Необходимый признак сходимости числовых рядов
Если числовой ряд  сходится, то предел его общего члена равен нулю, т.е.  .
|
Следствие.Если предел общего члена числового ряда отличен от нуля, то ряд расходится.
ПРИМЕРЫ:
1. Гармонический ряд 
расходится, несмотря на то, что 
.
2. Обобщенный гармонический ряд 
сходится при a > 1 и расходится при a £ 1, хотя и выполнено условие 
.
3. Числовой ряд 
расходится, поскольку 
.
Таким образом, если предел общего члена числового ряда отличен от нуля, то ряд расходится, если же предел общего члена ряда равен нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться.
Для окончательного исследования сходимости числовых рядов с положительными членами (т.е. рядов, для которых an > 0 при любых n Î N) наиболее часто применяются следующие два достаточных признака.
Признак сравнения рядов
Если для всех n Î N выполняется неравенство an £ bn, то, если сходится ряд  , то сходится и ряд , если
же расходится ряд , то расходится и ряд .
|
ПРИМЕРЫ:
1. Исследовать сходимость ряда 
. Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство 
, а геометрический ряд 
сходится, т.к. 
, то сходится и исходный ряд (по признаку сравнения рядов).
2. Исследовать сходимость ряда 
. Поскольку для всех n Î N выполняется неравенство 
, а гармонический ряд расходится, то по признаку сравнения рядов будет расходиться и исходный ряд.
Признак Даламбера
|
|
|
Пусть для ряда с положительными членами 
существует предел отношения  . Тогда:
1). Если p < 1, то ряд сходится.
2). Если p > 1, то ряд расходится.
3). Если p = 1, вопрос о сходимости ряда требует
дополнительных исследований.
|
ПРИМЕРЫ:
1. Исследуйте сходимость ряда 
. Найдем предел:
,
Следовательно, на основании признака Даламбера ряд сходится.
2. Исследуйте сходимость ряда 
. Найдем предел:
.
Следовательно, на основании признака Даламбера нельзя сделать вывода о сходимости данного ряда, и требуется проведение дополнительных исследований.
Знакочередующимся называется числовой ряд, если его члены поочередно являются положительными и отрицательными, т.е. если он имеет вид: 
, где для всех n Î N Сn > 0.
Для этих числовых рядов существует признак сходимости, который является необходимым и достаточным.
Признак Лейбница
Если для членов знакочередующегося ряда выполняется
неравенство Cn ³ Cn+1 и существует и равен нулю предел
 , то ряд этот сходится, а его сумма S £ C1.
|
ПРИМЕРЫ:
1. Исследуйте сходимость ряда 
.
Для этого ряда выполняется неравенство 
, а также равенство , поэтому на основании признака Лейбница заключаем, что данный ряд сходится.
|
|
|
2. Исследуйте сходимость ряда 
.
Убедившись, что для данного ряда выполняется неравенство, противоположное требуемому: 
, а также, что
, можно сделать вывод, что данный ряд расходится.
Знакопеременным называется числовой ряд, любой член которого может быть как положительным, так и отрицательным.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 354; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!