Законы сложения, умножения и вычитания
Операции сложения, умножения и вычитания множеств имеют много общих свойств с операциями сложения, умножения и вычитания чисел.
В этом параграфе приведем важнейшие из них, а также докажем несколько теорем, указывающих на различие между алгеброй множеств и арифметикой.
Законы коммутативности:
а) (1)
б)
Эти законы непосредственно следуют из законов коммутативности для дизъюнкции и конъюнкции.
Законы ассоциативности:
а) (2)
б)
Доказательство основано на законах ассоциативности для дизъюнкции и конъюнкции.
Отсюда следует, что при сложении или умножении конечного числа множеств можно опускать скобки, указывающие порядок действий.
Например: .
Законы дистрибутивности:
а) (3)
б)
Доказательство основано на законах дистрибутивности для дизъюнкции и конъюнкции.
Например:
Законы идемпотентности:
а) (4)
б) .
Доказательства получаются непосредственно из законов идемпотентности , .
Докажем несколько законов для операции вычитания.
(5)
сравнить:
В самом деле, из формул (1) и (2) §2 следует:
.
Откуда по закону дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции имеем:
.
Поскольку , сомножитель И можно в произведении опустить. Таким образом получим:
,
что и доказывает формулу (5).
Из этой формулы следует, что вычитание множеств не является операцией, обратной сложению, как в обычной алгебре чисел. Если, например, А — множество четных чисел, а В — множество чисел, делящихся на 3, то множество отличается от В, потому что оно содержит все четные числа.
|
|
Но если , то (согласно (5) и (5) §3) , как в арифметике.
Далее,
(6).
⇋
В самом деле:
Закон дистрибутивности умножения относительно вычитания имеет вид:
(7).
Он получается из эквивалентности
.
Из равенства (7) следует, что
.
Законы де Моргана в алгебре множеств имеют вид:
а)
(8)
б)
Доказательство основано на законах де Моргана алгебры высказываний.
Приведем без доказательств следующие равенства:
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 444; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!