Действия над множествами. Диаграммы Венна
Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами.
1) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком 
Пересечением множеств 
и 
называется множество 
, каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:
Так, например, для множеств 
:
Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:
Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.
Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств.
2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком 
Объединением множеств и называется множество 
, каждый элемент которого принадлежит множеству или множеству :
Запишем объединение множеств 
:
– грубо говоря, тут нужно перечислить все элементы множеств и , причём одинаковые элементы (в данном случае единица на пересечении множеств)следует указать один раз.
Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:
В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.
Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если 
, то:
|
|
|
, при этом числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал исключительно из эстетических соображений). Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так:
3) Разностью множеств и называют множество 
, каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :
Разность читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества 
. Чтобы записать разность , нужно из множества «выбросить» все элементы, которые есть во множестве :
Пример с числовыми множествами:
– здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись 
так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».
Для тех же множеств
– из множества «выброшено» то, что есть во множестве .
А вот эта разность оказывается пуста: 
. И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется :)
ДОПОЛНЕНИЕ.
Множество 
, определяемое из соотношения
1.20
называют дополнением множества А (до универсального множества I)
|
|
|
Графически дополнение множества А может быть представлено как показано на рис. 1.5.
Формальное определение дополнения множества А может быть записано как
1.21
Из определения дополнения множества следует, что А и 
не имеют общих элементов, т.е.
1.22
Кроме того, 
1.23
Из симметрии формул 1.22 и 1.23 следует, что не только является дополнением А, но и А является дополнением . Но дополнение есть 
. Таким образом 
1.24
Рис. 1.5
С помощью операции дополнения удобно представить разность множеств:
= 
, т.е 
1.25
4) Декартовым (прямым) произведениеммножеств и называется множество 
всех упорядоченных пар 
, в которых элемент 
, а элемент 
Запишем декартово произведение множеств 
:
– перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества последовательно присоединяем каждый элемент множества , затем ко 2-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества , затем к 3-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества »:
Зеркально: декартовым произведениеммножеств и называется множество 
всех упорядоченных пар 
, в которых 
. В нашем примере:
– здесь схема записи аналогична: сначала к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества , затем к «дэ» – те же самые элементы:
|
|
|
Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары.
А теперь гвоздь программы: декартово произведение 
– это есть ни что иное, как множество точек 
нашей родной декартовой систем
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 258; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!