума; В - точка максимума	А - точка минимума; В не является точкой экстремума	А - точка максимума; В - точка минимума	А - точка минимума; В - точка максимума	А - точка минимума; В - точка минимума
20а	Вычислить		0	1
20б	. Вычислить

                                                                                                                          Окончание прил.1

ОТВЕТЫ

№ задания	1	2а	2б	3а	3б	4а	4б	4в	5а	5б	6а	6б	7а	7б	7в
Правильный     ответ	3	2	4	3	5	4	1	2	5	3	2	1	3	4	4

№ задания	8а	8б	9а	9б	9в	9г	10а	10б	10в	10г	11а	11б	11в	12	13	14
Правильный ответ	2	3	1	5	3	4	2	2	2	5	4	4	3	5	2	3

№ задания	15	16	17а	17б	17в	18а	18б	18в	18г	19а	19б	19в	19г	20а	20б
Правильный ответ	5	1	2	1	3	1	2	4	5	1	2	5	4	3	5

Приложение 2

ТАБЛИЦА
 ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

                          

                         

                                          

                

                                            

                                 

                                   

                                     

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

Пусть  - дифференцируемые функции, .
Тогда

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Задачи и решения ………………………………………………         3

2. Библиографический список………………………………........        35

3. Приложения  …………………………………………………….       36

 

---

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 142; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!