Вопрос2: Критерии устойчивости. Общие сведения об устойчивости

Система называется устойчивой, если:

1) после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в исходное равновесное состояние;

2) после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса система приходит в новое равновесное состояние.

Определим условия устойчивости.

Выходная и входная величины в системе связаны с помощью дифференциального уравнения. Решение этого дифференциального уравнения при заданном значении входной величины представляет собой закон изменения выходной величины во времени. Но это решение состоит из двух составляющих:

x(t)=x_в(t)+x_св(t),

где x_в(t)- вынужденная составляющая, однозначно связанная с изменением входной величины. Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения с правой частью;

x_св(t)- свободная составляющая, изменяющаяся во времени в течение переходного процесса.

Именно свободная составляющая и определяет переходной процесс в системе. Определяется она общим решением однородного дифференциального уравнения

в виде суммы составляющих

где A_i- постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями;

P_i- корни характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение составляется на основании исходного дифференциального уравнения:

a_npⁿ+a_n-1p^n-1+...+a₁p+a₀=0

В общем случае корни являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней:

где α_i может быть положительной или отрицательной величиной.

При этом, если α_i<0, эта составляющая будет затухать. Наоборот, при α_i>0 получатся расходящиеся колебания.

Отсюда следует, что общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой.

Изображая корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, как показано на рис.3.1, условие устойчивости можно сформулировать еще так: условием устойчивости САУ является расположение всех корней характеристического уравнения в левой комплексной полуплоскости.

Мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости. При этом можно выделить три случая выхода САУ на границу устойчивости, которые характеризуются соответственно:

1) нулевым корнем p₁=0;

2) парой чисто мнимых корней p_1,2=±jw

3) бесконечно удаленным корнем p₁=∞

Бесконечность на комплексной плоскости рассматривается как бесконечно удаленная точка, противоположная нулевой. Поэтому она тоже является границей между правой и левой полуплоскостями.

Вычисление корней весьма просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени. Но ведь для определения устойчивости не нужно знать абсолютное значение корней, необходимо знать лишь, в какой полуплоскости они находятся. Поэтому важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости.

К основным критериям устойчивости относятся алгебраический критерий Гурвица и частотные критерии Михайлова и Найквиста.

3. Найти переходную функцию h(t) по известной функции веса w(t).w(t) =

 

 

 

 

Билет 6-7

---

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 957; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!